Sabit hızlı hareket yalnızca tek bir hız değeriyle kesintisiz ilerleyen ideal durumlardan ibaret değildir; gerçek yaşamda fabrika taşıyıcı bantları, kademeli koşu bantları, CNC kesim makineleri, buz pateni sporcuları veya kargo dronları farklı zaman aralıklarında farklı sabit hızlarla hareket edebilir ya da belirli süreler boyunca durabilir. Bu haftaki dersimizde parçalı sabit hızlı hareketlerin konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini çözümleyecek, aynı veya zıt yönde hareket eden iki cismin karşılaşma ve aralarındaki mesafe problemlerini inceleyecek, zaman çizelgesi ve kroki okumalarını pekiştirecek ve konum-zaman ile hız-zaman grafikleri arasında çift yönlü dönüşüm yapmayı öğreneceğiz.
Parçalı Sabit Hızlı Hareketler ve Taşıyıcı Bant / Koşu Bandı Modelleri
Endüstriyel üretim hatlarında veya spor antrenmanlarında bir cisim ardışık zaman aralıklarında farklı sabit hızlarla hareket edebilir. Örneğin bir üretim hattında birinci taşıyıcı bant üzerindeki koli 4 s boyunca 12 m yer değiştirip hemen ardından ikinci taşıyıcı banda geçerek 6 s boyunca 24 m daha ilerlediğinde, birinci bölgedeki hız büyüklüğü v₁ = 12 m4 s = 3 m/s, ikinci bölgedeki hız büyüklüğü ise v₂ = 24 m6 s = 4 m/s olur. Benzer şekilde koşu bandında ilk 6 s boyunca 3 m/s, sonraki 4 s boyunca 6 m/s sabit hızla koşan bir sporcu da iki kademeli sabit hızlı hareket gerçekleştirir.
Bu tür parçalı hareketlerin konum-zaman (x-t) grafiği çizildiğinde grafik tek bir doğrudan oluşmaz; hızın değiştiği geçiş anında (t = 4 s veya t = 6 s) doğrunun eğimi değişir. Hızın daha büyük olduğu zaman aralığında konum-zaman doğrusunun eğimi daha diktir. Ara bir zaman dilimindeki (örneğin 0 - 9 s aralığındaki) toplam yer değiştirme hesaplanırken, birinci bölgenin tamamındaki yer değiştirme ile ikinci bölgenin ilgili süresindeki (9 - 6 = 3 s) yer değiştirmesi toplanır.
| Hareket Bölgesi | Zaman Aralığı (Δt) | Yer Değiştirme (Δx) | Bölge Hızı (v = Δx / Δt) | x-t Grafiğinin Görünümü |
|---|---|---|---|---|
| 1. Taşıyıcı Bant (Kademe 1) | 0 - 4 s (Δt₁ = 4 s) | 12 m (+x yönünde) | v₁ = 12 / 4 = 3 m/s | 0 m'den 12 m'ye çıkan, eğimi 3 m/s olan doğru |
| 2. Taşıyıcı Bant (Kademe 2) | 4 - 10 s (Δt₂ = 6 s) | 24 m (+x yönünde) | v₂ = 24 / 6 = 4 m/s | 12 m'den 36 m'ye çıkan, eğimi 4 m/s olan daha dik doğru |
| 0 - 9 s Ara Toplamı | 4 s + 5 s = 9 s | 12 m + (4 m/s · 5 s) = 32 m | v_ort = 32 / 9 m/s | t = 9 s anında düşey eksende 32 m konumu |
Çok Bölmeli Konum-Zaman (x-t) Grafiklerinde Durma ve Yön Değiştirme
Gerçek bir hareketlinin (örneğin buz pateni pistinde kayan bir sporcunun, doğrusal kesim yapan bir CNC makinesinin ya da tören alanını görüntüleyen bir dronun) konum-zaman grafiği incelendiğinde üç temel bölge türüyle karşılaşılır: (1) Pozitif eğimli doğru cismin +x yönünde sabit hızla ilerlediğini, (2) Yatay doğru (eğim = 0) cismin konumunun değişmediğini yani o zaman aralığında durduğunu (v = 0), (3) Negatif eğimli doğru ise cismin -x yönünde sabit hızla geri döndüğünü gösterir.
