İçeriğe geç

9. sınıf · Matematik · 11. hafta (30 Kasım-4 Aralık 2026)

Mutlak Değer Fonksiyonunun Parçalı Gösterimi ile Doğrusal ve Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler (MAT.9.2.2 & MAT.9.2.3)

NİCELİKLER VE DEĞİŞİMLER teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Gerçek yaşamda iki farklı telefon tarifesinin hangi kullanım süresinde eşit ücret çıkardığını bulmak doğrusal fonksiyonlarla ifade edilen denklemlere; bir fabrikada üretilen paketlerin kabul edilebilir ağırlık sınırlarını (tolerans aralığını) belirlemek ise mutlak değerli eşitsizliklere dayanır. Bu haftaki dersimizde mutlak değer fonksiyonlarının parçalı gösterimini tamamlıyor, ardından doğrusal ve mutlak değerli denklem ile eşitsizlikleri hem cebirsel hem de grafiksel yöntemlerle çözmeyi öğreniyoruz.

Mutlak Değer Fonksiyonunun Nitel Özellikleri ve Parçalı Gösterimi (MAT.9.2.2.b-c)

Gerçek sayılarda tanımlı $m(x) = k \cdot |ax + b| + c$ ($a \neq 0, k \neq 0$) mutlak değer fonksiyonunun grafiği, kırılma noktası (köşesi) olan tepe noktası $T\left(-\frac{b}{a}, c\right)$ etrafında iki doğrusal ışından oluşan 'V' (veya ters 'V') biçimindedir. Mutlak değerin içini sıfır yapan $x = -\frac{b}{a}$ değerine fonksiyonun kritik noktası ve aynı zamanda grafiğin simetri ekseni denir.

Öndeki katsayı $k > 0$ ise grafik kolları yukarı bakar, fonksiyonun en küçük (minimum) değeri $c$ olur ve görüntü kümesi $[c, +\infty)$ aralığıdır. Eğer $k < 0$ ise grafik kolları aşağı bakar, fonksiyonun en büyük (maksimum) değeri $c$ olur ve görüntü kümesi $(-\infty, c]$ aralığıdır. Simetri ekseninin solunda ve sağında aynı görüntüyü veren iki farklı $x$ değeri bulunduğu için mutlak değer fonksiyonları gerçek sayılar kümesinde ($\mathbb{R}$) bire bir değildir; ancak tanım kümesi tepe noktasının tek bir tarafıyla (örneğin $[-\frac{b}{a}, +\infty)$ ile) sınırlandırılırsa bire bir hâle gelir.

Bir mutlak değer fonksiyonu kritik noktasına göre iki doğrusal koldan oluşan parçalı fonksiyon şeklinde yazılır: $ax + b \ge 0$ olan bölgede mutlak değer dışarıya aynen ($ax + b$ olarak), $ax + b < 0$ olan bölgede ise eksi ile çarpılarak ($-ax - b$ olarak) çıkar. Örneğin $m(x) = |2x - 6| + 4$ fonksiyonunun kritik noktası $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ olup parçalı gösterimi: $x \ge 3$ için $m(x) = (2x - 6) + 4 = 2x - 2$; $x < 3$ için $m(x) = -(2x - 6) + 4 = -2x + 10$ biçimindedir.

MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN PARÇALI GÖSTERİMİ VE GRAFİĞİ m(x) = |x - 2| + 1 GRAFİĞİ VE TEPE NOKTASI T(2, 1) Simetri Ekseni: x = 2 1 2 • Görüntü Kümesi: [1, +∞) · En küçük değer: 1 KRİTİK NOKTA VE PARÇALI FONKSİYON YAZIMI 1. Adım (Kritik Nokta): Mutlak değer içini sıfır yapan değer bulunur: ax + b = 0 ⇒ x = -b / a (Tepe apsisi). 2. Adım (Sağ ve Sol Kollar): m(x) = |x - 2| + 1 için • x ≥ 2 ise (içerisi ≥ 0): m(x) = (x - 2) + 1 = x - 1 • x < 2 ise (içerisi < 0): m(x) = -(x - 2) + 1 = -x + 3 • x = 2 doğrusuna göre simetriktir; (-∞, 2] aralığında azalan, [2, +∞) aralığında artandır; R'de bire bir DEĞİLDİR.
🔍 Büyütmek için dokunun

Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilen Denklem ve Eşitsizlikler (MAT.9.2.3)

$f(x) = ax + b$ ve $g(x) = cx + d$ gibi iki doğrusal fonksiyonun birbirine eşitlenmesiyle oluşan $f(x) = g(x)$ ifadesine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Grafiksel açıdan $f(x) = g(x)$ denkleminin çözümü olan $x_0$ değeri, $y = f(x)$ ve $y = g(x)$ doğrularının kesişim noktasının apsisidir. Gerçek yaşam problemlerinde (örneğin gelir-gider veya iki farklı ücret tarifesi karşılaştırmalarında) bu kesişim noktasına başabaş noktası (eşitlenme durumu) adı verilir.

