Gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleri yalnızca işlem yapmaya değil, bilimsel ve matematiksel önermelerin doğruluğunu muhakeme etmeye de olanak tanır. Bu haftanın ilk bölümünde üslü ve köklü ifadelerle ilgili önermeleri cebirsel kanıt ve aksine örnek yöntemleriyle doğrulamayı ve paydada yer alan köklü ifadeleri eşlenik çarpımıyla rasyonelleştirmeyi tamamlıyoruz. İkinci bölümde ise sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkilerini küme sembolleriyle ifade ediyor, gerçek sayı doğrusu üzerindeki sınırlı ve sınırsız aralıkları tanımlıyor ve aralıklarla birleşim, kesişim, fark ile tümleyen işlemlerini inceliyoruz.
1. Üslü ve Köklü Gösterimlerle İlgili Muhakeme ve Eşlenik İşlemleri
G
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
l
a
r
ı
n
ü
s
l
ü
v
e
k
ö
k
l
ü
g
ö
s
t
e
r
i
m
l
e
r
i
a
r
a
s
ı
n
d
a
{
k
o
y
u
:
r
a
s
y
o
n
e
l
ü
s
b
a
ğ
ı
n
t
ı
s
ı
}
k
ö
p
r
ü
k
u
r
a
r
:
{
k
o
y
u
:
a
>
0
}
,
{
k
o
y
u
:
m
}
b
i
r
t
a
m
s
a
y
ı
v
e
{
k
o
y
u
:
n
≥
2
}
b
i
r
d
o
ğ
a
l
s
a
y
ı
o
l
m
a
k
ü
z
e
r
e
{
k
o
y
u
:
{
u
s
:
a
|
2
/
3
}
=
{
k
o
k
:
{
u
s
:
a
|
2
}
|
3
}
}
e
ş
i
t
l
i
ğ
i
g
e
ç
e
r
l
i
d
i
r
.
K
ö
k
l
ü
i
f
a
d
e
l
e
r
d
e
k
ö
k
d
e
r
e
c
e
s
i
o
l
a
n
{
k
o
y
u
:
n
}
s
a
y
ı
s
ı
n
ı
n
t
e
k
v
e
y
a
ç
i
f
t
o
l
m
a
s
ı
k
r
i
t
i
k
ö
n
e
m
t
a
ş
ı
r
:
{
k
o
y
u
:
n
t
e
k
}
i
s
e
{
k
o
k
:
{
u
s
:
a
|
3
}
|
3
}
=
a
o
l
u
r
k
e
n
,
{
k
o
y
u
:
n
ç
i
f
t
}
i
s
e
s
o
n
u
ç
n
e
g
a
t
i
f
o
l
a
m
a
y
a
c
a
ğ
ı
n
d
a
n
{
k
o
y
u
:
{
k
o
k
:
{
u
s
:
a
|
2
}
}
=
|
a
|
}
(
m
u
t
l
a
k
d
e
ğ
e
r
a
)
o
l
u
r
.
P
a
y
d
a
s
ı
n
d
a
k
ö
k
l
ü
i
f
a
d
e
b
u
l
u
n
a
n
k
e
s
i
r
l
e
r
d
e
p
a
y
d
a
y
ı
r
a
s
y
o
n
e
l
s
a
y
ı
y
a
d
ö
n
ü
ş
t
ü
r
m
e
k
i
ç
i
n
{
k
o
y
u
:
e
ş
l
e
n
i
k
ç
a
r
p
ı
m
ı
}
k
u
l
l
a
n
ı
l
ı
r
;
i
k
i
k
a
r
e
f
a
r
k
ı
ö
z
d
e
ş
l
i
ğ
i
g
e
r
e
ğ
i
n
c
e
{
k
o
y
u
:
(
{
k
o
k
:
a
}
-
{
k
o
k
:
b
}
)
·
(
{
k
o
k
:
a
}
+
{
k
o
k
:
b
}
)
=
a
-
b
}
ç
a
r
p
ı
m
ı
k
ö
k
l
e
r
i
o
r
t
a
d
a
n
k
a
l
d
ı
r
ı
r
.