Konum-zaman grafiğinde eğimin işaret değiştirdiği tepe veya çukur kırılma noktaları cismin yön değiştirdiği anlardır. Böyle çok bölmeli bir harekette alınan toplam yol (d) hesaplanırken her bölgede katedilen mesafelerin mutlak değerleri toplanır (d = |Δx₁| + |Δx₂| + |Δx₃|). Buna karşılık toplam yer değiştirme (Δx) bulunurken ara bölgelerdeki gidiş-dönüşlere bakılmaksızın yalnızca hareketin bittiği son konumdan başladığı ilk konum çıkarılır (Δx = x_son - x_ilk).
İki Hareketlinin Karşılaşma ve Aralarındaki Uzaklık Problemleri
Doğrusal bir yolda aynı anda harekete geçen iki cismin birbirine göre durumu hareket yönlerine bağlıdır. Aynı konumdan aynı anda zıt yönlerde sabit v₁ ve v₂ süratleriyle harekete geçen iki bisikletlinin her saniye aralarındaki mesafe (v₁ + v₂) kadar açılır; dolayısıyla t süre sonunda aralarındaki uzaklık d = (v₁ + v₂) · t olur. Aralarında başlangıçta d kadar mesafe bulunan K ve L noktalarından birbirine doğru sabit v₁ ve v₂ süratleriyle gelen iki hareketlinin (örneğin iki elektrikli scooter kullanıcısının) karşılaşma süresi ise t_karşılaşma = dv₁ + v₂ bağıntısıyla bulunur.
İki hareketlinin ortak konum-zaman (x-t) grafiği çizildiğinde, doğruların kesiştiği nokta iki hareketlinin aynı anda aynı konumda bulunduğunu yani karşılaştıklarını (yan yana geldiklerini) gösterir. Kesişim noktasının yatay eksendeki karşılığı karşılaşma anını (t), düşey eksendeki karşılığı ise karşılaşma konumunu (x) verir. Aynı noktadan aynı yönde farklı sabit hızlarla (v₂ > v₁) başlayan iki koşucunun t süre sonunda aralarındaki uzaklık ise hız büyüklüklerinin farkıyla sürenin çarpımına eşittir: d = (v₂ - v₁) · t.
| Hareket Durumu | Hız Yönleri | Bağıntı | Fiziksel Anlamı |
|---|---|---|---|
| Aynı noktadan zıt yöne gidiş | Biri +x, diğeri -x | d = (v₁ + v₂) · t | Aralarındaki uzaklık saniyede (v₁ + v₂) kadar artar |
| Aralarında d varken birbirine geliş | Biri +x, diğeri -x | t = d / (v₁ + v₂) | İki cismin aldığı yolların toplamı başlangıç mesafesi d'ye eşittir |
| Aynı noktadan aynı yöne gidiş | İkisi de +x (veya ikisi de -x) | d = |v₂ - v₁| · t | Hızlı olan yavaş olana saniyede |v₂ - v₁| kadar fark atar |
Kroki, Gerçek Yörünge, Kuş Uçuşu Mesafe ve Zaman Çizelgesi Analizi
Günlük yaşamda bir öğrencinin evden okula ulaşımı veya bir robot süpürgenin oda içindeki temizlik rotası gibi çok aşamalı hareketlerde zaman bilgisi genellikle saat:dakika:saniye biçiminde bir zaman çizelgesi ile verilir. Örneğin evden saat 08.00.00’de çıkıp 240 m yürüyerek 08.04.00’te durağa varan (Δt₁ = 4 dk = 240 s), durakta 08.05.30’a kadar otobüs bekleyen (Δt₂ = 1 dk 30 s = 90 s), otobüsle 1300 m yolu 08.08.30’da tamamlayan (Δt₃ = 3 dk = 180 s) ve duraktan okula 60 m yolu 08.09.30’da yürüyen (Δt₄ = 1 dk = 60 s) bir öğrencinin toplam hareket süresi tüm aşamaların (bekleme süresi dâhil) toplamı olan 570 s’dir.
