İçeriğe geç

9. sınıf · Matematik · 13. hafta (14-18 Aralık 2026)

Üçgende Açı ve Kenar Özellikleri: İç ve Dış Açılar, İkizkenar ve Eşkenar Üçgen Özellikleri ile Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları (Üçgen Eşitsizliği) (MAT.9.3.1)

GEOMETRİK ŞEKİLLER teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Nicelikler ve Değişimler temasını tamamladıktan sonra üçüncü temamız olan Geometrik Şekiller konusuna başlıyoruz. Mimari kafes sistemlerinden köprü ayaklarına, navigasyon hesaplarından mühendislik tasarımlarına kadar en sağlam geometrik yapı olan üçgenin; iç ve dış açı özelliklerini, ikizkenar ve eşkenar üçgen bağıntılarını, açı-kenar sıralamasını ve üçgen eşitsizliğini ispatlarıyla birlikte öğreneceğiz.

Üçgende İç ve Dış Açı Özellikleri ve Geometrik İspatı (MAT.9.3.1)

Doğrusal olmayan A, B ve C noktalarının ikişer ikişer doğru parçalarıyla birleştirilmesiyle oluşan kapalı şekle ABC üçgeni denir. Üçgenin iç bölgesindeki BAC, ABC ve ACB açılarına iç açılar; bu iç açıları 180°'ye tamamlayan komşu bütünler açılara ise dış açılar adı verilir.

1. İç Açılar Toplamı Teoremi ve İspatı: Bir üçgenin iç açılarının ölçülerinin toplamı 180°'dir: m(A) + m(B) + m(C) = 180°. İspatı: ABC üçgeninin A köşesinden [BC] tabanına paralel bir d doğrusu çizdiğimizde, iç ters (Z kuralı) açılardan dolayı B açısı sol üstteki açıya, C açısı ise sağ üstteki açıya eş olur. A köşesinde oluşan bu üç açı (a, b, c) bir doğru açı oluşturduğundan toplamları 180°'dir.

2. Bir Dış Açı Özelliği ve Dış Açılar Toplamı: Bir üçgende herhangi bir köşedeki bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçülerinin toplamına eşittir. Örneğin C köşesindeki dış açı c' ve iç açılar a, b, c ise; a + b + c = 180° ve c + c' = 180° olduğundan c' = a + b bulunur. Benzer şekilde a' = b + c ve b' = a + c eşitlikleri taraf tarafa toplandığında, her üçgenin dış açılarının ölçülerinin toplamının a' + b' + c' = 2(a + b + c) = 2 · 180° = 360° olduğu ispatlanır.

ÜÇGENDE İÇ VE DIŞ AÇILARIN ÖZELLİKLERİ VE İSPATI (MAT.9.3.1) PARALEL DOĞRU İLE İÇ AÇILAR İSPATI d₁ // [BC] A B C a b c b (İç ters) c (İç ters) Doğru açı: a + b + c = 180° TEMEL AÇI BAĞINTILARI 1. İç Açılar Toplamı: m(A) + m(B) + m(C) = 180° 2. Dış Açılar Toplamı: a' + b' + c' = 360° 3. Bir Dış Açı Özelliği (Çok Önemli!): Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: c' = a + b
🔍 Büyütmek için dokunun

İkizkenar ve Eşkenar Üçgenlerin Açı ve Kenar Özellikleri

1. İkizkenar Üçgen: İki kenar uzunluğu birbirine eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Örneğin |AB| = |AC| olan bir ABC ikizkenar üçgeninde eşit kenarların kesiştiği A köşesine tepe açısı, üçüncü kenar olan [BC] kenarına taban, B ve C açılarına ise taban açıları denir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir: m(B) = m(C) = 180° - m(A)2.

İkizkenar Üçgende Simetri Ekseni (YAK / Dörtlü Özellik): İkizkenar üçgende tepe açısından tabana indirilen yükseklik (dikme), aynı zamanda tepe açısının açıortayı ve tabanın kenarortayıdır (|BH| = |HC|). Bir üçgende bir köşeden çıkan doğru parçası İkizkenarlık, Yükseklik, Açıortay, Kenarortay özelliklerinden herhangi ikisini sağlıyorsa, diğer ikisini de zorunlu olarak sağlar.

2. Eşkenar Üçgen: Üç kenar uzunluğu da birbirine eşit olan (|AB| = |BC| = |AC| = a) üçgene eşkenar üçgen denir. Eşkenar üçgenin üç iç açısının ölçüsü de birbirine eşit ve 60°'dir; dış açıları ise 120°'dir. Her eşkenar üçgen aynı zamanda özel bir ikizkenar üçgen olduğundan, üç köşesinden çizilen yükseklikler hem açıortay hem kenarortaydır ve uzunlukları birbirine eşittir (h_a = h_b = h_c = n_a = n_b = n_c = V_a = V_b = V_c).

