İçeriğe geç

9. sınıf · Matematik · 10. hafta (23-27 Kasım 2026)

Mutlak Değer Fonksiyonu m(x) = ±|ax ± b| ± c ve Nitel Özellikleri: Grafik Çizimi, Tepe Noktası, Simetri Ekseni, Tanım-Görüntü Kümesi ve Parçalı Gösterim (MAT.9.2.2)

NİCELİKLER VE DEĞİŞİMLER teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Bir sayının sayı doğrusunda sıfıra (başlangıç noktasına) olan uzaklığı negatif olamaz ve mutlak değer ile ifade edilir. Gerçek sayılarda tanımlı h(x) = ax + b doğrusal fonksiyonunun mutlak değeri alındığında, grafiğin x ekseni altında kalan negatif kısmının x eksenine göre simetriği yukarı katlanır ve karakteristik 'V' (veya ters 'Λ') biçimli mutlak değer fonksiyonu grafiği ortaya çıkar. Bu haftaki dersimizde doğrusal fonksiyonlarla analoji kurarak mutlak değer fonksiyonlarının tüm nitel özelliklerini ve parçalı gösterimini inceliyoruz.

Doğrusal Fonksiyondan Mutlak Değer Fonksiyonuna Geçiş: n(x) = ±|x| (MAT.9.2.2.a)

Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x doğrusal referans fonksiyonunun grafiği orijinden geçen ve eğimi 1 olan bir doğrudur. Bu fonksiyonda x ≥ 0 için çıktı değerleri pozitif veya sıfır iken, x < 0 için çıktı değerleri negatiftir. Uzaklık ve büyüklük belirten n(x) = |x| mutlak değer fonksiyonunda ise negatif çıktı bulunmaz: x ≥ 0 için |x| = x olarak aynen kalırken, x < 0 için |x| = -x olur; yani f(x) = x doğrusunun x ekseni altında kalan sol kolunun x eksenine göre yansıması (simetriği) alınır.

Böylece n(x) = |x| fonksiyonunun grafiği, başlangıç noktası (köşesi/tepe noktası) orijin T(0, 0) olan, kolları yukarı doğru açık ve y eksenine (x = 0 doğrusuna) göre simetrik bir 'V' harfi oluşturur. Sağ kol y = x (eğimi +1), sol kol ise y = -x (eğimi -1) ışınıdır. Fonksiyonun tanım kümesi tüm gerçek sayılar (ℝ), görüntü kümesi ise negatif olmayan gerçek sayılar ([0, ∞)}) kümesidir.

Önüne eksi işareti gelen k(x) = -|x| fonksiyonunda ise n(x) = |x| grafiğinin x eksenine göre simetriği alınır; tepe noktası yine T(0, 0) olup kolları aşağı doğru bakan (ters 'Λ' şeklinde) bir grafik elde edilir ve görüntü kümesi (-∞, 0] olur. Doğrusal fonksiyonlar tüm gerçek sayılarda daima artan veya daima azalan ve bire bir iken; mutlak değer fonksiyonları tepe noktasında yön değiştirdiği için (örneğin | -3 | = | 3 | = 3) gerçek sayılar kümesinde bire bir değildir.

REFERANS FONKSİYON f(x) = x VE MUTLAK DEĞER n(x) = ±|x| GRAFİKLERİ n(x) = |x| k(x) = -|x| T(0, 0) DOĞRUSAL FONKSİYONDAN ANALOJİ (9.2.2.a) • f(x) = x grafiğinin x ekseni altında kalan negatif kısmının (x < 0) x eksenine göre simetriği alındığında n(x) = |x| ("V" şekilli grafik) elde edilir. • Tepe (Köşe) Noktası: T(0, 0) · Simetri Ekseni: x = 0 • n(x) = |x| için Tanım Kümesi: ℝ, Görüntü Kümesi: [0, ∞) • (-∞, 0] aralığında azalan, [0, ∞) aralığında artandır; gerçek sayılarda bire bir DEĞİLDİR (n(-2) = n(2) = 2).
🔍 Büyütmek için dokunun

m(x) = ±|ax + b| + c Fonksiyonunun Nitel Özellikleri (MAT.9.2.2.b)

Gerçek sayılarda m(x) = |ax + b| + c veya m(x) = -|ax + b| + c (a, b, c ∈ ℝ ve a ≠ 0) biçiminde tanımlanan genel mutlak değer fonksiyonunda en önemli referans noktası tepe (köşe / kırılma) noktasıdır. Mutlak değerin içini sıfır yapan x değerine kritik nokta (tepe noktası apsisi) denir ve ax + b = 0 ⇒ r = -ba formülüyle bulunur. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında mutlak değerli terim sıfırlanır ve tepe noktasının ordinatı m(r) = c olur. Böylece tepe noktası T(r, c) = T(-ba, c) ve grafiği iki eş parçaya bölen simetri ekseni doğrusu x = -ba olarak elde edilir.