M
a
t
e
m
a
t
i
k
s
e
l
b
i
r
ö
n
e
r
m
e
n
i
n
d
o
ğ
r
u
l
u
ğ
u
n
u
s
o
r
g
u
l
a
r
k
e
n
ö
n
e
r
m
e
h
e
r
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
i
ç
i
n
g
e
ç
e
r
l
i
y
s
e
{
k
o
y
u
:
c
e
b
i
r
s
e
l
k
a
n
ı
t
}
y
a
p
ı
l
ı
r
;
e
n
a
z
b
i
r
s
a
y
ı
d
e
ğ
e
r
i
i
ç
i
n
b
i
l
e
s
a
ğ
l
a
m
ı
y
o
r
s
a
{
k
o
y
u
:
a
k
s
i
n
e
ö
r
n
e
k
}
v
e
r
i
l
e
r
e
k
ö
n
e
r
m
e
n
i
n
y
a
n
l
ı
ş
o
l
d
u
ğ
u
i
s
p
a
t
l
a
n
ı
r
.
2. Sayı Kümeleri ve Küme Sembolleri
G
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
l
a
r
v
e
a
l
t
k
ü
m
e
l
e
r
i
a
r
a
s
ı
n
d
a
k
i
i
l
i
ş
k
i
l
e
r
i
g
ö
s
t
e
r
m
e
k
i
ç
i
n
{
k
o
y
u
:
k
ü
m
e
d
i
l
i
v
e
s
e
m
b
o
l
l
e
r
i
}
k
u
l
l
a
n
ı
l
ı
r
.
S
a
y
ı
k
ü
m
e
l
e
r
i
e
n
d
a
r
k
ü
m
e
d
e
n
e
n
g
e
n
i
ş
k
ü
m
e
y
e
d
o
ğ
r
u
b
i
r
b
i
r
i
n
i
n
a
l
t
k
ü
m
e
s
i
o
l
a
c
a
k
b
i
ç
i
m
d
e
s
ı
r
a
l
a
n
ı
r
:
{
k
o
y
u
:
D
o
ğ
a
l
s
a
y
ı
l
a
r
k
ü
m
e
s
i
}
(
N
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
)
,
{
k
o
y
u
:
t
a
m
s
a
y
ı
l
a
r
k
ü
m
e
s
i
}
(
Z
=
{
.
.
.
,
-
2
,
-
1
,
0
,
1
,
2
,
.
.
.
}
)
,
a
v
e
b
t
a
m
s
a
y
ı
v
e
b
≠
0
o
l
m
a
k
ü
z
e
r
e
{
k
e
s
i
r
:
a
|
b
}
b
i
ç
i
m
i
n
d
e
y
a
z
ı
l
a
b
i
l
e
n
{
k
o
y
u
:
r
a
s
y
o
n
e
l
s
a
y
ı
l
a
r
k
ü
m
e
s
i
(
Q
)
}
v
e
v
i
r
g
ü
l
d
e
n
s
o
n
r
a
k
i
b
a
s
a
m
a
k
l
a
r
ı
d
ü
z
e
n
s
i
z
o
l
a
r
a
k
s
o
n
s
u
z
a
k
a
d
a
r
d
e
v
a
m
e
d
e
n
{
k
o
y
u
:
i
r
r
a
s
y
o
n
e
l
s
a
y
ı
l
a
r
k
ü
m
e
s
i
(
Q
'
)
}
(
{
k
o
k
:
2
}
,
{
k
o
k
:
5
}
,
π
,
e
g
i
b
i
)
.
R
a
s
y
o
n
e
l
v
e
i
r
r
a
s
y
o
n
e
l
s
a
y
ı
l
a
r
ı
n
b
i
r
l
e
ş
i
m
i
{
k
o
y
u
:
g
e
r
ç
e
k
(
r
e
e
l
)
s
a
y
ı
l
a
r
k
ü
m
e
s
i
n
i
(
R
=
Q
∪
Q
'
)
}
o
l
u
ş
t
u
r
u
r
v
e
b
u
i
k
i
k
ü
m
e
a
y
r
ı
k
o
l
d
u
ğ
u
n
d
a
n
k
e
s
i
ş
i
m
l
e
r
i
b
o
ş
k
ü
m
e
d
i
r
(
{
k
o
y
u
:
Q
∩
Q
'
=
∅
}
)
.