İKİZKENAR VE EŞKENAR ÜÇGEN ÖZELLİKLERİ (MAT.9.3.1) İKİZKENAR ÜÇGEN (|AB| = |AC|) A (Tepe) B C H (Orta Nokta) • Taban açıları eşittir: m(B) = m(C) = (180° - m(A)) / 2 • İNDİRİLEN DİKME (AH): Hem Açıortay hem Kenarortaydır! EŞKENAR ÜÇGEN (|AB| = |BC| = |AC| = a) 60° 60° 60° • Üç kenar uzunluğu birbirine eşit, iç açıları 60°'dir. • Üç köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunlukları birbirine eşittir.
🔍 Büyütmek için dokunun

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Üçgen Eşitsizliği

1. Açı-Kenar Sıralama İlişkisi: Bir üçgende iç açıların ölçüleri ile karşılarındaki kenarların uzunlukları doğru orantılı olarak sıralanır (oranları değil, büyüklük sıralamaları aynıdır!). Yani bir üçgende en büyük açının karşısında en uzun kenar, en küçük açının karşısında ise en kısa kenar bulunur: m(A) > m(B) > m(C) ⇔ a > b > c. Bunun doğal bir sonucu olarak; bir dik üçgende en büyük açı 90° olduğu için en uzun kenar daima 90°'nin karşısındaki hipotenüstür; bir geniş açılı üçgende (> 90°) ise en uzun kenar geniş açının karşısındaki kenardır.

2. Üçgen Eşitsizliği Teoremi: Düzlemde iki nokta arasındaki en kısa yol doğrusal yoldur. Bu temel aksiyomdan dolayı, bir ABC üçgeninde herhangi bir kenarın uzunluğu; diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farklarının mutlak değerinden büyüktür. Kenar uzunlukları a, b ve c olan bir üçgen çizilebilmesi için şu üç eşitsizliğin sağlanması şarttır: |b - c| < a < b + c, |a - c| < b < a + c ve |a - b| < c < a + b.

Üçgenin çevresi Ç = a + b + c = 2u ile gösterilirse, a < b + c eşitsizliğinin her iki tarafına a eklendiğinde 2a < a + b + c = Ç elde edilir; yani bir üçgende hiçbir kenarın uzunluğu üçgenin yarı çevresine (u = Ç/2) eşit veya ondan büyük olamaz (a < Ç2).

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI VE ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ (MAT.9.3.1) 1. BÜYÜK AÇI - BÜYÜK KENAR İLİŞKİSİ • Bir üçgende büyük açının karşısında uzun kenar, küçük açının karşısında kısa kenar bulunur: m(A) > m(B) > m(C) ⇔ a > b > c • Dik üçgende en uzun kenar HİPOTENÜS (90° karşısı), geniş açılı üçgende geniş açının karşısındaki kenardır. 2. ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ TEOREMİ • Herhangi bir kenarın uzunluğu; diğer iki kenarın toplamından KÜÇÜK, farklarının mutlak değerinden BÜYÜKTÜR: |b - c| < a < b + c |a - c| < b < a + c | |a - b| < c < a + b Bu koşulu sağlamayan uzunluklarla üçgen çizilemez!
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Bir ABC üçgeninde iç açılar m(A) = 3x - 10°, m(B) = 2x + 20° ve C köşesindeki dış açının ölçüsü 110° olduğuna göre x kaç derecedir ve m(C) iç açısı kaç derecedir?

    Cevabı göster

    Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: m(A) + m(B) = 110° → (3x - 10°) + (2x + 20°) = 110° → 5x + 10° = 110° → 5x = 100° → x = 20° bulunur. C iç açısı ise 110°'nin bütünleri olduğundan m(C) = 180° - 110° = 70°'dir.

  2. Örnek 2ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve tepe açısı m(BAC) = 44°'dir. B köşesinden çizilen iç açıortay [AC] kenarını D noktasında kestiğine göre m(BDC) açısı kaç derecedir?

    Cevabı göster

    |AB| = |AC| olduğundan taban açıları eşittir: m(B) = m(C) = 180° - 44°2 = 136°2 = 68°. [BD] açıortay olduğu için B açısını iki eş parçaya böler: m(ABD) = m(DBC) = 34°. DBC üçgeninde m(BDC) = 180° - (34° + 68°) = 180° - 102° = 78° (veya ABD üçgeninin dış açısı olarak 44° + 34° = 78°) bulunur.

  3. Örnek 3Bir ABC üçgeninde A köşesinden [BC] kenarına indirilen AH yüksekliği aynı zamanda [BC] kenarını iki eş parçaya (|BH| = |HC|) bölmektedir. |AB| = 2x + 3 cm, |AC| = 3x - 4 cm ve |BC| = 12 cm olduğuna göre ABC üçgeninin çevresi kaç cm'dir?

    Cevabı göster

    AH doğru parçası hem yükseklik hem de kenarortay olduğu için ABC üçgeni |AB| = |AC| olan bir ikizkenar üçgendir. Buradan 2x + 3 = 3x - 4 → x = 7 bulunur. O hâlde |AB| = |AC| = 2(7) + 3 = 17 cm'dir. Üçgenin çevresi: Ç = 17 + 17 + 12 = 46 cm olur.

