İçeriğe geç

9. sınıf · Matematik · 9. hafta (9-13 Kasım 2026)

Doğrusal Fonksiyonlarda Grafik Dönüşümleri g(x) = a·f(x ± r) ± k, Nitel Özelliklerin Muhakemesi ve Modelleme (MAT.9.2.1)

NİCELİKLER VE DEĞİŞİMLER teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x doğrusal referans fonksiyonu (birim fonksiyon), tüm doğrusal fonksiyonların yapı taşıdır. Bu referans fonksiyonun grafiği üzerinde yapılan yatay ve düşey ötelemeler, dikey ölçeklemeler ve eksen yansımaları sonucunda g(x) = a·f(x ± r) ± k = ax + b biçimindeki tüm doğrusal fonksiyonlar elde edilir ve günlük yaşamdaki sabit hızlı değişimler bu fonksiyonlarla modellenir.

f(x) = x Referans Fonksiyonundan g(x) = a·f(x ± r) ± k Grafik Dönüşümleri

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f: ℝ → ℝ, f(x) = x doğrusal referans fonksiyonunun grafiği, orijinden (0, 0) geçen ve eksenlerle 45° açı yapan birinci açıortay doğrusudur (eğimi 1'dir). Bu fonksiyon üzerinde a, r, k ∈ ℝ (a ≠ 0) parametreleriyle işlemler yapılarak g(x) = a·f(x ± r) ± k doğrusal fonksiyon ailesi türetilir. Referans fonksiyonda f(x) = x olduğundan bu ifade açıldığında g(x) = a(x ± r) ± k = ax + (k ± ar) yani genel g(x) = ax + b biçimine dönüşür.

Düşey Öteleme (k parametresi): f(x) + k dönüşümünde grafik y ekseni boyunca ötelenir; k > 0 ise grafik k birim yukarı, k < 0 ise |k| birim aşağı kayar (doğrunun eğimi değişmez, birbirine paralel doğrular oluşur). Yatay Öteleme (r parametresi): f(x - r) dönüşümünde (r > 0 için) grafik x ekseni boyunca r birim sağa, f(x + r) dönüşümünde ise r birim sola ötelenir.

Dikey Ölçekleme ve Yansıma (a parametresi): a·f(x) = ax dönüşümünde a katsayısı doğrunun eğimini (değişim oranını) belirler. |a| > 1 olduğunda doğru dikey eksene (y eksenine) yaklaşarak dikleşir; 0 < |a| < 1 olduğunda ise yatay eksene (x eksenine) yaklaşarak yataylaşır. Eğer a < 0 ise grafiğin x eksenine göre simetrisi (yansıması) alınır ve doğru sağa yatık (artan) iken sola yatık (azalan) hâle gelir.

DOĞRUSAL FONKSİYONLARDA ÖTELEME VE DİKEY ÖLÇEKLEME: g(x) = a·f(x ± r) ± k x y f(x) = x g₁(x) = x + 3 (+y öteleme) g₂(x) = -2x + 1 DÖNÜŞÜM PARAMETRELERİ (a, r, k) • Düşey Öteleme (±k): f(x) + k k > 0 ise y ekseninde k birim yukarı; k < 0 ise aşağı. • Yatay Öteleme (±r): f(x - r) f(x - r) grafiği r birim SAĞA; f(x + r) ise r birim SOLA! • Eğim ve Ölçekleme (a): a · f(x) |a| > 1 ise dikleşir; 0 < |a| < 1 ise yataylaşır; a < 0 ise x eksenine göre simetri (azalan doğru) olur.
🔍 Büyütmek için dokunun

Nitel Özellikler: Sıfır, İşaret, Artanlık-Azalanlık, Bire Birlik ve Maks-Min

g: ℝ → ℝ, g(x) = ax + b (a ≠ 0) doğrusal fonksiyonunun tanım kümesi de görüntü kümesi de tüm gerçek sayılardır (ℝ). Grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 verilir ve g(0) = b yani (0, b) noktası elde edilir. Fonksiyonun sıfırı (kökü), görüntüyü sıfır yapan (g(x) = 0) ve grafiğin x eksenini kestiği noktadır: ax + b = 0 ⇒ x0 = -ba bulunur.

Fonksiyonun işareti, sıfırı olan x0 = -ba noktasının sağında ve solunda değişir. Eğer a > 0 ise fonksiyon tüm gerçek sayılarda artandır; x > -ba için grafik x ekseninin üstündedir (g(x) > 0, pozitif), x < -ba için grafik x ekseninin altındadır (g(x) < 0, negatif). Eğer a < 0 ise fonksiyon azalandır; bu kez kökün solunda (x < -ba) pozitif, kökün sağında (x > -ba) negatif değer alır.