B
i
r
e
l
e
m
a
n
ı
n
k
ü
m
e
y
e
a
i
t
o
l
m
a
s
ı
{
k
o
y
u
:
∈
}
(
e
l
e
m
a
n
ı
d
ı
r
)
,
a
i
t
o
l
m
a
m
a
s
ı
{
k
o
y
u
:
∉
}
(
e
l
e
m
a
n
ı
d
e
ğ
i
l
d
i
r
)
v
e
b
i
r
k
ü
m
e
n
i
n
b
a
ş
k
a
b
i
r
k
ü
m
e
n
i
n
i
ç
i
n
d
e
y
e
r
a
l
m
a
s
ı
{
k
o
y
u
:
⊂
}
(
a
l
t
k
ü
m
e
s
i
d
i
r
)
s
e
m
b
o
l
ü
y
l
e
g
ö
s
t
e
r
i
l
i
r
.
| Sembol / Gösterim | Okunuşu ve Anlamı | Matematiksel Örnek |
|---|---|---|
| ∈ ve ∉ | Elemanıdır / Elemanı değildir | -5 ∈ Z, ancak -5 ∉ N; ∈ Q', ancak ∉ Q |
| ⊂ ve ⊆ | Alt kümesidir / Kapsanır | N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ve Q' ⊂ R |
| ∪ (Birleşim) | İki kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu küme | Q ∪ Q' = R (Gerçek sayılar kümesi) |
| ∩ (Kesişim) | İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu küme | Q ∩ Q' = ∅ ve Z ∩ N = N |
| \ veya - (Fark) | Birinci kümede olup ikinci kümede olmayan elemanlar | R \ Q = Q' ve N \ {0} = Z+ |
| A' (Tümleyen) | Evrensel kümede (R) olup A kümesinde olmayanlar | Q' = R \ Q (Rasyonel olmayan gerçek sayılar) |
3. Sınırlı Gerçek Sayı Aralıkları: Açık, Kapalı ve Yarı Açık Aralıklar
İ
k
i
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
a
r
a
s
ı
n
d
a
k
i
t
ü
m
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
l
a
r
ı
t
e
k
t
e
k
l
i
s
t
e
y
ö
n
t
e
m
i
y
l
e
y
a
z
m
a
k
i
m
k
â
n
s
ı
z
d
ı
r
;
ç
ü
n
k
ü
i
k
i
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
a
r
a
s
ı
n
d
a
s
o
n
s
u
z
t
a
n
e
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
b
u
l
u
n
u
r
.
B
u
n
e
d
e
n
l
e
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
d
o
ğ
r
u
s
u
ü
z
e
r
i
n
d
e
k
i
k
e
s
i
n
t
i
s
i
z
s
a
y
ı
k
ü
m
e
l
e
r
i
n
i
i
f
a
d
e
e
t
m
e
k
i
ç
i
n
{
k
o
y
u
:
a
r
a
l
ı
k
g
ö
s
t
e
r
i
m
i
}
k
u
l
l
a
n
ı
l
ı
r
.
A
l
t
s
ı
n
ı
r
ı
{
k
o
y
u
:
a
}
v
e
ü
s
t
s
ı
n
ı
r
ı
{
k
o
y
u
:
b
}
(
{
k
o
y
u
:
a
<
b
}
)
o
l
a
n
a
r
a
l
ı
k
l
a
r
{
k
o
y
u
:
s
ı
n
ı
r
l
ı
a
r
a
l
ı
k
l
a
r
}
o
l
a
r
a
k
a
d
l
a
n
d
ı
r
ı
l
ı
r
.
S
ı
n
ı
r
n
o
k
t
a
s
ı
n
ı
n
k
ü
m
e
y
e
d
â
h
i
l
o
l
u
p
o
l
m
a
m
a
s
ı
n
a
g
ö
r
e
d
ö
r
t
t
ü
r
s
ı
n
ı
r
l
ı
a
r
a
l
ı
k
v
a
r
d
ı
r
:
S
ı
n
ı
r
n
o
k
t
a
l
a
r
ı
k
ü
m
e
y
e
d
â
h
i
l
d
e
ğ
i
l
s
e
{
k
o
y
u
:
a
ç
ı
k
p
a
r
a
n
t
e
z
(
)
}
k
u
l
l
a
n
ı
l
ı
r
v
e
s
a
y
ı
d
o
ğ
r
u
s
u
n
d
a
u
ç
n
o
k
t
a
{
k
o
y
u
:
i
ç
i
b
o
ş
d
a
i
r
e
(
○
)
}
i
l
e
g
ö
s
t
e
r
i
l
i
r
.