  4. Örnek 4Bir ABC üçgeninde m(A) = 65° ve m(B) = 45° olduğuna göre üçgenin kenar uzunlukları olan a, b ve c'yi küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

    Cevabı göster

    Önce C açısının ölçüsü bulunur: m(C) = 180° - (65° + 45°) = 70°. İç açıların sıralaması m(B) (45°) < m(A) (65°) < m(C) (70°) olduğundan, karşılarındaki kenar uzunluklarının sıralaması da küçükten büyüğe b < a < c şeklindedir.

  5. Örnek 5Kenar uzunlukları a = 7 cm, b = 12 cm ve c = x cm olan bir ABC üçgeninde x'in alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

    Cevabı göster

    Üçgen eşitsizliğine göre: |12 - 7| < x < 12 + 7 → 5 < x < 19 olmalıdır. Buna göre x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 6, en büyük tam sayı değeri ise 18'dir. Toplamları: 6 + 18 = 24 bulunur.

  6. Örnek 6Ortak [BD] kenarına sahip ABD ve BCD üçgenlerinde |AB| = 5 cm, |AD| = 9 cm, |BC| = 6 cm ve |CD| = 11 cm'dir. |BD| = x uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

    Cevabı göster

    ABD üçgeninde üçgen eşitsizliği: |9 - 5| < x < 9 + 5 → 4 < x < 14. BCD üçgeninde üçgen eşitsizliği: |11 - 6| < x < 11 + 6 → 5 < x < 17. İki eşitsizliğin kesişimi alındığında (alt sınırlardan büyük olan 5, üst sınırlardan küçük olan 14 seçilir): 5 < x < 14 elde edilir. x'in alabileceği tam sayı değerleri 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 olup toplam 8 farklı tam sayı değeri vardır.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir ABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri 3, 4 ve 5 sayılarıyla doğru orantılıdır. Buna göre bu üçgenin en küçük dış açısının ölçüsü kaç derecedir?

  2. 2Bir ABC üçgeninde |AB| = |AC|, D noktası [BC] kenarı üzerinde bir nokta olmak üzere |AD| = |BD| ve m(ACB) = 56° olduğuna göre m(DAC) kaç derecedir?

  3. 3Kenar uzunlukları 6 cm, 10 cm ve (2x - 1) cm olan bir üçgende x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  4. 4Bir ABC üçgeninde m(A) = 80° ve m(B) = 40° olduğuna göre; |a - b| + |b - c| ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  5. 5Üçgende açı ve kenar özellikleriyle ilgili aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçülerinin toplamına eşittir.
    • İkizkenar bir üçgende tepe açısından tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler.
    • Kenar uzunlukları 4 cm, 5 cm ve 10 cm olan doğru parçaları uç uca birleştirilerek bir üçgen çizilebilir.
    • Bir dik üçgende en uzun kenar her durumda 90°'lik dik açının karşısındaki hipotenüstür.
    • Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri büyüdükçe dış açılarının ölçüleri toplamı da 360°'nin üzerine çıkar.

  6. 6Aşağıdaki geometrik özellikleri ilgili kavram veya bağıntılarla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun geometrik kavramlarla tamamlayınız.

    1. Bir üçgende en büyük iç açının karşısında en kenar bulunur.
    2. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısında bulunan açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
    3. Tepe açısının ölçüsü 60° olan bir ikizkenar üçgen aynı zamanda bir üçgendir.
    4. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından olmak zorundadır.
    5. İkizkenar üçgende tepe açısından indirilen yükseklik aynı zamanda ve kenarortaydır.

  8. 8Bir ABC üçgeninde m(A) > 90° (geniş açı), |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm olarak veriliyor. |BC| = x kenarının alabileceği tam sayı değerlerini hem üçgen eşitsizliğini hem de açı-kenar sıralamasını birlikte kullanarak bulunuz. (Not: m(A) = 90° olsaydı Pisagor'dan x = 10 cm olurdu, m(A) > 90° olduğunda x > 10 cm olduğunu dikkate alınız.)

Kısaca

  • Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°, dış açılarının ölçüleri toplamı 360°'dir; bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
  • İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açıları eşittir; tepe açısından tabana indirilen yükseklik (dikme) aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır.
  • Eşkenar üçgenin üç kenarı birbirine eşit, her bir iç açısı 60° ve üç köşesinden çizilen yardımcı elemanların uzunlukları birbirine eşittir.
  • Bir üçgende büyük açının karşısında uzun kenar, küçük açının karşısında kısa kenar bulunur: m(A) > m(B) > m(C) ⇔ a > b > c.
  • Üçgen eşitsizliğine göre herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük, farklarının mutlak değerinden büyüktür: |b - c| < a < b + c.

Bu dersin öteki kaynakları