$f(x) < g(x)$, $f(x) \le g(x)$, $f(x) > g(x)$ veya $f(x) \ge g(x)$ ifadelerine ise birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Grafik üzerinde $f(x) > g(x)$ eşitsizliğinin çözüm kümesi, $y = f(x)$ doğrusunun $y = g(x)$ doğrusunun üstünde kaldığı $x$ değerleri aralığıdır; $f(x) < g(x)$ ise altında kaldığı aralıktır.

Eşitsizlikler cebirsel olarak çözülürken denklemlerdeki gibi bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplanır; eşitsizliğin her iki tarafına aynı gerçek sayı eklenip çıkarıldığında veya pozitif bir sayıyla çarpılıp bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişmez. Ancak eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir ($<$ ise $>$, $\le$ ise $\ge$ olur). Çözüm kümesinde sınır dahilse ($\le, \ge$) köşeli parantez $[a, b]$ ve sayı doğrusunda içi dolu nokta; sınır dahil değilse ($<, >$) açık parantez $(a, b)$ ve sayı doğrusunda içi boş çember kullanılır.

DOĞRUSAL FONKSİYONLARLA DENKLEM VE EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMÜ GRAFİKSEL KESİŞİM VE BAŞABAŞ NOKTASI x = x0 y = f(x) y = g(x) • x < x0 iken f(x) < g(x) | x > x0 iken f(x) > g(x) CEBİRSEL VE GRAFİKSEL ÇÖZÜM KURALLARI • f(x) = g(x) Denklemi: İki doğrunun kesişim noktasının apsisini (x0) verir. • f(x) > g(x) Eşitsizliği: f(x) grafiğinin g(x) grafiğinin ÜSTÜNDE kaldığı x aralığıdır. • Eşitsizlikte Negatif Sayıyla Çarpma/Bölme: Eşitsizliğin her iki tarafı negatif (a < 0) bir sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizlik YÖN DEĞİŞTİRİR!
🔍 Büyütmek için dokunun

Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizliklerin Çözümü ve Modelleme (MAT.9.2.3)

Mutlak değer uzunluk (sıfıra olan uzaklık) belirttiği için hiçbir zaman negatif olamaz ($|f(x)| \ge 0$). Bu nedenle $c > 0$ olmak üzere $|ax + b| = c$ denklemi çözülürken ifade bir pozitif bir de negatif değere eşitlenir: $ax + b = c$ veya $ax + b = -c$. Grafiksel olarak bu işlem, $y = |ax + b|$ 'V' grafiği ile $y = c$ yatay doğrusunun kesiştiği iki noktanın apsislerini bulmaktır. Eğer $|ax + b| = 0$ ise tek kök ($x = -b/a$) vardır; sağ taraf negatifse ($|ax + b| = -4$ gibi) çözüm kümesi boş kümedir ($\emptyset$).

$c > 0$ için mutlak değerli eşitsizlikler iki temel kuralla çözülür: 1) Küçüktür / Küçük Eşittir Durumu ($|ax + b| \le c$): Uzaklığı $c$ birimden az olan noktalar $[-c, c]$ kapalı aralığındadır; yani mutlak değer kaldırılarak $-c \le ax + b \le c$ çift taraflı eşitsizliği çözülür. 2) Büyüktür / Büyük Eşittir Durumu ($|ax + b| \ge c$): Uzaklığı $c$ birimden fazla olan noktalar iki dış bölgededir; yani $ax + b \ge c$ veya $ax + b \le -c$ olarak iki ayrı eşitsizlik çözülüp çözüm kümelerinin birleşimi alınır.

Gerçek Yaşam Tolerans (Hata Payı) Modellemesi: İdeal (standart) ölçüsü $M$ olan bir ürünün kabul edilebilir maksimum sapma (hata/tolerans) miktarı $t$ birim ise, ürünün gerçek ölçüsü $x$'in uygunluk koşulu $|x - M| \le t$ mutlak değerli eşitsizliği ile modellenir. Örneğin ideal kütlesi 500 gram olan bir un paketinde $\pm 8$ gram hata payına izin veriliyorsa, standartlara uygun paketlerin kütlesi $|x - 500| \le 8 \Leftrightarrow 492 \le x \le 508$ gram aralığındadır.

