Geometrik Dönüşümler: Doğruların Görüntüsü, Herhangi Bir Nokta Etrafında Dönme, Dönüşümü Belirleme, Simetri, Bileşke Dönüşümler ve Dönüşümlerle Problem Çözme

Geçen hafta tek tek noktaların görüntülerini bulduk. Şimdi bir varsayım kuralım: bir izometri doğrusal noktaları yine doğrusal noktalara götürür. Bunu üçgen eşitsizliği bilgimizle gerekçelendirebiliriz. A, B, C aynı doğru üzerinde ve B, A ile C arasında ise |AB| + |BC| = |AC| olur. İzometri uzunlukları koruduğu için |A′B′| + |B′C′| = |A′C′| eşitliği de sağlanır. Üçgen eşitsizliğinde eşitlik ancak üç nokta doğrusal olduğunda gerçekleştiğinden A′, B′, C′ doğrusaldır ve B′ ortadadır. Bu önermenin sonuçları güçlüdür: doğru parçası doğru parçasına, doğru doğruya, orta nokta orta noktaya gider. Örneğin A(2, 1) ile B(6, 5) noktalarının orta noktası (4, 3)'tür. y eksenine göre yansımada A′(−2, 1), B′(−6, 5) olur; [A′B′]'nün orta noktası (−4, 3) olup tam olarak (4, 3) noktasının görüntüsüdür.

Bir doğrunun görüntüsünü bulmanın iki yolu vardır. Birinci yol: Doğru üzerinden iki nokta seç, bu noktaları dönüştür ve görüntü noktalarından geçen doğruyu yaz. y = 2x + 1 doğrusu üzerinde (0, 1) ve (1, 3) noktaları vardır; x eksenine göre yansımada bunlar (0, −1) ve (1, −3) olur ve bu iki noktadan geçen doğru y = −2x − 1'dir. İkinci yol: Görüntü doğrusu üzerindeki bir (x, y) noktasının ön görüntüsünü yazıp verilen denkleme yerleştir. x eksenine göre yansımada (x, y) noktasının ön görüntüsü (x, −y) olduğundan −y = 2x + 1 yazılır ve yine y = −2x − 1 bulunur. Ötelemede de aynı fikir işler: (3, −2) ötelemesinde görüntüdeki (x, y) noktasının ön görüntüsü (x − 3, y + 2) olduğundan y + 2 = 2(x − 3) + 1, yani y = 2x − 7 elde edilir.

Bu örneklerden genellemelere ulaşabiliriz. Öteleme ve 180° dönme bir doğruyu kendisine paralel (ya da çakışık) bir doğruya götürür; eğim değişmez. x veya y eksenine göre yansıma eğimin işaretini değiştirir; y = x doğrusuna göre yansıma m eğimini 1m eğimine çevirir. Orijin etrafında 90° dönmede y = 2x + 1 doğrusunun görüntüsü y = −x − 12 olur; eğimler 2 ve −12 olup çarpımları −1'dir: 90° dönme bir doğruyu kendisine dik bir doğruya götürür. Bazı doğrular dönüşüm altında kendisine eşlenir: x eksenine göre yansımada x ekseni ve x = k biçimindeki düşey doğrular; (2, 4) ötelemesinde ise doğrultusu bu ötelemeyle aynı olan y = 2x + 1 gibi doğrular. Gerçekten y − 4 = 2(x − 2) + 1 düzenlenince yine y = 2x + 1 bulunur.

Geçen hafta orijine göre yansımayı ve orijin etrafındaki dönmeleri inceledik. Peki merkez orijin değil de M(a, b) gibi herhangi bir nokta olursa? M noktasına göre yansımada M, [AA′] doğru parçasının orta noktasıdır. Orta nokta bağıntısından x + x′2 = a ve y + y′2 = b yazılır; buradan x′ = 2a − x ve y′ = 2b − y bulunur. Örneğin A(5, 1) noktasının M(2, 3) noktasına göre yansıması A′(2 · 2 − 5, 2 · 3 − 1) = A′(−1, 5) olur. Bu dönüşümde A, M ve A′ doğrusaldır, |MA| = |MA′| ve m(AMA′) = 180° olduğundan M noktasına göre yansıma, M etrafında 180° dönmenin ta kendisidir. Bu yüzden adında 'yansıma' geçse de şeklin yönelimini korur.