S
ı
n
ı
r
n
o
k
t
a
l
a
r
ı
k
ü
m
e
y
e
d
â
h
i
l
i
s
e
{
k
o
y
u
:
k
ö
ş
e
l
i
p
a
r
a
n
t
e
z
[
]
}
k
u
l
l
a
n
ı
l
ı
r
v
e
s
a
y
ı
d
o
ğ
r
u
s
u
n
d
a
u
ç
n
o
k
t
a
{
k
o
y
u
:
i
ç
i
d
o
l
u
d
a
i
r
e
(
●
)
}
i
l
e
g
ö
s
t
e
r
i
l
i
r
.
| Aralık Türü | Gösterim | Ortak Özellik Yöntemi | Uç Noktaların Durumu |
|---|---|---|---|
| Açık Aralık | (a, b) | {x | a < x < b, x ∈ R} | a ∉ (a, b) ve b ∉ (a, b) — her iki uç açık (○ — ○) |
| Kapalı Aralık | [a, b] | {x | a ≤ x ≤ b, x ∈ R} | a ∈ [a, b] ve b ∈ [a, b] — her iki uç kapalı (● — ●) |
| Yarı Açık Aralık | [a, b) | {x | a ≤ x < b, x ∈ R} | a ∈ [a, b) ancak b ∉ [a, b) — sol kapalı, sağ açık (● — ○) |
| Yarı Açık Aralık | (a, b] | {x | a < x ≤ b, x ∈ R} | a ∉ (a, b] ancak b ∈ (a, b] — sol açık, sağ kapalı (○ — ●) |
4. Sınırsız Gerçek Sayı Aralıkları
B
i
r
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
d
a
n
b
ü
y
ü
k
o
l
a
n
t
ü
m
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
l
a
r
ı
n
v
e
y
a
b
i
r
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
d
a
n
k
ü
ç
ü
k
o
l
a
n
t
ü
m
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
l
a
r
ı
n
o
l
u
ş
t
u
r
d
u
ğ
u
k
ü
m
e
l
e
r
b
i
r
y
ö
n
d
e
n
s
ı
n
ı
r
l
ı
,
d
i
ğ
e
r
y
ö
n
d
e
n
i
s
e
s
o
n
s
u
z
a
u
z
a
n
a
n
{
k
o
y
u
:
s
ı
n
ı
r
s
ı
z
a
r
a
l
ı
k
l
a
r
}
d
ı
r
.
S
a
y
ı
d
o
ğ
r
u
s
u
n
u
n
s
a
ğ
u
c
u
n
d
a
{
k
o
y
u
:
a
r
t
ı
s
o
n
s
u
z
(
+
∞
v
e
y
a
∞
)
}
,
s
o
l
u
c
u
n
d
a
i
s
e
{
k
o
y
u
:
e
k
s
i
s
o
n
s
u
z
(
-
∞
)
}
s
e
m
b
o
l
ü
k
u
l
l
a
n
ı
l
ı
r
.
{
k
o
y
u
:
S
o
n
s
u
z
(
∞
v
e
-
∞
)
b
i
r
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
d
e
ğ
i
l
d
i
r
}
;
y
a
l
n
ı
z
c
a
s
a
y
ı
l
a
r
ı
n
s
ı
n
ı
r
s
ı
z
b
i
ç
i
m
d
e
b
ü
y
ü
d
ü
ğ
ü
n
ü
v
e
y
a
k
ü
ç
ü
l
d
ü
ğ
ü
n
ü
g
ö
s
t
e
r
e
n
b
i
r
s
e
m
b
o
l
d
ü
r
.
B
u
n
e
d
e
n
l
e
a
r
a
l
ı
k
g
ö
s
t
e
r
i
m
i
n
d
e
{
k
o
y
u
:
-
∞
v
e
∞
s
e
m
b
o
l
l
e
r
i
n
i
n
b
u
l
u
n
d
u
ğ
u
t
a
r
a
f
d
a
i
m
a
a
ç
ı
k
p
a
r
a
n
t
e
z
(
)
i
l
e
y
a
z
ı
l
ı
r
}
,
h
i
ç
b
i
r
z
a
m
a
n
k
ö
ş
e
l
i
p
a
r
a
n
t
e
z
k
u
l
l
a
n
ı
l
m
a
z
.