Bu harekette öğrencinin aldığı toplam yol yürüdüğü ve otobüsle gittiği yörünge uzunluklarının toplamı (240 + 1300 + 60 = 1600 m) iken, yer değiştirmesinin büyüklüğü yalnızca ev ile okul arasındaki kuş uçuşu doğrusal uzaklıktır (örneğin krokide 1140 m). Dolayısıyla hareketin tamamı için ortalama sürat hesaplanırken alınan toplam yol (1600 m) toplam süreye (570 s) bölünür; ortalama hız büyüklüğü hesaplanırken ise kuş uçuşu yer değiştirme (1140 m) toplam süreye (570 s) bölünerek 2 m/s bulunur.
Konum-Zaman (x-t) ve Hız-Zaman (v-t) Grafikleri Arasında Çift Yönlü Dönüşüm
Sabit hızlı harekette konum-zaman (x-t) grafiği ile hız-zaman (v-t) grafiği birbirinden doğrudan elde edilebilir. x-t grafiğinden v-t grafiğine geçişte her zaman aralığı için doğrunun eğimi hesaplanır (Eğim = ΔxΔt = x_son - x_ilkt_son - t_ilk). Eğim pozitif bir sabit sayı ise v-t grafiğinde zaman ekseninin üstünde yatay bir doğru, eğim sıfır ise zaman ekseni üzerinde (v = 0) bir doğru, eğim negatif bir sabit sayı ise zaman ekseninin altında yatay bir doğru çizilir.
v-t grafiğinden x-t grafiğine geçişte ise hız-zaman grafiği ile zaman ekseni arasında kalan taralı alan hesaplanarak her bölgedeki yer değiştirme (Δx = v · Δt) bulunur. Ancak v-t grafiğinin alanı yalnızca yer değiştirmeyi (Δx) verir; hareketlinin x-t grafiğini doğru noktadan başlatabilmek için soruda verilen ilk konumun (x₀) bilinmesi şarttır. Her bölgenin sonundaki konum x_son = x₀ + Δx eşitliğiyle bulunarak zaman eksenindeki karşılıklarıyla birleştirilir.
Pozitif ve Negatif Yönde Sabit Hızlı Hareketin Matematiksel Modelleri
Yatay doğrultuda sabit hızlı hareket eden cisimler için tümevarımsal akıl yürütmeyle ulaştığımız matematiksel modeller, hareketin yönüne ve ilk konumuna göre genel bir yapıda ifade edilir. İlk konumu x₀ olan ve +x yönünde sabit v hızıyla ilerleyen bir aracın t anındaki konumu x ise hız bağıntısı v = x - x₀t, yer değiştirme bağıntısı Δx = +v · t ve herhangi bir andaki konum denklemi x = x₀ + v · t şeklindedir.
Başlangıç noktasından (x₀ = 0) -x yönünde sabit hızla ilerleyen bir aracın hızı ise yönü nedeniyle -v olarak yazılır; bu durumda -v = -x - 0t ve yer değiştirmesi Δx = -v · t olur. Her iki yön için de hız-zaman grafiğindeki doğrunun eğimi sıfırdır (çünkü hız zamanla değişmez, ivme sıfırdır), konum-zaman grafiğindeki doğrunun eğimi ise sabit olup hareketin hızını (+v veya -v) verir.
| Hareket Yönü ve İlk Konum | Hız Bağıntısı | Yer Değiştirme (Δx) | t Anındaki Konum (x) | x-t Grafiği Eğimi |
|---|---|---|---|---|
| +x yönünde (İlk konum x₀ = 0) | v = x / t | Δx = +v · t | x = +v · t | Pozitif ve sabit (+v) |
| +x yönünde (İlk konum x₀ ≠ 0) | v = (x - x₀) / t | Δx = +v · t | x = x₀ + v · t | Pozitif ve sabit (+v) |
| -x yönünde (İlk konum x₀ = 0) | -v = -x / t | Δx = -v · t | x = -v · t | Negatif ve sabit (-v) |
| -x yönünde (İlk konum x₀ ≠ 0) | -v = (x - x₀) / t | Δx = -v · t | x = x₀ - v · t | Negatif ve sabit (-v) |
Örnekler
Örnek 1Bir üretim hattında 1. taşıyıcı bant üzerindeki koli 4 s’de 12 m, 2. taşıyıcı bant üzerindeki koli ise 6 s’de 24 m yer değiştirmektedir. 1. bandın başından t = 0 anında harekete geçen bir kolinin 0 - 9 s zaman aralığındaki toplam yer değiştirmesi kaç metredir?