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLERİN ÖZET TABLOSU 1. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER: |f(x)| = c • c > 0 ise (İki daldan çözüm gelir): f(x) = c veya f(x) = -c • c = 0 ise (Tek kök / Tepe noktası): |f(x)| = 0 ⇒ f(x) = 0 • c < 0 ise (Çözüm kümesi boş kümedir): |f(x)| = -5 ⇒ ÇK = ∅ (Mutlak değer negatif olamaz!) 2. MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER (c > 0 İÇİN) • Küçüktür / Küçük Eşittir Durumu (İç Aralık): |ax + b| ≤ c ⇔ -c ≤ ax + b ≤ c (Tolerans / hata payı problemlerinde kullanılır.) • Büyüktür / Büyük Eşittir Durumu (İki Dış Bölge): |ax + b| ≥ c ⇔ ax + b ≥ c veya ax + b ≤ -c • Üçgen Eşitsizliği: |x + y| ≤ |x| + |y|
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Gerçek sayılarda tanımlı m(x) = |3x - 12| - 5 mutlak değer fonksiyonunun tepe noktasını, simetri eksenini, görüntü kümesini ve kritik noktasına göre parçalı fonksiyon gösterimini yazınız.

    Cevabı göster

    Kritik nokta: 3x - 12 = 0 ⇒ x = 4. Tepe noktası: T(4, -5). Simetri ekseni: x = 4 doğrusu. Kollar yukarı baktığı için en küçük değer -5'tir ve görüntü kümesi [-5, +∞) aralığıdır. Parçalı gösterimi: x ≥ 4 için m(x) = (3x - 12) - 5 = 3x - 17; x < 4 için m(x) = -(3x - 12) - 5 = -3x + 7.

  2. Örnek 2Bir otoparkta A tarifesinde sabit giriş ücreti 60 TL ve her saat için 20 TL; B tarifesinde ise sabit giriş ücreti 20 TL ve her saat için 30 TL alınmaktadır. Kaç saatlik kullanımda iki tarifenin ücreti eşitlenir ve kaç saatten fazla kalındığında A tarifesi daha ekonomik (ucuz) olur?

    Cevabı göster

    Kalınan süre x saat olsun. A(x) = 20x + 60 ve B(x) = 30x + 20 doğrusal fonksiyonları kurulur. Eşitlik (başabaş) durumu: 20x + 60 = 30x + 20 ⇒ 10x = 40 ⇒ x = 4 saatte ücretler eşitlenir (140 TL). A tarifesinin daha ucuz olması için A(x) < B(x) ⇒ 20x + 60 < 30x + 20 ⇒ 40 < 10x ⇒ x > 4 olmalıdır. Yani 4 saatten fazla kalındığında A tarifesi daha ekonomiktir.

  3. Örnek 3Gerçek sayılar kümesinde |2x - 3| - 7 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

    Cevabı göster

    |2x - 3| = 7 olarak düzenlenir. Buradan iki durum elde edilir: 1) 2x - 3 = 7 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5. 2) 2x - 3 = -7 ⇒ 2x = -4 ⇒ x = -2. Denklemin çözüm kümesi ÇK = {-2, 5} olarak bulunur.

  4. Örnek 4-3 < 2x - 5 ≤ 9 çift taraflı doğrusal eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm aralığını ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulunuz.

    Cevabı göster

    Eşitsizliğin her tarafına 5 eklenir: -3 + 5 < 2x ≤ 9 + 5 ⇒ 2 < 2x ≤ 14. Her taraf pozitif 2 sayısına bölünür: 1 < x ≤ 7. Çözüm aralığı (1, 7] yarı açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar: 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 olup toplamları: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27'dir.

  5. Örnek 5|3x + 2| ≤ 10 mutlak değerli eşitsizliğinin çözüm kümesini aralık gösterimiyle yazınız.

    Cevabı göster

    Küçük eşittir kuralına göre -10 ≤ 3x + 2 ≤ 10 yazılır. Her taraftan 2 çıkarılır: -12 ≤ 3x ≤ 8. Her taraf 3'e bölünür: -4 ≤ x ≤ 83. Çözüm kümesi [-4, 83] kapalı aralığıdır.

  6. Örnek 6Bir kuluçka makinesinin ideal iç sıcaklığı 37,5 °C olup makine sıcaklığın ideal değerden en fazla 0,8 °C sapmasına izin vermektedir. Makinenin alarm vermeden çalıştığı sıcaklık aralığını mutlak değerli eşitsizlikle modelleyiniz ve alt-üst sınırları bulunuz.