T
ü
m
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
l
a
r
k
ü
m
e
s
i
d
e
h
e
r
i
k
i
y
ö
n
d
e
n
s
ı
n
ı
r
s
ı
z
a
r
a
l
ı
k
o
l
a
r
a
k
{
k
o
y
u
:
R
=
(
-
∞
,
∞
)
}
b
i
ç
i
m
i
n
d
e
i
f
a
d
e
e
d
i
l
i
r
.
| Sınırsız Aralık | Ortak Özellik Gösterimi | Sözel Anlamı ve Sayı Doğrusu Yönü |
|---|---|---|
| (a, ∞) | {x | x > a, x ∈ R} | a'dan büyük tüm gerçek sayılar (a noktasında içi boş daire, sağa doğru ok) |
| [a, ∞) | {x | x ≥ a, x ∈ R} | a ve a'dan büyük tüm gerçek sayılar (a noktasında içi dolu daire, sağa doğru ok) |
| (-∞, b) | {x | x < b, x ∈ R} | b'den küçük tüm gerçek sayılar (b noktasında içi boş daire, sola doğru ok) |
| (-∞, b] | {x | x ≤ b, x ∈ R} | b ve b'den küçük tüm gerçek sayılar (b noktasında içi dolu daire, sola doğru ok) |
| (-∞, ∞) | R (Tüm gerçek sayılar) | Gerçek sayı doğrusunun tamamı (her iki yöne sonsuza uzanan doğru) |
5. Gerçek Sayı Aralıklarıyla Küme İşlemleri: Birleşim, Kesişim ve Fark
G
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
a
r
a
l
ı
k
l
a
r
ı
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
l
a
r
k
ü
m
e
s
i
n
i
n
b
i
r
e
r
a
l
t
k
ü
m
e
s
i
o
l
d
u
ğ
u
n
d
a
n
,
a
r
a
l
ı
k
l
a
r
ü
z
e
r
i
n
d
e
{
k
o
y
u
:
b
i
r
l
e
ş
i
m
(
∪
)
}
,
{
k
o
y
u
:
k
e
s
i
ş
i
m
(
∩
)
}
v
e
{
k
o
y
u
:
f
a
r
k
(
\
)
}
i
ş
l
e
m
l
e
r
i
d
o
ğ
r
u
d
a
n
u
y
g
u
l
a
n
a
b
i
l
i
r
.
B
u
i
ş
l
e
m
l
e
r
i
h
a
t
a
s
ı
z
y
a
p
m
a
n
ı
n
e
n
e
t
k
i
l
i
y
o
l
u
h
e
r
i
k
i
a
r
a
l
ı
ğ
ı
a
y
n
ı
s
a
y
ı
d
o
ğ
r
u
s
u
ü
z
e
r
i
n
d
e
a
l
t
a
l
t
a
ç
i
z
m
e
k
t
i
r
.
{
k
o
y
u
:
B
i
r
l
e
ş
i
m
(
A
∪
B
)
}
,
s
a
y
ı
d
o
ğ
r
u
s
u
n
d
a
A
v
e
y
a
B
a
r
a
l
ı
k
l
a
r
ı
n
d
a
n
e
n
a
z
b
i
r
i
t
a
r
a
f
ı
n
d
a
n
t
a
r
a
n
a
n
t
ü
m
n
o
k
t
a
l
a
r
ı
k
a
p
s
a
r
(
o
r
t
a
k
b
ö
l
g
e
s
i
o
l
a
n
i
k
i
a
r
a
l
ı
ğ
ı
n
b
i
r
l
e
ş
i
m
i
e
n
k
ü
ç
ü
k
a
l
t
s
ı
n
ı
r
d
a
n
e
n
b
ü
y
ü
k
ü
s
t
s
ı
n
ı
r
a
u
z
a
n
a
n
t
e
k
b
i
r
a
r
a
l
ı
k
t
ı
r
)
.
{
k
o
y
u
:
K
e
s
i
ş
i
m
(
A
∩
B
)
}
,
h
e
r
i
k
i
a
r
a
l
ı
k
t
a
a
y
n
ı
a
n
d
a
b
u
l
u
n
a
n
o
r
t
a
k
n
o
k
t
a
l
a
r
ı
n
k
ü
m
e
s
i
d
i
r
(
b
ü
y
ü
k
a
l
t
s
ı
n
ı
r
i
l
e
k
ü
ç
ü
k
ü
s
t
s
ı
n
ı
r
a
r
a
s
ı
n
d
a
k
i
b
ö
l
g
e
)
.