Her x1 ≠ x2 için ax1 + b ≠ ax2 + b yani g(x1) ≠ g(x2) olduğundan, eğimi sıfırdan farklı tüm doğrusal fonksiyonlar bire bir fonksiyondur. Tanım kümesi ℝ olduğunda doğru iki uçta da sonsuza uzandığı için fonksiyonun maksimum veya minimum değeri yoktur. Ancak tanım kümesi [m, n] gibi kapalı ve sınırlı bir aralık olarak verilirse, fonksiyon monoton (sürekli artan veya sürekli azalan) olduğu için maksimum ve minimum değerlerini mutlaka aralığın uç noktaları olan g(m) ve g(n)'de alır.

g(x) = ax + b FONKSİYONUNUN NİTEL ÖZELLİKLERİ VE İŞARET İNCELEMESİ EKSEN KESİM NOKTALARI VE İŞARET • y Eksenini Kestiği Nokta (x = 0): g(0) = b → (0, b) noktası • Sıfırı / Kökü (x Eksenini Kestiği Nokta, y = 0): ax + b = 0 → x₀ = -b / a ((-b/a, 0) noktası) • İşaret Tablosu (a > 0, Artan Doğru İçin): - x > -b/a aralığında: g(x) > 0 (Pozitif, x üstünde) - x < -b/a aralığında: g(x) < 0 (Negatif, x altında) BİRE BİRLİK VE MAKSİMUM - MİNİMUM • Bire Birlik (a ≠ 0): Her x₁ ≠ x₂ için g(x₁) ≠ g(x₂) olduğundan tüm doğrusal fonksiyonlar (a ≠ 0) bire birdir (Yatay doğru testinde her yatay doğru grafiği tek noktada keser). • Maksimum ve Minimum Değerler: - Tanım kümesi ℝ ise: Maks / Min noktası YOKTUR. - Tanım kümesi [m, n] kapalı aralığı ise: Uç noktalarda g(m) ve g(n) maks/min değerleri verir.
🔍 Büyütmek için dokunun

Sabit Değişim Oranı ve Gerçek Yaşam Problemlerinin Modellenmesi

Bir doğrusal fonksiyonda bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranına değişim oranı (eğim) denir ve a = g(x2) - g(x1)x2 - x1 formülüyle hesaplanır. Doğrusal fonksiyonların en ayırt edici özelliği, seçilen x1 ve x2 noktaları ne olursa olsun değişim oranının daima sabit (a) kalmasıdır.

Gerçek yaşamda başlangıç değeri b olan ve birim zamanda (veya birim miktarda) sabit a hızıyla değişen tüm süreçler g(x) = ax + b doğrusal fonksiyonuyla modellenir. Eğer nicelik zamanla sabit hızla artıyorsa (örneğin kumbaraya her hafta sabit para eklenmesi, fidanın her ay sabit uzaması, taksimetrenin her kilometrede sabit ücret yazması) eğim pozitiftir (a > 0).

Eğer nicelik zamanla sabit hızla tükeniyorsa veya azalıyorsa (örneğin yanan bir mumun boyunun kısalması, su deposunun sabit hızla boşalması, telefon şarjının sabit hızla azalması, araç deposundaki yakıtın harcanması) eğim negatiftir (a < 0). Bu problemlerde fonksiyonun sıfırı (g(t) = 0 yapan t değeri), mumun tamamen eridiği, deponun veya şarjın tamamen bittiği anı verir ve gerçek yaşam bağlamında tanım kümesi [0, t_bitiş] aralığıyla sınırlandırılır.

SABİT DEĞİŞİM ORANI VE GERÇEK YAŞAM MODELLEMESİ DEĞİŞİM ORANI (EĞİM = a) • Sabit Değişim Oranı Bağıntısı: a = Δy / Δx = [g(x₂) - g(x₁)] / (x₂ - x₁) • Bağımsız değişken (x) 1 birim arttığında bağımlı değişken g(x) her adımda sabit 'a' kadar değişir. • a > 0 → Artan Fonksiyon (Doğru sağa yatık) • a < 0 → Azalan Fonksiyon (Doğru sola yatık) GERÇEK YAŞAM MODELİ: g(x) = a·x + b • b (Sabit Terim / g(0)): Başlangıç miktarı (Taksimetre açılış ücreti, fidanın ilk boyu, ilk su) • a (Eğim / Katsayı): Birim zamandaki değişim hızı (Km başına ücret, aylık uzama, dakikada akan su) Örnek: 450 L'lik depodan dakikada 15 L su boşalırsa: Kalan Su: V(t) = 450 - 15t (t ∈ [0, 30])
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x doğrusal referans fonksiyonunun grafiğine sırasıyla; dikey olarak 3 katına çıkarma, yatayda 2 birim sağa öteleme ve düşeyde 5 birim aşağı öteleme dönüşümleri uygulandığında elde edilen g(x) fonksiyonunun kuralını ve sıfırını bulunuz.

