İçeriğe geç

9. sınıf · Matematik · 8. hafta (2-6 Kasım 2026)

Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri: f(x) = x Referans Fonksiyonu ve g(x) = a·f(x ± r) ± k Analizi

NİCELİKLER VE DEĞİŞİMLER teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Günlük yaşamda sabit hızla ilerleyen bir aracın aldığı yol, düzenli birikim yapılan bir hesaptaki para miktarı veya sabit hızla yanan bir mumun boyu gibi pek çok durum doğrusal bir değişim gösterir. Doğrusal fonksiyonların en yalın hâli olan f(x) = x referans fonksiyonunun nitel özelliklerini ve dönüşümlerini anlamak, tüm doğrusal modelleri hem cebirsel hem de grafiksel olarak yorumlamamızı sağlar.

Doğrusal Referans Fonksiyon f(x) = x ve Türetilen g(x) = a·f(x ± r) ± k Fonksiyonları

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f: ℝ → ℝ, f(x) = x fonksiyonuna doğrusal referans fonksiyon (birim fonksiyon) denir. Grafiği koordinat düzleminde orijinden O(0, 0) geçen ve I. ile III. bölgelerin açıortayı olan (y = x, eğimi a = 1) bir doğrudur. Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi ℝ, sıfırı (kökü) x = 0 olup x > 0 için pozitif, x < 0 için negatif değer alır ve tüm gerçek sayılarda artan ve bire bir bir fonksiyondur.

Referans fonksiyon f(x) = x üzerinde yapılan cebirsel işlemlerle a, r, k ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere g(x) = a · f(x ± r) ± k biçimindeki tüm doğrusal fonksiyonlar türetilir. f(x) = x yerine yazıldığında bu ifade g(x) = a(x ± r) ± k = ax + b genel formuna dönüşür. Burada r parametresi grafiği yatay eksende (f(x - r) ise r birim sağa, f(x + r) ise r birim sola), k parametresi ise düşey eksende (+k ise k birim yukarı, -k ise k birim aşağı) öteler.

Baş katsayı olan a (eğim / sabit değişim oranı), doğrunun dikliğini ve yönünü belirler. Bağımsız değişken x değerindeki 1 birimlik artışa karşılık bağımlı değişken g(x) değerindeki değişim miktarı her yerde sabittir ve a = g(x2) - g(x1)x2 - x1 = ΔyΔx oranına eşittir. |a| > 1 olduğunda doğru dikleşir (y eksenine yaklaşır), 0 < |a| < 1 olduğunda yataylaşır (x eksenine yaklaşır), a < 0 olduğunda ise grafik x eksenine göre yansıyarak yön değiştirir.

DOĞRUSAL REFERANS FONKSİYON f(x) = x VE DÖNÜŞÜMLERİ REFERANS FONKSİYON: f(x) = x f(x) = x g(x) = 2x + 1 O(0,0) Tanım Kümesi: ℝ | Görüntü Kümesi: ℝ | Eğim: a = 1 TÜRETİLEN FONKSİYON: g(x) = a·f(x ± r) ± k • f(x) = x iken g(x) = a(x - r) + k = ax + b • Yatay Öteleme (r): f(x - r) → r birim sağa; f(x + r) → r birim sola ötelenir. • Düşey Öteleme (k): +k → k birim yukarı; -k → k birim aşağı ötelenir. • Katsayı / Eğim (a): Diklik ve artan-azalanlığı belirler; a < 0 ise x eksenine göre yansıma olur. Değişim Oranı (Eğim): m = a = Δy / Δx = [g(x₂)-g(x₁)] / (x₂-x₁)
🔍 Büyütmek için dokunun

Nitel Özellikler: Eğim, Artanlık-Azalanlık, Sıfır ve İşaret İncelemesi

Bir g(x) = ax + b (a ≠ 0) doğrusal fonksiyonunun artan veya azalan olması doğrudan a katsayısının (eğimin) işaretine bağlıdır. Eğer a > 0 ise x değerleri arttıkça g(x) değerleri de artar (x₁ < x₂ iken g(x₁) < g(x₂)); bu durumda fonksiyon artandır ve grafiği soldan sağa doğru yükselir. Eğer a < 0 ise x değerleri arttıkça g(x) değerleri azalır (x₁ < x₂ iken g(x₁) > g(x₂)); bu durumda fonksiyon azalandır ve grafiği soldan sağa doğru alçalır.