{
k
o
y
u
:
F
a
r
k
(
A
\
B
)
}
i
s
e
A
a
r
a
l
ı
ğ
ı
n
d
a
b
u
l
u
n
u
p
B
a
r
a
l
ı
ğ
ı
n
d
a
b
u
l
u
n
m
a
y
a
n
e
l
e
m
a
n
l
a
r
d
a
n
o
l
u
ş
u
r
.
6. Bir Aralığın Tümleyeni ve Gerçek Yaşam Modellemesi
G
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
l
a
r
k
ü
m
e
s
i
{
k
o
y
u
:
R
=
(
-
∞
,
∞
)
}
e
v
r
e
n
s
e
l
k
ü
m
e
k
a
b
u
l
e
d
i
l
d
i
ğ
i
n
d
e
,
b
i
r
A
a
r
a
l
ı
ğ
ı
n
d
a
b
u
l
u
n
m
a
y
a
n
t
ü
m
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
l
a
r
ı
n
o
l
u
ş
t
u
r
d
u
ğ
u
k
ü
m
e
y
e
{
k
o
y
u
:
A
a
r
a
l
ı
ğ
ı
n
ı
n
t
ü
m
l
e
y
e
n
i
}
d
e
n
i
r
v
e
{
k
o
y
u
:
A
'
=
R
\
A
}
i
l
e
g
ö
s
t
e
r
i
l
i
r
.
B
i
r
a
r
a
l
ı
ğ
ı
n
t
ü
m
l
e
y
e
n
i
a
l
ı
n
ı
r
k
e
n
s
a
y
ı
d
o
ğ
r
u
s
u
n
d
a
o
a
r
a
l
ı
ğ
ı
n
d
ı
ş
ı
n
d
a
k
a
l
a
n
b
ö
l
g
e
l
e
r
a
l
ı
n
ı
r
;
A
a
r
a
l
ı
ğ
ı
n
a
d
â
h
i
l
o
l
a
n
(
k
a
p
a
l
ı
)
s
ı
n
ı
r
n
o
k
t
a
l
a
r
ı
t
ü
m
l
e
y
e
n
d
e
d
â
h
i
l
o
l
m
a
z
(
a
ç
ı
k
o
l
u
r
)
,
A
a
r
a
l
ı
ğ
ı
n
a
d
â
h
i
l
o
l
m
a
y
a
n
(
a
ç
ı
k
)
s
ı
n
ı
r
n
o
k
t
a
l
a
r
ı
i
s
e
t
ü
m
l
e
y
e
n
d
e
d
â
h
i
l
o
l
u
r
(
k
a
p
a
l
ı
o
l
u
r
)
.
G
e
r
ç
e
k
y
a
ş
a
m
d
a
s
ı
c
a
k
l
ı
k
t
o
l
e
r
a
n
s
l
a
r
ı
,
l
a
b
o
r
a
t
u
v
a
r
g
ü
v
e
n
l
i
k
s
ı
n
ı
r
l
a
r
ı
,
i
l
a
ç
d
o
z
a
j
a
r
a
l
ı
k
l
a
r
ı
v
e
m
ü
h
e
n
d
i
s
l
i
k
h
a
t
a
p
a
y
l
a
r
ı
g
e
r
ç
e
k
s
a
y
ı
a
r
a
l
ı
k
l
a
r
ı
v
e
b
u
n
l
a
r
ı
n
t
ü
m
l
e
y
e
n
l
e
r
i
y
l
e
m
o
d
e
l
l
e
n
i
r
.
Örnekler
Örnek 12 - + 2 + işleminin sonucunu paydaları rasyonelleştirerek bulunuz.
Cevabı göster
Birinci kesri (+), ikinci kesri (-) eşleniği ile genişletirsek ortak payda 5 - 3 = 2 olur. İfade 2(+)2 + 2(-)2 = (+) + (-) = 2 bulunur.
Örnek 2x < 0 < y olmak üzere + - ifadesinin en sade biçimini bulunuz.
Cevabı göster
Çift dereceli köklerden ifadeler mutlak değer içinde, tek dereceli kökten aynen çıkar: |x| + y - |x - y|. x < 0 olduğundan |x| = -x ve x - y < 0 olduğundan |x - y| = -(x - y) = -x + y olur. Yerine yazılırsa: (-x) + y - (-x + y) = -x + y + x - y = 0 bulunur.