    Cevabı göster

    Verilen dönüşümlere göre a = 3, yatayda 2 birim sağa öteleme f(x - 2) ve düşeyde 5 birim aşağı öteleme -5 olduğundan: g(x) = 3·f(x - 2) - 5 = 3(x - 2) - 5 = 3x - 11 bulunur. Fonksiyonun sıfırı için 3x - 11 = 0 eşitliğinden x = 113 elde edilir.

  2. Örnek 2g: [-2, 4] → ℝ, g(x) = -3x + 7 olarak tanımlanan doğrusal fonksiyonun artan/azalanlığını, bire birliğini ve alabileceği en büyük (maksimum) ile en küçük (minimum) değerleri bulunuz.

    Cevabı göster

    Fonksiyonun eğimi a = -3 < 0 olduğundan g fonksiyonu azalandır ve a ≠ 0 olduğu için bire birdir. Azalan bir fonksiyon kapalı [-2, 4] aralığında en büyük değerini sol uç noktada, en küçük değerini ise sağ uç noktada alır: Maksimum değer g(-2) = -3(-2) + 7 = 13; minimum değer ise g(4) = -3(4) + 7 = -5 olur.

  3. Örnek 3Gerçek sayılarda tanımlı g(x) = 4x - 12 doğrusal fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları ve pozitif/negatif olduğu aralıkları belirleyiniz.

    Cevabı göster

    x = 0 için g(0) = -12 olduğundan y eksenini (0, -12) noktasında keser. g(x) = 0 için 4x - 12 = 0 ⇒ x = 3 olduğundan x eksenini (3, 0) noktasında keser (sıfırı x = 3'tür). Eğim a = 4 > 0 (artan) olduğundan x > 3 yani (3, ∞) aralığında g(x) > 0 (pozitif); x < 3 yani (-∞, 3) aralığında ise g(x) < 0 (negatif) değer alır.

  4. Örnek 4Doğrusal bir h(x) fonksiyonunda h(2) = 11 ve h(5) = 23 olduğu biliniyor. Buna göre fonksiyonun değişim oranını (eğimini) ve h(x) kuralını bulunuz.

    Cevabı göster

    Sabit değişim oranı (eğim) a = h(5) - h(2)5 - 2 = 23 - 113 = 123 = 4 olarak bulunur. h(x) = 4x + b denkleminde h(2) = 11 yazılırsa 4(2) + b = 11 ⇒ b = 3 olur. Buradan fonksiyonun kuralı h(x) = 4x + 3 olarak elde edilir.

  5. Örnek 5Başlangıçtaki boyu 24 cm olan bir mum yakıldıktan sonra dakikada 1,5 cm sabit hızla erimektedir. Mumun t. dakikadaki boyunu veren L(t) doğrusal fonksiyonunu, tanım ve görüntü kümesini yazınız.

    Cevabı göster

    Başlangıç boyu b = 24 cm ve değişim oranı (erime hızı) a = -1,5 cm/dk olduğundan kural L(t) = 24 - 1,5t olur. Mumun tamamen erime süresi L(t) = 0 ⇒ 24 - 1,5t = 0 ⇒ t = 16 dakikadır. Gerçek yaşam bağlamında tanım kümesi [0, 16] (dakika) ve görüntü kümesi [0, 24] (cm) kapalı aralığıdır.

  6. Örnek 6Bir otoparkta A tarifesinde giriş ücreti 40 TL ve her saat için 15 TL; B tarifesinde ise giriş ücreti 10 TL ve her saat için 25 TL alınmaktadır. Kaçıncı saatte iki tarifenin ücreti birbirine eşit olur ve 5 saat kalacak bir sürücü için hangi tarife daha ekonomiktir?