    Cevabı göster

    Makinenin anlık sıcaklığı x (°C) olsun. İdeal değer M = 37,5 ve maksimum sapma t = 0,8 olduğundan model: |x - 37,5| ≤ 0,8 şeklindedir. Çözümü: -0,8 ≤ x - 37,5 ≤ 0,8 ⇒ 36,7 °C ≤ x ≤ 38,3 °C aralığıdır.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Gerçek sayılarda tanımlı m(x) = -2·|x + 3| + 6 mutlak değer fonksiyonunun nitel özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

  2. 2Gerçek sayılar kümesinde |2x - 5| ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?

  3. 3Standart uzunluğu 120 mm olan bir metal çivinin üretiminde ±1,5 mm hata payı (tolerans) kabul edilmektedir. Buna göre standartlara uygun bir çivinin uzunluğunu (x) ifade eden mutlak değerli eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

  4. 4Bir fidan dikildiğinde boyu 40 cm'dir ve her ay düzenli olarak 6 cm uzamaktadır; başka bir fidan ise dikildiğinde boyu 70 cm'dir ve her ay 3 cm uzamaktadır. Bu iki fidanın boyları dikildikten kaç ay sonra birbirine eşit olur?

  5. 5

    • Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = |x - 4| mutlak değer fonksiyonunun kritik noktası ve simetri ekseni x = 4'tür.
    • Birinci dereceden bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir gerçek sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişmez.
    • Gerçek sayılarda |3x + 7| = -2 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir (∅).
    • m(x) = |x| mutlak değer fonksiyonu gerçek sayılar kümesinde (R -> R) bire bir ve örten bir fonksiyondur.
    • Grafik düzleminde f(x) = g(x) denkleminin kökü, y = f(x) ve y = g(x) doğrularının kesişim noktasının apsisidir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. m(x) = |x - 5| + 2 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası koordinat düzleminde T(5, ) noktasıdır.
    2. Bir eşitsizlikte sınır değer çözüm kümesine dahil değilse (< veya > varsa) sayı doğrusunda içi çember ile gösterilir.
    3. |x - 3| = 6 denklemini sağlayan x değerlerinin (köklerinin) toplamı sayısına eşittir.
    4. Grafik üzerinde f(x) > g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi, f(x) grafiğinin g(x) grafiğinin kaldığı apsis aralığıdır.
    5. Mutlak değerin içini sıfır yapan değere o mutlak değer fonksiyonunun noktası adı verilir.

  8. 8Bir kurye şirketi çalışanlarına iki farklı günlük ücret seçeneği sunmaktadır: 1. Seçenekte günlük 400 TL sabit ücret ve teslim edilen her paket için 15 TL; 2. Seçenekte ise günlük 250 TL sabit ücret ve teslim edilen her paket için 25 TL ödenmektedir. Teslim edilen paket sayısını x ile göstererek; a) İki seçeneğin ücret fonksiyonlarını yazınız, b) Kaç paket teslim edildiğinde iki seçeneğin günlük ücretinin eşit olacağını bulunuz, c) 2. Seçeneğin daha kazançlı olması için bir kuryenin günde en az kaç paket teslim etmesi gerektiğini eşitsizlik kurarak açıklayınız.

Kısaca

  • Mutlak Değer Fonksiyonunun Nitel Özellikleri: $m(x) = k\cdot|ax + b| + c$ fonksiyonunun kritik noktası $x = -b/a$, tepe noktası $T(-b/a, c)$ ve simetri ekseni $x = -b/a$ doğrusudur; $\mathbb{R}$'de bire bir değildir.
  • Parçalı Gösterim: Mutlak değer fonksiyonu kritik noktasının sağında ($ax + b \ge 0$) aynen çıkarılarak, solunda ($ax + b < 0$) eksi ile çarpılarak iki doğrusal parçalı fonksiyon şeklinde yazılır.
  • Doğrusal Denklem ve Eşitsizlikler: $f(x) = g(x)$ denkleminin kökü iki doğrunun kesişim (başabaş) noktasının apsisidir; eşitsizliklerde her iki taraf negatif sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
  • Mutlak Değerli Denklemler: $c > 0$ için $|ax + b| = c \Leftrightarrow ax + b = c \text{ veya } ax + b = -c$ olarak çözülür; $c < 0$ ise çözüm kümesi boş kümedir ($\emptyset$).
  • Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Tolerans: $c > 0$ için $|ax + b| \le c \Leftrightarrow -c \le ax + b \le c$ (iç aralık) ve $|ax + b| \ge c \Leftrightarrow ax + b \ge c \text{ veya } ax + b \le -c$ (dış bölgeler) kuralıyla çözülür; ideal değeri $M$, hata payı $t$ olan ölçümler $|x - M| \le t$ ile modellenir.

Bu dersin öteki kaynakları