Örnek 3Gerçek sayılar kümesinde A = [-3, 5) ve B = (1, 7] aralıkları veriliyor. A ∪ B ve A ∩ B kümelerini aralık gösterimiyle yazınız.
Cevabı göster
Sayı doğrusunda her iki küme çizildiğinde en küçük alt sınır -3 (kapalı) ve en büyük üst sınır 7 (kapalı) olduğundan A ∪ B = [-3, 7] olur. Ortak bölgenin sınırları ise 1 (B kümesinde açık olduğundan kesişimde açık) ve 5 (A kümesinde açık olduğundan kesişimde açık) olup A ∩ B = (1, 5) bulunur.
Örnek 4Gerçek sayılar kümesinde A = [-2, 4] ve B = (1, 6) aralıkları için A \ B (A fark B) kümesini bulunuz.
Cevabı göster
[-2, 4] aralığından (1, 6) aralığının elemanları çıkarıldığında -2 ile 1 arasındaki sayılar kalır. 1 sınır noktası A kümesinde vardır (1 ∈ A) ancak B kümesinde açık uç olduğundan yoktur (1 ∉ B); dolayısıyla 1 sayısı A kümesinden silinemez ve fark kümesinde kapalı uç olur: A \ B = [-2, 1].
Örnek 5Gerçek sayılar kümesinde M = (-4, 3] yarı açık aralığının tümleyeni olan M' = R \ M kümesini bulunuz.
Cevabı göster
M = (-4, 3] aralığının dışında kalan gerçek sayılar -4 ve -4'ten küçük sayılar ile 3'ten büyük sayılardır. -4 sayısı M'de açık olduğu için M' kümesinde kapalı, 3 sayısı M'de kapalı olduğu için M' kümesinde açık olur: M' = (-∞, -4] ∪ (3, ∞).
Etkinlikler
Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.
1Gerçek sayılar kümesinde tanımlı A = [-4, 3) ve B = (0, 5] aralıkları veriliyor. Buna göre A \ B (A fark B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A = [-4, 3) aralığından B = (0, 5] aralığının elemanları çıkarıldığında -4 ile 0 arasındaki sayılar kalır. -4 sayısı A'da kapalı olduğundan sonuçta kapalıdır. 0 sayısı ise A kümesinde vardır (0 ∈ A) fakat B kümesinde açık uç olduğundan yoktur (0 ∉ B); dolayısıyla 0 sayısı A'dan çıkarılamaz ve fark kümesinde kalır: A \ B = [-4, 0].
2Gerçek sayılar kümesinde K = (-2, 6] aralığının tümleyeni olan K' = R \ K kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
K = (-2, 6] aralığında -2 elemanı yoktur (-2 ∉ K), bu yüzden tümleyen kümesinde -2 yer alır (kapalı uç: -2]). 6 elemanı K kümesinde vardır (6 ∈ K), bu yüzden tümleyende yer almaz (açık uç: (6). Dolayısıyla K' = (-∞, -2] ∪ (6, ∞) olur.
3Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.
- Gerçek sayı aralıklarında sonsuz (-∞ veya ∞) sembolünün bulunduğu uç her zaman açık parantez ile gösterilir.
Sonsuz bir gerçek sayı olmadığı için kümeye dâhil edilemez; bu nedenle daima (-∞, a veya b, ∞) şeklinde açık parantez kullanılır.
- Gerçek sayı aralıklarında sonsuz (-∞ veya ∞) sembolünün bulunduğu uç her zaman açık parantez ile gösterilir.
4Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.
- A = [-1, 4] ve B = (2, 7) aralıklarının kesişimi A ∩ B = [2, 4] kapalı aralığıdır.
2 sayısı B = (2, 7) aralığına dâhil olmadığı için (2 ∉ B) kesişim kümesine de dâhil olamaz. Doğru kesişim kümesi A ∩ B = (2, 4] yarı açık aralığıdır.
- A = [-1, 4] ve B = (2, 7) aralıklarının kesişimi A ∩ B = [2, 4] kapalı aralığıdır.
5Aşağıdaki gerçek sayı kümelerini ve aralık işlemlerini doğru karşılıklarıyla eşleştiriniz.
Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.
6Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.
- Uç noktalarının her ikisi de kümeye dâhil olan [a, b] biçimindeki gerçek sayı aralığına aralık denir.
Önce bütün boşlukları doldurun.
7Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.
- Matematiksel bir önermenin yanlış olduğunu ispatlamak için önermeyi sağlamayan tek bir bulmak yeterlidir.