Merkez M(a, b) olan 90°'lik dönmeyi üç adımda yapabiliriz: önce şekli (−a, −b) kadar öteleyerek M'yi orijine taşı, sonra orijin etrafında bildiğimiz kuralla döndür, son olarak (a, b) kadar öteleyerek merkezi eski yerine getir. M(1, 1) etrafında pozitif yönde 90° döndürülen A(5, 2) noktası için: (5, 2) → (4, 1) → (−1, 4) → (0, 5) bulunur. Bu adımları genellersek pozitif yönde 90° dönme için (x, y) → (a − (y − b), b + (x − a)), negatif yönde 90° dönme için (x, y) → (a + (y − b), b − (x − a)) kuralına ulaşırız. Aynı A noktası M(1, 1) etrafında negatif yönde döndürülürse (1 + 1, 1 − 4) = (2, −3) elde edilir. Kontrol olarak |MA| = 4² + 1² = 17 ve |MA′| = (−1)² + 4² = 17 olduğunu görürüz.

Kareli kâğıtta bu dönmeyi koordinat yazmadan da yapabiliriz. A noktası M'ye göre '4 birim sağ, 1 birim yukarı' konumundadır. Pozitif yönde 90° dönmede bu göreli konum '1 birim sol, 4 birim yukarı' olur; M'den bu kadar gidince A′ bulunur. Örnekleri karşılaştırınca yeni bir varsayım doğar: A(5, 2) noktası orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülürse (−2, 5), M(1, 1) etrafında döndürülürse (0, 5) olur; iki görüntü arasındaki fark (2, 0) ötelemesidir. Genel kurallar karşılaştırıldığında bu farkın her nokta için aynı, yani (a + b, b − a) olduğu görülür. Buradan şu önerme çıkar: aynı açı ve aynı yönde fakat farklı merkezli iki dönme birbirinden bir öteleme kadar farklıdır; merkezin değişmesi görüntünün biçimini, boyutunu ve yönelimini değil yalnızca yerini değiştirir.

Şimdiye kadar dönüşüm verilip görüntüyü bulduk. Ters soru daha düşündürücüdür: elimizde bir şekil ve görüntüsü varsa hangi dönüşüm uygulanmıştır? İlk bakılacak özellik yönelimdir. Köşeleri A → B → C sırasıyla dolaşıp yönü not et, sonra A′ → B′ → C′ sırasıyla dolaş. Yönler farklıysa uygulanan izometri tek bir öteleme ya da dönme olamaz; geçen haftaki önermeye göre yönelimi ters çeviren dönüşüm yansıma ya da bu bölümün sonunda göreceğimiz kayan yansımadır. Yönelim aynıysa olasılıklar öteleme ve dönmedir. Aydınger kâğıdıyla da test yapabiliriz: şekli kâğıda çizip kâğıdı ters çevirmeden kaydırarak veya döndürerek görüntünün üzerine oturtabiliyorsak yönelim korunmuştur.

Yönelim korunmuşsa her köşenin kayma miktarını, yani 'görüntü − ön görüntü' farkını hesapla. Bütün farklar eşitse dönüşüm bu farka eşit bir ötelemedir. Farklar eşit değilse dönüşüm bir dönmedir ve merkez hem A ile A′'ye hem B ile B′'ye eşit uzaklıkta olmalıdır; yani merkez, [AA′] ve [BB′] doğru parçalarının kenar orta dikmelerinin kesişim noktasıdır. Örnek: A(1, 2) → A′(−2, 1) ve B(3, 1) → B′(−1, 3) olsun. Farklar (−3, −1) ve (−4, 2) olup eşit değildir; öteleme yoktur. Orijin için |OA| = 5 = |OA′| ve |OB| = 10 = |OB′| olduğundan O her iki orta dikme üzerindedir; iki orta dikme tek noktada kesiştiği için merkez O(0, 0)'dır. A'dan A′'ye geçerken nokta saat ibrelerinin tersine çeyrek tur döndüğünden dönme pozitif yönde 90°'dir ve (x, y) → (−y, x) kuralı iki nokta için de sağlanır.

Yönelim ters dönmüşse önce bir yansıma ekseni ara: eksen, [AA′] doğru parçasının kenar orta dikmesidir. A(−1, 3) → A′(3, −1) ise orta nokta (1, 1) olur ve [AA′] eğimi −1 olan doğru üzerindedir; bu doğruya dik ve (1, 1)'den geçen doğru y = x'tir. Diğer köşelerin de aynı eksene göre yansıdığı görülürse dönüşüm y = x doğrusuna göre yansımadır; köşe çiftlerinin orta dikmeleri çakışmıyorsa dönüşüm kayan yansımadır. Bu çalışmalardan önemli bir önerme kurabiliriz: bir izometri, doğrusal olmayan üç noktanın görüntüsüyle tamamen belirlenir. Çünkü düzlemdeki her P noktasının konumu A, B ve C'ye olan uzaklıklarıyla tek türlü belirlenir ve bu uzaklıklar dönüşümde korunur; dolayısıyla P′, A′, B′ ve C′'ye aynı uzaklıktaki tek noktadır.

