Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler (2. Bölüm)

Astronomi, fizik, demografi ve mühendislikte karşılaşılan çok büyük ya da çok küçük sayıları kolayca okuyup işlem yapabilmek için üslü ve bilimsel gösterim kullanılır. Sıfırdan farklı bir gerçek sayının 1 ≤ |a| < 10 ve n bir tam sayı olmak üzere a · 10ⁿ biçiminde yazılmasına bilimsel gösterim denir.

Üslü biçimde verilen büyüklükler karşılaştırılırken veya toplanıp çıkarılırken 10’un kuvvetleri eşitlenir; kuvvetler eşit olduğunda katsayısı büyük olan pozitif sayı daha büyüktür. Örneğin 10¹¹ ortak çarpanında yazılan 5,4 · 10¹¹, 9,1 · 10¹¹ ve 23 · 10¹¹ sayıları doğrudan katsayılarına (5,4 < 9,1 < 23) göre sıralanır.

Çarpma ve bölme içeren formüllerde ise katsayılar kendi arasında, 10’un kuvvetleri kendi arasında işleme sokulur. Örneğin bir şehrin nüfus yoğunluğu hesaplanırken yaklaşık nüfus, yüz ölçümüne bölünür (Pekin için 2,15 · 10⁷1,6 · 10³ = 2,151,6 · 10⁴); gezegenlerin yer çekimi ivmesi g = G · MR² formülüyle hesaplanırken de kütle (M), yarıçapın karesi (R²) ve evrensel çekim sabiti (G ≈ 6,673 · 10⁻¹¹) üslü işlem kurallarıyla çarpılıp bölünür.

Kuvveti rasyonel sayı olan üslü gösterimler köklü gösterime, köklü gösterimler de rasyonel üslü gösterime dönüştürülebilir. m ve n pozitif tam sayılar (n ≥ 2) ve x > 0 olmak üzere x^m/n ifadesi n. dereceden kök içinde x^m anlamına gelir. Burada n sayısına kökün derecesi denir ve ifade “n. dereceden kök x üzeri m” diye okunur; n = 2 olduğunda derece yazılmaz (x^m) ve “karekök x üzeri m” olarak okunur.

Örneğin 2^3/2 = 2³ = 8, 5^2/3 = 35² = 325 olarak köklü biçime çevrilir. Tersine 6 = 6^1/2 ve 37⁵ = 7^5/3 biçiminde üslü olarak yazılır.

Bir köklü ifadenin gerçek sayı belirtmesi kökün derecesine bağlıdır: tek dereceli kökler (örneğin 3a veya 5a) her a gerçek sayısı için gerçek sayıdır (3−27 = −3). Buna karşılık çift dereceli kökler (örneğin a veya 4a) yalnızca a ≥ 0 olduğunda gerçek sayıdır. Ayrıca n. dereceden kök içinde aⁿ ifadesi n tek ise a’ya (3a³ = a), n çift ise |a|’ya (4a⁴ = |a|) eşittir.

Kök dereceleri ve kök içleri aynı olan köklü ifadelerle toplama ve çıkarma yapılırken katsayılar toplanır veya çıkarılır, ortak kök aynen yazılır: örneğin 435 + 235 = 635 olur. Kök içleri farklı görünse bile tam kuvvet çarpanları kök dışına çıkarılarak eşitlenebilir: 354 + 316 işleminde 54 = 27 · 2 = 3³ · 2 ve 16 = 8 · 2 = 2³ · 2 yazılarak 332 + 232 = 532 elde edilir.

Dereceleri eşit olan köklü gösterimlerde çarpma ve bölme işlemleri ortak kök içinde yapılabilir: 3x · 3y = 3x · y ve 3x3y = 3xy (y ≠ 0). Örneğin 524 · 5453 = 524 · 43 = 532 = 52⁵ = 2 bulunur.

Bir köklü ifadenin tekrar kökü alındığında (kökün kökü), rasyonel üssün üssü kuralı gereği kök dereceleri çarpılır: m, n ≥ 2 için m. dereceden kök içinde n. dereceden kök x ifadesi (m · n). dereceden kök x’e eşittir. Örneğin 312 = 612’dır. Ay yüzeyinde a metre yükseklikten bırakılan ve her çarpmada önceki yüksekliğin karekökü kadar yükselen bir cisim; 1. çarpmada a, 2. çarpmada a = 4a, 3. çarpmada ise 4a = 8a metre yükselir.

