9. Sınıf Matematik 12. Hafta: Doğrusal Fonksiyonlarla ve Mutlak Değerle İfade Edilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Gerçek Yaşam Problemleri ve Modelleme (MAT.9.2.3)

Doğrusal Modelleme, Başabaş Noktası ve Karşılaştırma Problemleri (MAT.9.2.3.a-e)

Birim zamandaki veya birim miktardaki değişim hızı (artış ya da azalış oranı) sabit olan gerçek yaşam durumları f(x) = a · x + b doğrusal fonksiyonuyla modellenir. Bu modelde b = f(0) sabit terimi başlangıç değerini (sabit abonelik ücreti, taksimetre açılış ücreti, dikilen fidanın ilk boyu, depodaki başlangıç yakıt miktarı); a katsayısı (doğrunun eğimi) ise birim değişim oranını (1 km başına ücret, 1 ayda uzama miktarı, 1 saatte harcanan yakıt) temsil eder. Artan süreçlerde a > 0, azalan/tükenen süreçlerde a < 0 alınır ve fonksiyonun sıfırı (f(x) = 0 → x = -b/a) deponun veya bataryanın tamamen bittiği anı verir.

İki farklı seçeneğin (örneğin A ve B operatörlerinin, elektrikli ve benzinli iki aracın veya gelir ile gider fonksiyonlarının) karşılaştırıldığı problemlerde her iki durum ayrı birer doğrusal fonksiyon olarak yazılır: f(x) = a1 · x + b1 ve g(x) = a2 · x + b2. İki seçeneğin birbirine eşit olduğu başabaş (denge) noktası, grafiklerin kesişim noktası olan f(x) = g(x) denkleminin çözümüyle bulunur.

Hangi seçeneğin daha avantajlı (daha ekonomik veya daha kârlı) olduğunu belirlemek için ise f(x) < g(x) veya f(x) > g(x) doğrusal eşitsizlikleri çözülür. Grafik üzerinde, eşitliği sağlayan x0 kesişim noktasının solunda ve sağında hangi doğrunun daha altta (daha düşük maliyetli) veya daha üstte (daha yüksek gelirli) kaldığı doğrudan okunarak karar verilir.

🔍 Büyütmek için dokunun

Kademeli (Parçalı Doğrusal) Tarifeler ve Farklı Temsiller

Su, elektrik, doğal gaz faturalandırması, kargo gönderim ücretleri veya gelir vergisi dilimleri gibi gerçek yaşam uygulamalarında, belirli bir sınır değer (kritik nokta) aşıldığında birim fiyat değişir. Bu tür durumlar tek bir doğrusal denklemle değil, parçalı doğrusal fonksiyonlarla modellenir.

Örneğin bir belediyenin aylık su tüketiminde ilk k metreküp (0 ≤ x ≤ k) için birim fiyatı p1 TL, k metreküpü aşan her bir metreküp (x > k) için ise birim fiyatı p2 TL olarak belirlediğini düşünelim. Bu durumda ikinci kademedeki (x > k) bir abonenin ödeyeceği toplam tutar f(x) = p2 · x DEĞİL; ilk k metreküpün ücreti artı aşan kısmın (x - k) ücreti olan f(x) = p1 · k + p2 · (x - k) şeklinde kurulur.

Problem çözme sürecinde (MAT.9.2.3.c-f) sözel olarak verilen kademeli bir tarife önce değer tablosuna, ardından parçalı cebirsel denkleme ve kırıklı doğru grafiğine dönüştürülür. Elde edilen çözüm, grafikteki kırılma (kritik) noktaları ve sınır değerleri yerine konularak doğrulanır.

🔍 Büyütmek için dokunun

Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizliklerle Modelleme (MAT.9.2.3.f-h)

Endüstriyel üretimde kalite kontrol (standart kütle veya boy uzunluğu), ideal oda/sera sıcaklığı, laboratuvar ölçüm hata payı veya doğrusal bir yolda belirli bir merkeze olan uzaklık problemleri mutlak değerli denklem ve eşitsizliklerle modellenir. Çünkü mutlak değer |x - a|, sayı doğrusunda x gerçek sayısının a ideal (merkez) değerine olan uzaklığını (sapma miktarını) ifade eder.