Bir dönüşüm bir şekli kendisine eşliyorsa o şekil bu dönüşüme göre simetriktir. Bir doğruya göre yansıma şekli kendisine eşliyorsa bu doğruya simetri ekseni denir; şekil eksen boyunca katlandığında iki yarısı tam olarak üst üste gelir. Bir nokta etrafında 360°'den küçük ve sıfırdan farklı bir açıyla yapılan dönme şekli kendisine eşliyorsa şeklin dönme simetrisi vardır. Tam bir tur boyunca şekli kendisine eşleyen dönmelerin sayısına (360° dahil) dönme simetrisinin derecesi denir. Kare, merkezi etrafında 90°, 180°, 270° ve 360° dönmelerde kendisiyle çakıştığı için 4. dereceden dönme simetrisine sahiptir; en küçük dönme açısı 360° ÷ 4 = 90°'dir.

Düzgün çokgenleri inceleyerek bir genellemeye ulaşabiliriz. Eşkenar üçgenin 3, karenin 4, düzgün beşgenin 5, düzgün altıgenin 6 simetri ekseni vardır; dönme simetrisi dereceleri de sırasıyla 3, 4, 5 ve 6'dır. Buradan düzgün n-genin n simetri ekseni ve n. dereceden dönme simetrisi vardır; en küçük dönme açısı 360°n önermesi çıkar. Düzgün olmayan dörtgenler daha ilginç bir tablo verir: dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin ikişer simetri ekseni ve 180°'lik dönme simetrisi vardır; paralelkenarın genel durumda hiç simetri ekseni yoktur ama 180° dönmede kendisiyle çakışır; ikizkenar yamuğun tek bir simetri ekseni vardır, dönme simetrisi yoktur. Harflerde de aynı inceleme yapılabilir: A ve M düşey, E ve B yatay eksene sahiptir; H ve I iki eksene ve 180° dönme simetrisine sahiptir; N ve Z ise eksensiz olduğu hâlde 180° dönmede kendisiyle çakışır.

Geçen hafta kesişen iki eksene göre art arda yansımanın, eksenler arasındaki açının iki katı kadar bir dönme olduğunu görmüştük. Bu önermeyi simetriye uygularsak yeni bir çıkarım yaparız: bir şeklin θ açısıyla kesişen iki simetri ekseni varsa şekil, kesişim noktası etrafında 2θ açılı dönme simetrisine de sahiptir. Dikdörtgenin eksenleri 90°'lik açıyla kesiştiği için 180° dönme simetrisi vardır; karenin komşu eksenleri arasındaki açı 45° olduğundan 90° dönme simetrisi vardır. Ters yönde bir çıkarım her zaman doğru değildir: paralelkenar örneği, dönme simetrisi olan bir şeklin simetri ekseni olmayabileceğini gösteren bir karşı örnektir. Selçuklu ve Osmanlı süslemelerinde sıkça görülen sekiz köşeli yıldız motifinin 8 simetri ekseni ve 45°'lik dönme simetrisi vardır; bu motifler, bir küçük parçanın yansıma ve dönmelerle çoğaltılmasıyla oluşturulur.

İki dönüşümün art arda uygulanmasıyla elde edilen dönüşüme bileşke dönüşüm denir. Varsayım kuralım: dönüşümlerin sırası sonucu etkiler mi? P(2, 1) noktasını önce x eksenine göre yansıtıp sonra (0, 3) kadar ötelersek (2, −1) → (2, 2) olur. Önce (0, 3) kadar öteleyip sonra yansıtırsak (2, 4) → (2, −4) olur. Sonuçlar farklıdır; demek ki sıra genellikle önemlidir. Ancak öteleme (3, 0) gibi yansıma eksenine paralel olsaydı iki sıra da (5, −1) sonucunu verirdi. Örnekleri karşılaştırınca şu önermeye ulaşırız: bir yansıma ile eksenine paralel bir öteleme sırası değiştirilerek uygulanabilir; eksene paralel olmayan bir ötelemede ise sıra değişince sonuç değişir. Aynı merkezli iki dönmede de sıra önemsizdir; açılar toplanır: orijin etrafında 90° ve ardından 180° dönme, 270°'lik tek bir dönmeye eşittir.

Bir dönüşümün etkisini geri alan dönüşüme ters dönüşüm denir. (a, b) ötelemesinin tersi (−a, −b) ötelemesi, α açılı dönmenin tersi aynı merkezli −α dönmesi, bir yansımanın tersi ise yine kendisidir. Bir dönüşüm ile tersinin bileşkesi her noktayı kendisine götüren özdeşlik dönüşümüdür. Bileşke dönüşümün tersini alırken sıra da tersine döner: önce yansıtıp sonra ötelediysek, geri dönmek için önce ötelemeyi geri alır, sonra yansıtırız; tıpkı önce çorabı sonra ayakkabıyı giyip çıkarırken önce ayakkabıyı çıkarmamız gibi.