Fonksiyonun değerini sıfır yapan x değerine (g(x) = 0 denkleminin çözümüne) fonksiyonun sıfırı (kökü) denir ve grafikte doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisini gösterir: ax + b = 0 ⇒ x₀ = -ba. Fonksiyonun y eksenini kestiği nokta ise x = 0 verilerek bulunur: g(0) = b, yani (0, b) noktasıdır.

Fonksiyonun işareti, grafiğin x ekseninin üstünde (g(x) > 0, pozitif) veya altında (g(x) < 0, negatif) kaldığı aralıkları ifade eder. Fonksiyonun sıfırı olan x₀ = -ba noktası sınır değerdir: a > 0 (artan) ise x > -ba için g(x) > 0 (pozitif) ve x < -ba için g(x) < 0 (negatif) olur. a < 0 (azalan) olduğunda ise bu işaret aralıkları yer değiştirir.

NİTEL ÖZELLİKLER: ARTANLIK-AZALANLIK, SIFIR (KÖK) VE İŞARET EĞİM (a) VE ARTANLIK - AZALANLIK • a > 0 ise ARTAN Fonksiyon: x₁ < x₂ iken g(x₁) < g(x₂) olur. Grafik soldan sağa yukarı yükselir (Örn: g(x) = 3x - 6). • a < 0 ise AZALAN Fonksiyon: x₁ < x₂ iken g(x₁) > g(x₂) olur. Grafik soldan sağa aşağı iner (Örn: g(x) = -2x + 8). FONKSİYONUN SIFIRI (KÖKÜ) VE İŞARETİ • Fonksiyonun Sıfırı (x eksenini kestiği nokta): g(x) = ax + b = 0 ⇒ x₀ = -b / a • y Eksenini Kestiği Nokta (x = 0 için): g(0) = b ⇒ (0, b) noktası İşaret İncelemesi (a > 0 ise): x > -b/a aralığında g(x) > 0 (Pozitif, x ekseni üstü) x < -b/a aralığında g(x) < 0 (Negatif, x ekseni altı)
🔍 Büyütmek için dokunun

Bire Birlik, Maksimum-Minimum Değerler ve Gerçek Yaşam Modellemesi

Tanım kümesi ve değer kümesi tüm gerçek sayılar olan g: ℝ → ℝ, g(x) = ax + b (a ≠ 0) doğrusal fonksiyonunda, tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü de birbirinden farklı olduğundan (x₁ ≠ x₂ iken ax₁ + b ≠ ax₂ + b) fonksiyon bire birdir. Aynı zamanda görüntü kümesi tüm gerçek sayılar (G(g) = ℝ) olduğu için uçları sonsuza uzanan bu doğrusal fonksiyonun ℝ üzerinde maksimum (en büyük) veya minimum (en küçük) değeri yoktur.

Ancak doğrusal fonksiyon sınırlı ve kapalı bir gerçek sayı aralığında (g: [m, n] → ℝ) tanımlanırsa, fonksiyon sürekli olarak artan veya azalan olduğu için maksimum ve minimum değerlerini aralığın uç noktalarında alır. a > 0 (artan) ise minimum değer g(m), maksimum değer g(n) olur ve görüntü kümesi [g(m), g(n)] aralığıdır. a < 0 (azalan) ise maksimum değer g(m), minimum değer g(n) olur ve görüntü kümesi [g(n), g(m)] aralığıdır.

Gerçek yaşam problemlerinde başlangıç miktarı b (g(0) = b) ve birim zamandaki sabit değişim hızı a (artış ise +a, azalış ise -a) olarak modellenir: g(x) = ax + b. Örneğin içinde 80 litre su bulunan bir depoya dakikada 15 litre su akıtılıyorsa x. dakikadaki su miktarı g(x) = 15x + 80 fonksiyonuyla; boyu 24 cm olan ve saatte 3 cm eriyen bir mumun kalan boyu ise h(x) = 24 - 3x fonksiyonuyla modellenir.