Cevabı göster
1. bantta hız büyüklüğü v₁ = 124 = 3 m/s, 2. bantta hız büyüklüğü ise v₂ = 246 = 4 m/s’dir. Koli ilk 4 s boyunca 1. bantta ilerleyerek Δx₁ = 12 m yer değiştirir. Kalan 9 - 4 = 5 s boyunca 2. bantta 4 m/s sabit hızla ilerleyeceğinden Δx₂ = 4 · 5 = 20 m yer değiştirir. Böylece 0 - 9 s aralığındaki toplam yer değiştirme Δx = 12 + 20 = 32 m olur.
Örnek 2Doğrusal bir yolda hareket eden K ve L bisikletlileri t = 0 anında aynı konumda yan yana bulunmaktadır. K bisikletlisi batı (-x) yönünde 5 m/s, L bisikletlisi ise doğu (+x) yönünde 6 m/s sabit hızla hareket ettiğine göre 20 s sonra aralarındaki uzaklık kaç metre olur?
Cevabı göster
Bisikletliler aynı konumdan zıt yönlerde sabit hızlarla uzaklaştıkları için 20 s sonunda K bisikletlisi batıya doğru |Δx_K| = 5 · 20 = 100 m, L bisikletlisi doğuya doğru |Δx_L| = 6 · 20 = 120 m yol alır. Zıt yönlerde gittiklerinden 20 s sonra aralarındaki toplam uzaklık d = 100 + 120 = 220 m (veya doğrudan d = (5 + 6) · 20 = 220 m) bulunur.
Örnek 3Aralarında 480 m mesafe bulunan doğrusal bir yoldaki K ve L noktalarından Ayla 5 m/s, Burak ise 7 m/s sabit süratle aynı anda birbirlerine doğru scooter ile harekete geçiyor. İki arkadaş harekete başladıktan kaç saniye sonra ve K noktasından kaç metre uzakta karşılaşır?
Cevabı göster
Birbirine doğru sabit hızlarla yaklaşan iki hareketlinin hız büyüklükleri toplamı v₁ + v₂ = 5 + 7 = 12 m/s’dir. Aralarındaki 480 m mesafeyi birlikte kapattıklarından karşılaşma süresi t = dv₁ + v₂ = 48012 = 40 s olur. K noktasından 5 m/s hızla çıkan Ayla 40 s boyunca x = 5 · 40 = 200 m ilerleyeceğinden, K noktasından 200 m uzakta karşılaşırlar.
Örnek 4Doğrusal bir pistte t = 0 anında x₀ = 0 konumundan harekete başlayan bir buz patencisi; 0 - 3 s aralığında +24 m konumuna sabit hızla gitmekte, 3 - 5 s aralığında +24 m konumunda durmakta, 5 - 8 s aralığında ise sabit hızla +6 m konumuna geri dönmektedir. Patencinin 0 - 8 s aralığında aldığı toplam yol ve net yer değiştirmesi kaç metredir?
Cevabı göster
1. bölgede (0 - 3 s) yer değiştirme Δx₁ = +24 - 0 = +24 m; 2. bölgede (3 - 5 s) yer değiştirme Δx₂ = 0 m; 3. bölgede (5 - 8 s) yer değiştirme Δx₃ = +6 - 24 = -18 m’dir. Alınan toplam yol her bölgedeki uzunlukların mutlak değerce toplamı olduğundan d = |+24| + |0| + |-18| = 42 m bulunur. Net yer değiştirme ise yalnızca son konum ile ilk konum arasındaki fark olduğundan Δx = x_son - x_ilk = 6 - 0 = +6 m’dir.
Örnek 5t = 0 anında x₀ = -10 m konumunda bulunan bir oyuncak arabanın hız-zaman (v-t) grafiğinde; 0 - 4 s aralığında hızı +8 m/s, 4 - 7 s aralığında hızı 0 m/s, 7 - 10 s aralığında ise hızı -4 m/s olarak verilmiştir. Arabanın t = 4 s, t = 7 s ve t = 10 s anlarındaki konumlarını bulunuz.