Bir niceliğin ideal (hedef) değeri a ve izin verilen maksimum sapma (hata payı / tolerans) miktarı Δ (Δ ≥ 0) olduğunda üç temel model kurulur: Birincisi Sınır Değerler Denklemi: |x - a| = Δ denkleminin kökleri olan x_min = a - Δ ve x_max = a + Δ kabul edilebilir en küçük ve en büyük sınır değerleri verir. İkincisi Kabul Edilebilir (Standartlara Uygun) Aralık: |x - a| ≤ Δ eşitsizliği olup açılımı a - Δ ≤ x ≤ a + Δ kapalı aralığıdır. Üçüncüsü Standart Dışı (Hatalı / İade) Bölge: |x - a| > Δ eşitsizliği olup x < a - Δ veya x > a + Δ aralıklarını temsil eder.

Tersine, bir niceliğin alabileceği en küçük değer (x_min) ve en büyük değer (x_max) biliniyorsa; mutlak değer modelini kurmak için önce aralığın tam ortası olan ideal değer (merkez) a = x_min + x_max2 formülüyle, ardından sapma miktarı Δ = x_max - x_min2 formülüyle hesaplanır ve model |x - a| ≤ Δ (veya uç noktalar için |x - a| = Δ) olarak yazılır.

🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

Örnek 1Bir araç kiralama şirketinde A paketi için günlük sabit 800 TL ve gidilen her kilometre için 3 TL; B paketi için ise günlük sabit 1100 TL ve gidilen her kilometre için 1,5 TL ücret alınmaktadır. Bir günde kaç kilometre yol gidilirse iki paketin ücreti birbirine eşit olur? Hangi kilometre aralığında B paketi daha ekonomiktir?
Cevabı göster
Gidilen yol x km olsun. A paketinin maliyet fonksiyonu: f(x) = 3x + 800; B paketinin maliyet fonksiyonu: g(x) = 1,5x + 1100. Ücretlerin eşit olduğu başabaş noktası: 3x + 800 = 1,5x + 1100 ⇒ 1,5x = 300 ⇒ x = 200 km'dir. B paketinin daha ekonomik olması için g(x) < f(x) olmalıdır: 1,5x + 1100 < 3x + 800 ⇒ 300 < 1,5x ⇒ x > 200 km. Yani günde 200 km'den fazla yol gidildiğinde B paketi daha ekonomiktir.
Örnek 2Bir su dağıtım şirketi aylık su tüketiminde ilk 20 m³ için m³ başına 15 TL, 20 m³'ü aşan her bir m³ için ise 25 TL ücret almaktadır. Aylık su tüketimi x m³ olan bir abonenin ödeyeceği faturayı (f(x)) parçalı doğrusal fonksiyon olarak yazınız ve 32 m³ su tüketen bir ailenin kaç TL ödeyeceğini bulunuz.
Cevabı göster
1. Kademe (0 ≤ x ≤ 20): f(x) = 15x. 2. Kademe (x > 20): İlk 20 m³ için 20 × 15 = 300 TL ödenir, aşan (x - 20) m³ için 25 · (x - 20) TL ödenir: f(x) = 300 + 25(x - 20) = 25x - 200. Tüketim x = 32 m³ (32 > 20) olduğunda: f(32) = 25 × 32 - 200 = 800 - 200 = 600 TL ödenir.
Örnek 3Bir gıda fabrikasında üretilen 750 gramlık un paketlerinde kalite kontrol standartlarına göre ±15 gram hata payına (sapmaya) izin verilmektedir. Standartlara uygun bir un paketinin kütlesini (x) ifade eden mutlak değer eşitsizliğini yazınız ve kabul edilebilir kütle aralığını bulunuz.
Cevabı göster
İdeal kütle a = 750 g ve izin verilen maksimum sapma Δ = 15 g'dır. Standartlara uygun paketlerin kütle eşitsizliği: |x - 750| ≤ 15 şeklindedir. Eşitsizlik çözüldüğünde: -15 ≤ x - 750 ≤ 15 ⇒ 735 ≤ x ≤ 765 gram kapalı aralığı elde edilir.
Örnek 4Bir botanik serasında yetiştirilen tropikal bitkilerin sağlıklı gelişebilmesi için sera içi sıcaklığın en az 19 °C, en fazla 27 °C olması gerekmektedir. Sera sıcaklığının (x) ideal sınırlar içinde kalmasını sağlayan mutlak değer eşitsizliğini kurunuz.
Cevabı göster
Verilen uç değerler x_min = 19 °C ve x_max = 27 °C'dir. Önce ideal merkez sıcaklık (ortalama) bulunur: a = (19 + 27) / 2 = 46 / 2 = 23 °C. Ardından sapma (tolerans) miktarı bulunur: Δ = (27 - 19) / 2 = 8 / 2 = 4 °C. Böylece sera sıcaklığını modelleyen mutlak değer eşitsizliği: |x - 23| ≤ 4 olarak kurulur.
Örnek 5Doğrusal bir otoyolun başlangıç noktasından 140. kilometresinde bir acil yardım istasyonu bulunmaktadır. Bu istasyon, otoyol üzerinde kendisine en fazla 35 km uzaklıktaki bölgelere hizmet verebilmektedir. İstasyonun hizmet sınırlarının otoyolun kaçıncı kilometrelerinde olduğunu mutlak değerli denklem kurarak bulunuz.
Cevabı göster
İstasyonun konumu a = 140 ve hizmet yarıçapı Δ = 35 km'dir. Hizmet sınırlarını veren mutlak değer denklemi: |x - 140| = 35'tir. Buradan x - 140 = 35 ⇒ x_max = 175. kilometre ve x - 140 = -35 ⇒ x_min = 105. kilometre bulunur (Hizmet bölgesi [105, 175] km aralığıdır).
Örnek 6Tam dolu olduğunda 60 litre yakıt alan bir otomobil, sabit hızla ilerlerken her 100 kilometrede 6 litre yakıt tüketmektedir. Otomobilin yakıt göstergesi depoda 12 litre yakıt kaldığında uyarı ışığı yakmaktadır. Otomobil tam dolu depoyla yola çıktıktan kaç kilometre sonra uyarı ışığı yanar?
Cevabı göster
Otomobil 100 km'de 6 litre yakıt tüketiyorsa, 1 km'de 6 / 100 = 0,06 litre yakıt tüketir. Gidilen yol x km olmak üzere depoda kalan yakıt fonksiyonu: f(x) = 60 - 0,06x'tir. Depoda 12 litre kalması için: 60 - 0,06x = 12 ⇒ 0,06x = 48 ⇒ x = 48 / 0,06 = 800 kilometre sonra uyarı ışığı yanar.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