Bir yansıma ile yansıma eksenine paralel bir ötelemenin bileşkesine kayan yansıma denir. x eksenine göre yansıma ve (4, 0) ötelemesinden oluşan kayan yansımanın kuralı (x, y) → (x + 4, −y) olur. Kumsalda yürüyen birinin ayak izleri bu dönüşüme güzel bir örnektir: sol ayak izi, yürüyüş çizgisine göre yansıtılıp ileri kaydırılınca sağ ayak izine dönüşür. Kayan yansıma yönelimi ters çevirir, çünkü içinde tek bir yansıma vardır; ama yansımadan farklı olarak hiç sabit noktası yoktur. Aynı kayan yansıma iki kez uygulanırsa (x, y) → (x + 8, y) elde edilir; yani iki kayan yansımanın bileşkesi bir ötelemedir. Yansıma sayısına bakarak genel bir önerme kurabiliriz: bileşkede çift sayıda yansıma varsa yönelim korunur, tek sayıda yansıma varsa ters döner. Bu nedenle düzlemdeki her izometri öteleme, dönme, yansıma ya da kayan yansımadan biridir; ilk ikisi yönelimi korur, son ikisi ters çevirir.

Dönüşümler yalnızca şekil taşımaya değil, problem çözmeye de yarar. Klasik bir soru: bir d doğrusunun (örneğin bir nehrin) aynı tarafında A ve B noktaları var. A'dan yola çıkıp d üzerindeki bir P noktasına uğrayan ve B'ye giden en kısa yol nasıl bulunur? Çözüm yansımadadır. B'nin d'ye göre yansıması B′ olsun. d, [BB′] doğru parçasının kenar orta dikmesi olduğundan d üzerindeki her Q noktası için |QB| = |QB′| olur. Bu yüzden yolun uzunluğu |AQ| + |QB| = |AQ| + |QB′| olarak yazılabilir. Üçgen eşitsizliğine göre |AQ| + |QB′| ≥ |AB′| olur ve eşitlik ancak A, Q, B′ doğrusal olduğunda sağlanır. Demek ki aranan P noktası, [AB′] doğru parçasının d'yi kestiği noktadır.

Koordinatlarla somutlaştıralım: A(1, 3), B(7, 1) ve d doğrusu x ekseni olsun. B′(7, −1) olur. A'dan B′'ye giderken x 6 birim artarken y 4 birim azalır; y'nin 3'ten 0'a inmesi için x'in 6 · 34 = 4,5 birim artması gerekir. Buradan P(5,5; 0) bulunur. En kısa yolun uzunluğu |AB′| = 6² + 4² = 52 = 213 ≈ 7,2 birimdir. Bu çözümün bir yan ürünü de vardır: P noktasında [AP]'nin d ile yaptığı açı, [PB]'nin d ile yaptığı açıya eşittir. Işığın aynadan yansıması ve bilardo topunun banttan sekmesi tam olarak bu kurala uyar: gelme açısı yansıma açısına eşittir. Doğa da en kısa yolu yansımayla seçer.

Dönüşümlerin bir başka uygulaması düzlem kaplamadır (süsleme): bir şeklin öteleme, dönme ve yansımalarla çoğaltılarak düzlemi boşluksuz ve üst üste binmeden doldurması. Yalnız tek tür düzgün çokgen kullanılacaksa bir köşede buluşan çokgenlerin iç açıları toplamı 360° olmalıdır; yani iç açı 360°'nin bir böleni olmalıdır. Düzgün n-genin iç açısı 180° − 360°n olduğundan denemeler şunu gösterir: eşkenar üçgen (60°, bir köşede 6 tane), kare (90°, 4 tane) ve düzgün altıgen (120°, 3 tane) düzlemi kaplar; düzgün beşgenin iç açısı 108° olup 360 ÷ 108 tam sayı değildir, bu yüzden kaplayamaz. Altıdan fazla kenarlı düzgün çokgenlerin iç açısı 120°'den büyük ve 180°'den küçüktür; bir köşeye üç tanesi sığmaz, ikisi de 360°'yi tamamlamaz. Böylece düzlemi tek başına kaplayan düzgün çokgenler yalnızca üç tanedir önermesine ulaşırız. Arıların altıgen peteği, banyo ve mutfak karoları, çini panolar bu önermenin gündelik hayattaki yansımalarıdır.