Cevabı göster
Hız-zaman grafiğinin alanı yer değiştirmeyi verir: • 0 - 4 s aralığında Δx₁ = (+8) · 4 = +32 m olup t = 4 s anındaki konum x(4) = x₀ + Δx₁ = -10 + 32 = +22 m’dir. • 4 - 7 s aralığında hız sıfır olduğundan Δx₂ = 0 m olup t = 7 s anındaki konum yine x(7) = +22 m kalır. • 7 - 10 s aralığında (Δt₃ = 3 s) Δx₃ = (-4) · 3 = -12 m olup t = 10 s anındaki son konum x(10) = +22 - 12 = +10 m bulunur.
Örnek 6Sabit hızla doğrusal bir rayda hareket eden bir CNC kesim başlığı t = 0 anında x₀ = +45 cm konumundan geçip t = 9 s anında x = -18 cm konumuna ulaşıyor. Kesim başlığının hızını (yönü ve büyüklüğüyle) ve yer değiştirme denklemini yazınız.
Cevabı göster
Kesim başlığının 9 saniyedeki yer değiştirmesi Δx = x_son - x₀ = -18 - (+45) = -63 cm’dir. Sabit hızı v = ΔxΔt = -63 cm9 s = -7 cm/s bulunur (yani -x yönünde 7 cm/s büyüklüğündedir). Herhangi bir t anındaki yer değiştirme modeli Δx = -7 · t ve konum denklemi x(t) = 45 - 7 · t (cm) şeklindedir.
Etkinlikler
Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.
1Bir koşu bandında antrenman yapan sporcu ilk 6 s boyunca 3 m/s, hemen ardından gelen 4 s boyunca ise 6 m/s sabit hızla aynı yönde koşmaktadır. Buna göre sporcunun 0 - 10 s zaman aralığındaki toplam yer değiştirmesi ve ortalama hızının büyüklüğü aşağıdakilerden hangisidir?
İlk 6 s'de Δx₁ = 3 · 6 = 18 m, sonraki 4 s'de Δx₂ = 6 · 4 = 24 m yer değiştirir. Toplam yer değiştirme Δx = 18 + 24 = 42 m ve ortalama hız büyüklüğü v_ort = 42 m / 10 s = 4,2 m/s olur.
2Doğrusal bir yolda aynı konumdan t = 0 anında harekete geçen Ada ve Tuna'dan Ada +x yönünde 4 m/s sabit hızla, Tuna ise +x yönünde 7 m/s sabit hızla koşmaktadır. Harekete başladıktan 15 s sonra Ada ile Tuna arasındaki uzaklık kaç metre olur?
Aynı konumdan aynı yönde sabit hızlarla hareket eden iki cisim arasındaki uzaklık hız farkı ile sürenin çarpımına eşittir: d = (v_Tuna - v_Ada) · t = (7 - 4) · 15 = 3 · 15 = 45 m.
3t = 0 anında x₀ = +15 m konumunda bulunan bir aracın hız-zaman (v-t) grafiği incelendiğinde; 0 - 5 s aralığında hızının -6 m/s, 5 - 9 s aralığında ise hızının +5 m/s olduğu görülüyor. Bu aracın t = 9 s anındaki konumu kaç metredir?
0 - 5 s aralığında yer değiştirme Δx₁ = (-6) · 5 = -30 m, 5 - 9 s (Δt = 4 s) aralığında yer değiştirme Δx₂ = (+5) · 4 = +20 m'dir. Toplam yer değiştirme Δx = -30 + 20 = -10 m olduğundan son konum x_son = x₀ + Δx = +15 + (-10) = +5 m bulunur.
4Doğrusal bir yolda hareket eden bir kargo dronunun konum-zaman (x-t) grafiğinde; 0 - 2 s aralığında +x yönünde eğik bir doğru, 2 - 6 s aralığında zaman eksenine paralel yatay bir doğru, 6 - 10 s aralığında ise -x yönünde eğik bir doğru yer almaktadır. Bu dronun hareketiyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Konum-zaman (x-t) grafiğinde zaman eksenine paralel yatay doğru konumun değişmediğini, yani hızın sıfır (v = 0) olduğunu ve dronun havada asılı kalarak beklediğini gösterir.