Rasyonel bir kesrin pay ve paydası aynı sayıyla genişletildiğinde veya sadeleştirildiğinde değeri değişmediği gibi, bir köklü gösterimde de kök derecesi ile kök içindeki sayının üssü aynı pozitif tam sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir: x^m/n = x^{(m·k)/(n·k)}. Örneğin 3 = 3^1/2 = 3^3/6 = 63³ = 627 ve 65⁴ = 5^4/6 = 5^2/3 = 35² = 325 olur.

Kök dereceleri farklı olan köklü ifadelerle çarpma veya bölme yapabilmek için önce köklerin dereceleri (genellikle derecelerin en küçük ortak katında) eşitlenir, ardından ortak kök içinde işlem yapılır. Örneğin 62 · 35 işleminde ikinci kökün derecesi 2 ile genişletilir: 62 · 65² = 62 · 25 = 650 bulunur.

Benzer şekilde, kök dereceleri farklı olan pozitif sayıları küçükten büyüğe sıralamak için de kök dereceleri eşitlenir; dereceler eşitlendiğinde kök içi büyük olan sayı daha büyüktür. Örneğin a = 33, b = 62 ve c = 97 sayılarının dereceleri 18’de eşitlendiğinde a = 183⁶ = 18729, b = 182³ = 188 ve c = 187² = 1849 olur; 8 < 49 < 729 olduğundan b < c < a sıralaması elde edilir.

Paydası köklü gösterim içeren kesirlerle toplama veya çıkarma yaparken paydayı rasyonel sayıya dönüştürmek işlemleri büyük ölçüde kolaylaştırır. Çarpımları rasyonel sayı olan iki köklü ifadeye birbirinin eşleniği denir.

Paydada tek terimli a (a > 0) bulunduğunda kesrin pay ve paydası a ile genişletilir; çünkü a · a = a rasyonel bir sayıdır: 1a = aa. Örneğin 12 + 123 işleminde birinci kesir 2 ile, ikinci kesir 3 ile genişletilerek 22 + 36 = 32 + 36 sonucuna ulaşılır.

Paydada a − b veya a + b biçiminde iki terimli bir ifade varsa, iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılarak pay ve payda aradaki işaretin zıddı olan eşlenik çarpanla genişletilir: (a − b) · (a + b) = a − b. Örneğin 15 − 2 kesri (5 + 2) ile genişletildiğinde 5 + 25 − 2 = 5 + 23 bulunur.

Tam kare olmayan bir pozitif sayının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için sayı önce kendisine en yakın ardışık iki tam kare sayı arasına yerleştirilir, ardından aralık daraltılarak hangi uca daha yakın olduğu belirlenir. Örneğin 3 sayısı 1 < 3 < 4 olduğundan 1 ile 2 arasındadır; 3 sayısı 4’e daha yakın olduğu için 1,5 ile 2 arasında incelenir ve (1,75)² = 3,0625 ≈ 3 olduğundan 3 ≈ 1,75 olarak alınabilir.

Bu yöntem mühendislik ve günlük hayat maliyet hesaplarında doğrudan kullanılır. Örneğin alanı 1200 m² olan kare şeklindeki bir arazinin bir kenarı 1200 = 203 metredir. 3 ≈ 1,75 alındığında bir kenar yaklaşık 20 · 1,75 = 35 m, arazinin çevresi 4 · 35 = 140 m olur; 5 metrelik çit panellerinden 140 / 5 = 28 adet gerektiği ve tanesi 1700 TL’den toplam maliyetin 28 · 1700 = 47 600 TL olacağı bulunur.

Fizikteki serbest düşme formülü olan t = 2hg eşitliğinde de köklü işlemler kullanılır: g = 9,8 m/sn.² iken 0,5 m yükseklikten bırakılan ilk cisim 2 · 0,59,8 = 1098 = 1710 saniyede, 2 m yükseklikten bırakılan ikinci cisim ise 2 · 29,8 = 2710 saniyede yere ulaşır ve toplam süre 3710 saniye olur.