1Bir kurye şirketi sabit 120 TL başlangıç ücreti ve taşınan her 1 kg için 25 TL ücret alırken; ikinci bir kurye şirketi sabit 200 TL başlangıç ücreti ve taşınan her 1 kg için 15 TL ücret almaktadır. Kaç kilogramlık bir gönderide her iki şirketin ücreti birbirine eşit olur?
2Bir kahve makinesinin ideal demleme sıcaklığı 92 °C olup makine termostatı ±3 °C sapma payı ile çalışmaktadır. Demleme sıcaklığının (x) kabul edilebilir aralığını gösteren mutlak değer eşitsizliği aşağıdakilerden hangisidir?
3Bir dalgıcın su altındaki güvenli dalış derinliğinin en az 14 metre, en fazla 30 metre olduğu biliniyor. Dalgıcın güvenli derinlik aralığını (x) ifade eden mutlak değer eşitsizliği aşağıdakilerden hangisidir?
4Bir otoparkta ilk 2 saatlik park ücreti sabit 50 TL, 2 saati aşan her bir saat için ise 20 TL ek ücret alınmaktadır. Bu otoparkta aracını x saat (x > 2) bırakan bir sürücünün ödeyeceği toplam ücreti (TL) veren fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
5
- Doğrusal bir gerçek yaşam modelinde f(x) = ax + b fonksiyonundaki sabit terim b, x = 0 anındaki başlangıç değerini temsil eder.
- İki farklı doğrusal tarife fonksiyonunun grafiklerinin kesiştiği noktada iki tarifenin maliyeti birbirinden en uzak değerdedir.
- İdeal kütlesi 500 gram ve tolerans payı ±10 gram olan bir ürünün standart dışı (hatalı) sayılacağı aralık |x - 500| > 10 eşitsizliğiyle ifade edilir.
- En küçük değeri 10 ve en büyük değeri 20 olan bir kapalı aralığın mutlak değer eşitsizliği |x - 10| ≤ 20 şeklinde yazılır.
- Zamana bağlı olarak içindeki suyun sabit hızla boşaldığı bir havuz modelinde doğrusal fonksiyonun eğimi (a) negatiftir.
6
Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.
7
1. Gelir ve gider doğrusal fonksiyonlarının birbirine eşit olduğu ve kârın sıfır olduğu noktaya noktası denir.
2. Tüketim miktarına göre birim fiyatın belirli sınır değerlerde değiştiği tarifeler doğrusal fonksiyonlarla modellenir.
3. Endüstriyel üretimde ideal ölçüden izin verilen en fazla sapma miktarına hata payı veya aralığı adı verilir.
4. Doğrusal bir f(x) = ax + b modelinde doğrunun x eksenini kestiği noktayı (f(x) = 0) bulmak fonksiyonun değerini bulmaktır.
5. Uç değerleri x_min ve x_max olan bir aralıkta, iki uç değerin aritmetik ortalaması bize değeri verir.
Önce bütün boşlukları doldurun.
8Bir tekstil atölyesi sabit olarak aylık 45.000 TL kira ve fatura gideri ödemekte, ayrıca ürettiği her bir tişört için 150 TL hammadde ve işçilik maliyeti yapmaktadır. Atölye ürettiği her bir tişörtü 300 TL'den satmaktadır. a) Atölyenin aylık maliyet C(x) ve gelir R(x) fonksiyonlarını yazınız. b) Atölyenin zarar etmemesi (başabaş noktasına ulaşması) için ayda en az kaç tişört satması gerektiğini bulunuz. c) Aylık kârın 30.000 TL ile 36.000 TL arasında olmasını sağlayan tişört satış sayısını (x) mutlak değer eşitsizliğiyle modelleyiniz.