TANIM ARALIĞI, MAKSİMUM-MİNİMUM VE BİRE BİR-ÖRTENLİK BİRE BİRLİK VE MAKSİMUM-MİNİMUM • Gerçek Sayılarda (g: ℝ → ℝ, a ≠ 0): - Her farklı x'in görüntüsü farklıdır → BİRE BİR. - Görüntü kümesi tüm ℝ'dir → ÖRTEN. - Tanım kümesi ℝ iken max ve min değeri YOKTUR. • Kapalı Aralıkta Tanımlı İse (g: [m, n] → ℝ): - a > 0 (artan) ise: Min = g(m), Max = g(n) - a < 0 (azalan) ise: Max = g(m), Min = g(n) Görüntü kümesi de kapalı bir aralık olur. GERÇEK YAŞAM MODELLEMESİ Genel Model: g(x) = a·x + b b: Başlangıç değeri (x = 0) | a: Birim değişim oranı • Örnek 1 (Kumbara): Başlangıçta 120 TL olan ve her gün 30 TL eklenen kumbara → g(x) = 30x + 120 • Örnek 2 (Su Deposu): 500 L su bulunan ve dakikada 25 L boşalan depo → g(x) = 500 - 25x (Sıfırı: x = 20 dk)
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x referans fonksiyonunun grafiği 3 birim sağa ötelendikten sonra dikey doğrultuda 2 katına çıkarılıp 1 birim yukarı ötelenirse elde edilen g(x) fonksiyonunun cebirsel kuralı ve sıfırı nedir?

    Cevabı göster

    Dönüşüm adımları uygulandığında g(x) = 2 · f(x - 3) + 1 elde edilir. f(x - 3) = x - 3 olduğundan g(x) = 2(x - 3) + 1 = 2x - 6 + 1 = 2x - 5 bulunur. Fonksiyonun sıfırı için 2x - 5 = 0 eşitliğinden x = 5/2 elde edilir.

  2. Örnek 2Gerçek sayılarda tanımlı g(x) = -3x + 12 doğrusal fonksiyonunun eğimini, artan/azalanlığını, eksenleri kestiği noktaları ve pozitif-negatif olduğu aralıkları belirleyiniz.

    Cevabı göster

    Fonksiyonun eğimi a = -3'tür; a < 0 olduğu için fonksiyon azalandır. x = 0 için y eksenini (0, 12) noktasında; g(x) = 0 için -3x + 12 = 0 ⇒ x = 4 olduğundan x eksenini (4, 0) noktasında keser (sıfırı x = 4'tür). Azalan olduğu için (-∞, 4) aralığında pozitif (g(x) > 0), (4, ∞) aralığında ise negatif (g(x) < 0) değer alır.

  3. Örnek 3Tanım kümesi [-2, 5] kapalı aralığı olan g: [-2, 5] → ℝ, g(x) = 4x - 3 fonksiyonunun alabileceği en küçük (minimum) ve en büyük (maksimum) değerleri bularak görüntü kümesini yazınız.

    Cevabı göster

    Fonksiyonun baş katsayısı a = 4 > 0 olduğundan g(x) artan bir fonksiyondur. Bu nedenle en küçük değerini sol uç noktada: g(-2) = 4(-2) - 3 = -11; en büyük değerini ise sağ uç noktada: g(5) = 4(5) - 3 = 17 olarak alır. Görüntü kümesi [-11, 17] kapalı aralığıdır.

  4. Örnek 4Doğrusal bir g(x) fonksiyonunda g(1) = 7 ve g(4) = 19 olduğuna göre bu fonksiyonun değişim oranını (eğimini) ve g(x) kuralını bulunuz.

    Cevabı göster

    Sabit değişim oranı (eğim) a = [g(4) - g(1)] / (4 - 1) = (19 - 7) / 3 = 12 / 3 = 4'tür. g(x) = 4x + b denkleminde g(1) = 7 yazılırsa 4(1) + b = 7 ⇒ b = 3 olur. Dolayısıyla fonksiyonun kuralı g(x) = 4x + 3'tür.

  5. Örnek 5f(x) = x doğrusal referans fonksiyonu kullanılarak tanımlanan h(x) = (2m - 6)x + 9 fonksiyonu gerçek sayılarda azalan bir doğrusal fonksiyon olduğuna göre m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

    Cevabı göster

    Doğrusal fonksiyonun azalan olması için x'in katsayısı (eğimi) sıfırdan küçük olmalıdır: 2m - 6 < 0 ⇒ 2m < 6 ⇒ m < 3 bulunur. Buna göre m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 2'dir.