Eğer mutlak değerin önündeki işaret pozitif ise (m(x) = +|ax + b| + c), grafiğin kolları yukarı doğru ('V' şeklinde) açıktır: Fonksiyon (-∞, r] aralığında azalan, [r, ∞) aralığında artandır; tepe noktasında en küçük (minimum) değerini alır (min = c), maksimum değeri yoktur ve görüntü kümesi [c, ∞) olur.

Eğer mutlak değerin önündeki işaret negatif ise (m(x) = -|ax + b| + c), grafiğin kolları aşağı doğru (ters 'Λ' şeklinde) açıktır: Fonksiyon (-∞, r] aralığında artan, [r, ∞) aralığında azalandır; tepe noktasında en büyük (maksimum) değerini alır (maks = c), minimum değeri yoktur ve görüntü kümesi (-∞, c] olur. Fonksiyonun sıfırlarını (x eksenini kestiği noktaları) bulmak için m(x) = 0 denklemi çözülür; mutlak değerin eşiti pozitifse 2 farklı sıfırı, sıfıra eşitse 1 sıfırı (tepe noktası x eksenine teğet), negatifse gerçek sıfırı (kökü) yoktur.

GENEL MUTLAK DEĞER FONKSİYONU m(x) = ±|ax + b| + c VE NİTEL ÖZELLİKLERİ TEPE NOKTASI VE SİMETRİ EKSENİ (9.2.2.b) • Mutlak değerin içini sıfır yapan apsis (r): ax + b = 0 ⇒ r = -b / a • Tepe (Köşe) Noktası: T(r, c) = T(-b/a, c) • Simetri Ekseni Doğrusu: x = -b / a • Kolların Yönü: Mutlak değerin önündeki işaret "+" ise kollar YUKARI (V); "-" ise AŞAĞI (ters Λ) bakar. GÖRÜNTÜ KÜMESİ, MAKS-MİN VE ARTANLIK 1) m(x) = +|ax + b| + c (Kollar Yukarı — "V"): • Görüntü Kümesi: [c, ∞) · Minimum değer = c • (-∞, r] aralığında AZALAN, [r, ∞) aralığında ARTAN. 2) m(x) = -|ax + b| + c (Kollar Aşağı — "Λ"): • Görüntü Kümesi: (-∞, c] · Maksimum değer = c • (-∞, r] aralığında ARTAN, [r, ∞) aralığında AZALAN. Sağ kol eğimi: +|a|, Sol kol eğimi: -|a| (veya tersi)
🔍 Büyütmek için dokunun

Mutlak Değer Fonksiyonunun Parçalı Gösterimi (MAT.9.2.2.c)

Mutlak değer tanımına göre bir A ifadesi; A ≥ 0 ise mutlak değer dışına aynen (A) olarak, A < 0 ise eksi ile çarpılarak (-A) olarak çıkar. Bu temel özellik sayesinde her m(x) = ±|ax + b| + c mutlak değer fonksiyonu, kritik nokta olan x = -ba apsisinde birbirine bağlanan iki doğrusal fonksiyondan oluşan parçalı bir fonksiyon biçiminde yazılabilir.

Parçalı gösterimi elde etmek için üç adım izlenir: 1. Adım: Mutlak değerin içini sıfır yapan kritik nokta (ax + b = 0 ⇒ x = r) bulunur. 2. Adım: Mutlak değerin içinin pozitif olduğu aralıkta (ax + b ≥ 0) mutlak değer çubukları kaldırılarak ifade aynen çıkarılır ve c ile toplanıp düzenlenir. 3. Adım: Mutlak değerin içinin negatif olduğu aralıkta (ax + b < 0) mutlak değerin içi eksi (-) ile çarpılarak çıkarılır ve c ile toplanıp sadeleştirilir.

Örneğin m(x) = |2x - 6| + 1 fonksiyonunda kritik nokta 2x - 6 = 0 ⇒ x = 3 değeridir. x ≥ 3 için iç kısım pozitif olduğundan m(x) = (2x - 6) + 1 = 2x - 5 doğrusal kolu; x < 3 için iç kısım negatif olduğundan m(x) = -(2x - 6) + 1 = -2x + 7 doğrusal kolu elde edilir. Görüldüğü gibi sağ kolun eğimi +2, sol kolun eğimi -2 olup her iki kol da x = 3 noktasında m(3) = 1 değerini vererek T(3, 1) tepe noktasında birleşir.