Önce bütün boşlukları doldurun.
8Gerçek sayılar kümesinde M = (-3, 5] ve N = [1, 8) aralıkları veriliyor. a) M ∪ N ve M ∩ N kümelerini aralık olarak yazınız. b) M \ N kümesini bulunuz ve bu kümede kaç tane tam sayı olduğunu hesaplayınız.
1. ipucu: 1. Adım: Sayı doğrusunda -3, 1, 5 ve 8 noktalarını işaretleyerek M = (-3, 5] ve N = [1, 8) aralıklarını gösteriniz.
2. ipucu: 2. Adım: Birleşim için en sol sınır (-3, açık) ile en sağ sınırı (8, açık); kesişim için ortak bölgenin sınırlarını (1 kapalı, 5 kapalı) belirleyiniz.
3. ipucu: 3. Adım: M \ N fark kümesinde 1 sınır noktası N kümesine dâhil olduğu için (1 ∈ N) fark kümesinde açık uç olacağına dikkat ediniz.
Cevap: a) İki aralığın birleşimi en küçük alt sınır -3 (açık) ile en büyük üst sınır 8 (açık) arasındaki tüm gerçek sayılardır: M ∪ N = (-3, 8). Ortak bölge ise 1 (her iki kümede de var, kapalı) ile 5 (her iki kümede de var, kapalı) arasıdır: M ∩ N = [1, 5]. b) M = (-3, 5] kümesinden N = [1, 8) kümesini çıkardığımızda -3 ile 1 arasındaki kısım kalır. 1 sayısı N kümesinin elemanı olduğu için (1 ∈ N) M kümesinden silinir ve açık uç olur: M \ N = (-3, 1). Bu aralıktaki tam sayılar {-2, -1, 0} olup toplam 3 tanedir.
Kısaca
- 1. Üslü ve Köklü Gösterimlerle İlgili Muhakeme ve Eşlenik İşlemleri: Gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleri arasında rasyonel üs bağıntısı köprü kurar: a > 0, m bir tam sayı ve n ≥ 2 bir doğal sayı olmak üzere a2/3 = eşitliği geçerlidir.
- 2. Sayı Kümeleri ve Küme Sembolleri: Gerçek sayılar ve alt kümeleri arasındaki ilişkileri göstermek için küme dili ve sembolleri kullanılır.
- 3. Sınırlı Gerçek Sayı Aralıkları: Açık, Kapalı ve Yarı Açık Aralıklar: İki gerçek sayı arasındaki tüm gerçek sayıları tek tek liste yöntemiyle yazmak imkânsızdır; çünkü iki gerçek sayı arasında sonsuz tane gerçek sayı bulunur.
- 4. Sınırsız Gerçek Sayı Aralıkları: Bir gerçek sayıdan büyük olan tüm gerçek sayıların veya bir gerçek sayıdan küçük olan tüm gerçek sayıların oluşturduğu kümeler bir yönden sınırlı, diğer yönden ise sonsuza uzanan sınırsız aralıklardır.
- 5. Gerçek Sayı Aralıklarıyla Küme İşlemleri: Birleşim, Kesişim ve Fark: Gerçek sayı aralıkları gerçek sayılar kümesinin birer alt kümesi olduğundan, aralıklar üzerinde birleşim (∪), kesişim (∩) ve fark (\) işlemleri doğrudan uygulanabilir.
- 6. Bir Aralığın Tümleyeni ve Gerçek Yaşam Modellemesi: Gerçek sayılar kümesi R = (-∞, ∞) evrensel küme kabul edildiğinde, bir A aralığında bulunmayan tüm gerçek sayıların oluşturduğu kümeye A aralığının tümleyeni denir ve A' = R \ A ile gösterilir.
Bu dersin öteki kaynakları
- 9. Sınıf Matematik Yıllık Planı (2026-2027) Yıllık plan
- Matematik Dersi Öğretim Programı (ortaöğretim) Öğretim programı
- 9. Sınıf Matematik Ortak Yazılı Senaryoları (1. dönem, 2026-2027) Yazılı senaryosu
- Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (1.Kitap) Ders kitabı
- Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap) Ders kitabı
- 9. Sınıf Matematik Günlük Planları (2026-2027) Ders planı
- 9. Sınıf Matematik 1. Hafta Çalışma Kâğıdı: Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleriyle İşlemler Çalışma kâğıdı