  6. Örnek 6Tam dolu olduğunda 60 litre yakıt alan bir otomobilin deposu, sabit hızla gidilen her 100 km yolda 6 litre yakıt tüketmektedir. Kalan yakıt miktarını gidilen yola (x yüz km) bağlı olarak modelleyiniz ve yakıtın kaç km sonra biteceğini bulunuz.

    Cevabı göster

    Yüz kilometrelik birim yol x ile gösterildiğinde kalan yakıt fonksiyonu g(x) = 60 - 6x (veya km cinsinden g(s) = 60 - 0,06s) olur. Yakıtın bitmesi fonksiyonun sıfırı demektir: 60 - 6x = 0 ⇒ x = 10 yüz km, yani 1000 km sonra yakıt tamamen biter.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x doğrusal referans fonksiyonundan türetilen g(x) = -2·f(x + 3) + 4 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktanın apsisi (fonksiyonun sıfırı) kaçtır?

  2. 2Tanım kümesi [-3, 4] kapalı aralığı olan g: [-3, 4] → ℝ, g(x) = -3x + 5 doğrusal fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  3. 3Gerçek sayılar kümesinde tanımlı g(x) = 3x - 12 doğrusal fonksiyonunun nitel özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  4. 4Dikildiğinde boyu 40 cm olan bir fidan her ay düzenli olarak 6 cm uzamaktadır. Fidanın dikildikten x ay sonraki boyunu (cm) veren doğrusal fonksiyon g(x) olduğuna göre, fidanın boyu kaçıncı ayın sonunda 112 cm olur?

  5. 5

    • Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x doğrusal referans fonksiyonunun grafiği orijinden geçer ve eğimi 1'dir.
    • Bir g(x) = ax + b doğrusal fonksiyonunda a < 0 ise x değerleri arttıkça g(x) değerleri de artar.
    • Tanım kümesi tüm gerçek sayılar (ℝ) olan ve eğimi sıfırdan farklı bir doğrusal fonksiyonun maksimum veya minimum değeri yoktur.
    • f(x) = x fonksiyonunun grafiği 4 birim sola ötelendiğinde elde edilen fonksiyon g(x) = x - 4 olur.
    • Doğrusal fonksiyonlarda bağımsız değişkendeki değişim miktarına karşılık bağımlı değişkendeki değişim oranı her aralıkta sabittir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Gerçek sayılarda tanımlı g(x) = ax + b (a ≠ 0) doğrusal fonksiyonunda x = 0 için elde edilen b değerine grafiğin eksenini kestiği nokta denir.
    2. Bir doğrusal fonksiyonun grafiği x ekseninin üstünde kaldığı aralıklarda değer alır.
    3. Tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü birbirinden farklı olan fonksiyonlara fonksiyon denir.
    4. Kapalı bir [m, n] aralığında tanımlı doğrusal fonksiyon, maksimum ve minimum değerlerini aralığın noktalarında alır.
    5. g(x) = -5x + 20 doğrusal fonksiyonunun sıfırı (kökü) x = gerçek sayısıdır.

  8. 8f(x) = x doğrusal referans fonksiyonundan türetilen g(x) = -2·f(x - 1) + 6 fonksiyonunun cebirsel kuralını, eksenleri kestiği noktaları ve işaret tablosu/aralıklarını üç adımda bulunuz.

Kısaca

  • Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x doğrusal referans fonksiyonu orijinden geçer, eğimi 1'dir, tanım ve görüntü kümesi ℝ olup bire bir ve artandır.
  • f(x) = x fonksiyonundan yatay öteleme (r), düşey öteleme (k) ve dikey ölçekleme/yansıma (a) ile g(x) = a·f(x ± r) ± k = ax + b doğrusal fonksiyonları türetilir.
  • g(x) = ax + b fonksiyonunda a sabit değişim oranıdır (eğim); a > 0 ise fonksiyon artan, a < 0 ise fonksiyon azalandır.
  • Fonksiyonun sıfırı (x eksenini kestiği nokta) g(x) = 0 eşitliğinden x₀ = -b/a olarak, y eksenini kestiği nokta ise g(0) = b olarak bulunur.
  • Tanım kümesi ℝ iken doğrusal fonksiyonun maksimum/minimum noktası yoktur; ancak kapalı bir [m, n] aralığında tanımlandığında maksimum ve minimum değerlerini uç noktalarda alır.

Bu dersin öteki kaynakları