PARÇALI FONKSİYON GÖSTERİMİ VE ÖRNEK GRAFİK: m(x) = |x - 2| - 3 T(2, -3) -1 5 x = 2 (Simetri Eks.) PARÇALI GÖSTERİM ÇIKARIMI (9.2.2.c) Kritik Nokta (Tepe Apsisi): x - 2 = 0 ⇒ x = 2 • x ≥ 2 için iç kısım (+) olduğundan aynen çıkar: m(x) = (x - 2) - 3 = x - 5 (x ≥ 2) • x < 2 için iç kısım (-) olduğundan "-" ile çarpılır: m(x) = -(x - 2) - 3 = -x - 1 (x < 2) Sıfırları (Kökleri): |x - 2| - 3 = 0 ⇒ x₁ = 5 ve x₂ = -1
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Gerçek sayılarda tanımlı m(x) = |x - 4| - 2 fonksiyonunun tepe noktasını, simetri eksenini, görüntü kümesini, minimum değerini ve artan-azalan olduğu aralıkları bulunuz.

    Cevabı göster

    Mutlak değerin içini sıfır yapan değer x - 4 = 0 ⇒ x = 4'tür. m(4) = 0 - 2 = -2 olduğundan Tepe Noktası T(4, -2) ve simetri ekseni x = 4 doğrusudur. Mutlak değerin önündeki işaret '+' olduğundan kollar yukarı bakar: Görüntü kümesi [-2, ∞) ve minimum değeri -2'dir. Fonksiyon (-∞, 4] aralığında azalan, [4, ∞) aralığında artandır.

  2. Örnek 2Gerçek sayılarda tanımlı g(x) = -|2x + 6| + 8 fonksiyonunun tepe noktasını, görüntü kümesini, eksenleri kestiği noktaları (sıfırlarını ve y kesim noktasını) bulunuz.

    Cevabı göster

    İç kısmı sıfır yapan apsis: 2x + 6 = 0 ⇒ x = -3. Tepe noktası T(-3, 8). Ön işaret '-' olduğu için kollar aşağı bakar, maksimum değeri 8 ve görüntü kümesi (-∞, 8] olur. y eksenini kestiği nokta (x = 0): g(0) = -|6| + 8 = 2 ⇒ (0, 2). Sıfırları (g(x) = 0): -|2x + 6| + 8 = 0 ⇒ |2x + 6| = 8. Buradan 2x + 6 = 8 ⇒ x₁ = 1 ve 2x + 6 = -8 ⇒ x₂ = -7 bulunur.

  3. Örnek 3f(x) = |3x - 9| + 4 mutlak değer fonksiyonunun kritik noktasını belirleyerek parçalı fonksiyon gösterimini yazınız.

    Cevabı göster

    Kritik nokta: 3x - 9 = 0 ⇒ x = 3. 1) x ≥ 3 için 3x - 9 ≥ 0 olduğundan mutlak değer dışına aynen çıkar: f(x) = (3x - 9) + 4 = 3x - 5. 2) x < 3 için 3x - 9 < 0 olduğundan eksi ile çarpılarak çıkar: f(x) = -(3x - 9) + 4 = -3x + 13. Böylece parçalı gösterim: x ≥ 3 ise 3x - 5; x < 3 ise -3x + 13 şeklindedir.

  4. Örnek 4k(x) = |x + 1| + 5 fonksiyonunun gerçek sayılarda sıfırının (x eksenini kestiği noktanın) olup olmadığını cebirsel ve grafiksel olarak açıklayınız.

    Cevabı göster

    Cebirsel olarak: k(x) = 0 eşitliğinde |x + 1| + 5 = 0 ⇒ |x + 1| = -5 elde edilir. Bir gerçek sayının mutlak değeri negatif olamayacağından denklemin çözüm kümesi boş kümedir ve fonksiyonun sıfırı yoktur. Grafiksel olarak: Tepe noktası T(-1, 5) x ekseninin üstündedir ve kollar yukarı doğru açıldığı için grafik x eksenini kesmez; daima pozitif değerlidir.

  5. Örnek 5Tepe noktası T(2, -6) olan ve grafiği A(0, -2) noktasından geçen m(x) = a·|x - r| + c mutlak değer fonksiyonunun kuralını ve sıfırlarını bulunuz.

    Cevabı göster

    Tepe noktası T(r, c) = T(2, -6) olduğundan r = 2 ve c = -6'dır: m(x) = a·|x - 2| - 6. Grafik A(0, -2) noktasından geçtiği için m(0) = -2 olmalıdır: a·|0 - 2| - 6 = -2 ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 2. Kural: m(x) = 2|x - 2| - 6. Sıfırları için 2|x - 2| - 6 = 0 ⇒ |x - 2| = 3 ⇒ x - 2 = 3 (x₁ = 5) veya x - 2 = -3 (x₂ = -1).