Kısaca

Doğrusal Modelleme: Sabit değişim oranına sahip gerçek yaşam süreçleri f(x) = ax + b ile modellenir; b başlangıç değerini (f(0)), a ise birim değişim hızını (eğimi) gösterir.
Başabaş Noktası ve Karşılaştırma: İki farklı seçeneğin eşitlendiği durum f(x) = g(x) denklemiyle (grafik kesişimi), birinin diğerinden ekonomik olduğu aralık ise f(x) < g(x) eşitsizliğiyle bulunur.
Kademeli (Parçalı) Tarifeler: Sınır değer (k) aşıldığında birim fiyatın değiştiği faturalarda x > k için model f(x) = p1·k + p2·(x - k) parçalı doğrusal fonksiyonuyla kurulur.
Mutlak Değer ve Tolerans Aralığı: İdeal değeri a, hata payı (sapması) Δ olan ölçümlerde standartlara uygun aralık |x - a| ≤ Δ (a - Δ ≤ x ≤ a + Δ), standart dışı bölge ise |x - a| > Δ ile modellenir.
Uç Değerlerden Model Kurma: En küçük değeri x_min ve en büyük değeri x_max olan bir aralıkta merkez a = x_min + x_max2 ve sapma Δ = x_max - x_min2 formülleriyle bulunur.

Bu dersin öteki kaynakları

9. Sınıf Matematik Yıllık Planı (2026-2027) Yıllık plan
Matematik Dersi Öğretim Programı (ortaöğretim) Öğretim programı
9. Sınıf Matematik Ortak Yazılı Senaryoları (1. dönem, 2026-2027) Yazılı senaryosu
Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) Ders kitabı
Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap) Ders kitabı
9. Sınıf Matematik Günlük Planları (2026-2027) Ders planı
9. Sınıf Matematik 1. Hafta Çalışma Kâğıdı: Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleriyle İşlemler Çalışma kâğıdı