    Cevabı göster

    Fonksiyon kuralları A(t) = 15t + 40 ve B(t) = 25t + 10'dur. Eşitlik için 15t + 40 = 25t + 10 ⇒ 10t = 30 ⇒ t = 3. saatte her iki tarife de 85 TL olarak eşitlenir. 5 saat kalacak sürücü için A(5) = 15(5) + 40 = 115 TL ve B(5) = 25(5) + 10 = 135 TL olduğundan A tarifesi 20 TL daha ekonomiktir.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x doğrusal referans fonksiyonundan türetilen g(x) = -2·f(x + 3) + 4 fonksiyonunun cebirsel kuralı ve sıfırı (grafiğin x eksenini kestiği noktanın apsisi) aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 2[-3, 5] kapalı aralığında tanımlı g(x) = -4x + 9 doğrusal fonksiyonunun alabileceği en büyük (maksimum) değer ile en küçük (minimum) değerin toplamı kaçtır?

  3. 3Gerçek sayılarda tanımlı g(x) = (m - 3)x + 12 doğrusal fonksiyonunun grafiği x eksenini (-4, 0) noktasında kestiğine göre bu fonksiyonla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  4. 4İçinde 600 litre su bulunan bir havuz, sabit hızla su akıtan bir muslukla doldurulmaktadır. Musluk açıldıktan 4 dakika sonra havuzdaki su miktarı 740 litre olduğuna göre, musluk açıldıktan 12 dakika sonra havuzda kaç litre su bulunur?

  5. 5

    • Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x doğrusal referans fonksiyonunun grafiği orijinden geçen birinci açıortay doğrusudur.
    • g(x) = ax + b (a ≠ 0) doğrusal fonksiyonlarında a < 0 ise fonksiyon gerçek sayılarda artandır.
    • Eğimi sıfırdan farklı (a ≠ 0) olan her doğrusal fonksiyon gerçek sayılar kümesinde bire bir fonksiyondur.
    • Tanım kümesi tüm gerçek sayılar (ℝ) olan g(x) = 2x + 5 fonksiyonunun minimum değeri 5'tir.
    • f(x) = x grafiğini y ekseni boyunca 4 birim yukarı ötelemek g(x) = f(x) + 4 = x + 4 fonksiyonunu verir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. g(x) = ax + b doğrusal fonksiyonunda x = 0 için elde edilen g(0) = b değerine fonksiyonun terimi denir.
    2. Bir fonksiyonun görüntüsünü sıfır yapan (g(x) = 0) x değerine o fonksiyonun veya kökü adı verilir.
    3. g(x) = a·f(x) dönüşümünde |a| > 1 olduğunda doğrunun eğimi büyür ve grafik y eksenine yaklaşarak .
    4. g(x) = 3x - 9 doğrusal fonksiyonu x > 3 aralığında işaretli değerler alır.
    5. Kapalı bir [m, n] aralığında tanımlı doğrusal fonksiyon, maksimum ve minimum değerlerini aralığın noktalarında alır.

  8. 8Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x doğrusal referans fonksiyonundan türetilen g(x) = -2·f(x - 1) + 6 fonksiyonunun cebirsel kuralını, eksenleri kestiği noktaları, artan/azalanlığını, işaret tablosunu ve [-1, 5] kapalı aralığındaki maksimum-minimum değerlerini adım adım muhakeme ederek bulunuz.

Kısaca

  • Grafik Dönüşümleri: f(x) = x referans fonksiyonundan türetilen g(x) = a·f(x ± r) ± k fonksiyonunda k düşey ötelemeyi, r yatay ötelemeyi, a ise dikey ölçeklemeyi (eğimi) ve yansımayı belirler.
  • Eğim ve Monotonluk: g(x) = ax + b fonksiyonunda sabit değişim oranı a = Δy/Δx eğimi verir; a > 0 ise fonksiyon artan (sağa yatık), a < 0 ise azalan (sola yatık) doğrudur.
  • Sıfır ve İşaret: Grafiğin y eksenini kestiği nokta (0, b), x eksenini kestiği nokta (fonksiyonun sıfırı/kökü) ise x₀ = -b/a değeridir; fonksiyonun işareti x₀ kökünde yön değiştirir.
  • Bire Birlik ve Maks-Min: Eğimi a ≠ 0 olan her doğrusal fonksiyon bire birdir; tanım kümesi ℝ iken maks/min noktası yoktur, kapalı [m, n] aralığında ise uç noktalarda (g(m) ve g(n)) maks/min alır.
  • Gerçek Yaşam Modellemesi: Başlangıç miktarı b ve birim zamandaki sabit değişim hızı a olan süreçler g(t) = at + b ile modellenir; t ≥ 0 ve g(t) ≥ 0 kısıtlarıyla tanım-görüntü kümesi belirlenir.

Bu dersin öteki kaynakları