  6. Örnek 6Bir otoyolda 120. kilometrede bulunan dinlenme tesisine sabit 80 km/sa hızla yaklaşmakta ve ardından tesisi geçip yoluna devam etmekte olan bir aracın t saat sonra tesise olan uzaklığını veren d(t) mutlak değer fonksiyonunu yazınız ve aracın hangi saatlerde tesise 40 km uzaklıkta olacağını bulunuz.

    Cevabı göster

    Aracın t saatte aldığı yol 80t kilometredir; 120. km'deki tesise olan uzaklığı negatif olamayacağından d(t) = |120 - 80t| = |80t - 120| fonksiyonu ile modellenir. Tesise 40 km uzaklıkta olduğu anlar için |80t - 120| = 40 denklemi çözülür: 1) 80t - 120 = 40 ⇒ 80t = 160 ⇒ t₁ = 2. saat (tesisi geçtikten sonra); 2) 80t - 120 = -40 ⇒ 80t = 80 ⇒ t₂ = 1. saat (tesise varmadan önce).

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = |2x - 8| - 5 mutlak değer fonksiyonunun grafiğinin tepe (köşe) noktası ve simetri ekseni doğrusu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  2. 2Gerçek sayılarda tanımlı m(x) = -|x + 3| + 7 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  3. 3Gerçek sayılarda tanımlı g(x) = |x - 3| - 4 fonksiyonunun sıfırlarının (grafiğinin x eksenini kestiği noktaların apsislerinin) çarpımı kaçtır?

  4. 4Gerçek sayılarda tanımlı h(x) = |2x - 4| + 3 fonksiyonunun kritik noktasına göre parçalı fonksiyon gösteriminde x < 2 aralığındaki doğrusal kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

  5. 5

    • Gerçek sayılarda tanımlı n(x) = |x| fonksiyonunun grafiği y eksenine (x = 0 doğrusuna) göre simetriktir.
    • Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x) = |x - 2| + 1 fonksiyonu tüm gerçek sayılarda bire bir fonksiyondur.
    • m(x) = |x + 5| - 3 fonksiyonu (-∞, -5] aralığında azalan, [-5, ∞) aralığında ise artandır.
    • k(x) = |3x - 6| + 4 fonksiyonunun grafiği x eksenini iki farklı noktada keser.
    • f(x) = -|x - 1| + 6 fonksiyonunun alabileceği en büyük (maksimum) değer 6'dır.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = |x - 5| + 2 fonksiyonunun alabileceği en küçük (minimum) değer sayısıdır.
    2. m(x) = |3x + 12| - 1 fonksiyonunun grafiğinin simetri ekseni x = doğrusudur.
    3. Mutlak değerin önündeki işaret negatif olan g(x) = -|ax + b| + c fonksiyonunun grafiğinin kolları doğru bakar.
    4. f(x) = x doğrusal referans fonksiyonunun x ekseni altında kalan kısmının x eksenine göre alındığında |x| grafiği oluşur.
    5. Grafiği x eksenini x₁ = -2 ve x₂ = 8 apsisli noktalarda kesen bir mutlak değer fonksiyonunun tepe noktası apsisi r = olur.

  8. 8Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = |2x - 6| - 4 mutlak değer fonksiyonunun; a) Tepe noktasını ve simetri eksenini, b) Eksenleri kestiği noktaları (sıfırlarını ve y kesim noktasını), c) Görüntü kümesini ve artan-azalan aralıklarını, d) Parçalı fonksiyon gösterimini adım adım bulunuz.

Kısaca

  • Doğrusal Fonksiyonla Analoji: h(x) = ax + b doğrusunun x ekseni altında kalan kısmının x eksenine göre simetriği yukarı katlandığında |h(x)| ('V' şekilli) grafiği elde edilir.
  • Tepe Noktası ve Simetri Ekseni: m(x) = ±|ax + b| + c fonksiyonunda mutlak değerin içini sıfır yapan r = -ba apsisi ile T(-ba, c) tepe noktası ve x = -ba simetri ekseni bulunur.
  • Kolların Yönü ve Görüntü Kümesi: Ön işaret + ise kollar yukarı bakar, görüntü kümesi [c, ∞) ve minimum değer c'dir; ön işaret - ise kollar aşağı bakar, görüntü kümesi (-∞, c] ve maksimum değer c'dir.
  • Artanlık-Azalanlık ve Bire Birlik: m(x) = +|ax + b| + c fonksiyonu (-∞, r] aralığında azalan, [r, ∞) aralığında artandır; gerçek sayılar kümesinde bire bir değildir.
  • Parçalı Fonksiyon Gösterimi: Kritik nokta x = r sınır alınarak mutlak değerin içinin pozitif (+) ve negatif (-) olduğu iki aralıkta zıt eğimli (+a ve -a) iki doğrusal kol şeklinde yazılır.

Bu dersin öteki kaynakları