5Parçalı sabit hızlı hareketler ve grafik dönüşümleri hakkındaki aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.
- Ortak bir konum-zaman (x-t) grafiğinde iki hareketliye ait doğruların kesiştiği nokta, bu iki hareketlinin aynı anda aynı konumda karşılaştığını gösterir.
Konum-zaman grafiğinde kesişim noktasındaki (t, x) ikilisi her iki cisim için ortak olduğundan karşılaşma anını ve konumunu verir.
- Hız-zaman (v-t) grafiğinin altında kalan alan biliniyorsa, cismin ilk konumu (x₀) bilinmese bile her andaki gerçek konumu kesin olarak bulunabilir.
v-t grafiğinin alanı yalnızca yer değiştirmeyi (Δx) verir; son konum x_son = x₀ + Δx olduğundan ilk konum (x₀) bilinmeden gerçek konum belirlenemez.
- Yön değiştiren bir hareketlinin aldığı toplam yol her zaman net yer değiştirmesinin büyüklüğünden daha fazladır.
Yön değiştiren harekette gidiş ve dönüş mesafeleri alınan yolda toplanırken, yer değiştirmede birbirinden çıkarılır; bu nedenle d > |Δx| olur.
- Bir yolculuk sırasında durakta beklenen süre, yolculuğun tamamı için hesaplanan ortalama hız bağıntısındaki toplam süreye dâhil edilmez.
Ortalama hız ve ortalama sürat hesaplanırken başlangıç ile bitiş anı arasındaki tüm geçen süre (bekleme süreleri dâhil) paydaya yazılır.
- Farklı sabit hızlara sahip iki taşıyıcı banttan oluşan bir sistemde, kolinin hızı arttığında konum-zaman grafiğindeki doğrunun eğimi de artar.
Konum-zaman grafiğinin eğimi hızı verdiğinden, hız büyüklüğü arttığında doğru daha dik hale gelir (eğimi büyür).
- Ortak bir konum-zaman (x-t) grafiğinde iki hareketliye ait doğruların kesiştiği nokta, bu iki hareketlinin aynı anda aynı konumda karşılaştığını gösterir.
6Aşağıdaki grafik özelliklerini veya fiziksel durumları karşılık gelen matematiksel ya da fiziksel anlamlarıyla eşleştiriniz.
Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.
7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri kutudaki uygun kavramlarla tamamlayınız.
- Konum-zaman grafiğinin her bölgedeki hesaplanarak o zaman aralığına ait hız-zaman grafiği çizilir.
- Hız-zaman grafiğinden konum-zaman grafiğine geçebilmek için yer değiştirmenin yanı sıra hareketlinin bilgisinin de verilmesi gerekir.
- Aynı konumdan zıt yönlerde sabit hızlarla uzaklaşan iki cismin birim zamanda aralarındaki mesafe hız büyüklüklerinin kadar artar.
- Bir öğrencinin evi ile okulu arasındaki en kısa doğrusal mesafe yer değiştirme büyüklüğünü verir.
- Konum-zaman grafiğinde eğimin pozitiften negatife geçtiği kırılma noktası hareketlinin anı gösterir.
Önce bütün boşlukları doldurun.
8Doğrusal bir yolda t = 0 anında x₀ = +12 m konumunda bulunan bir robot, 0 - 4 s aralığında +x yönünde 5 m/s sabit hızla ilerlemekte, 4 - 6 s aralığında durmakta ve 6 - 10 s aralığında -x yönünde 8 m/s sabit hızla hareket etmektedir. Robotun her bölge sonundaki konumunu, toplam aldığı yolu ve net yer değiştirmesini adım adım bulunuz.
1. ipucu: 1. Adım: 0 - 4 s aralığındaki yer değiştirmeyi (Δx₁ = +5 · 4) bularak ilk konum x₀ = +12 m ile toplayıp t = 4 s konumunu hesaplayınız.
2. ipucu: 2. Adım: 4 - 6 s aralığında robot durduğu için (v = 0) konumun değişmediğini belirtip, 6 - 10 s (Δt = 4 s) aralığındaki yer değiştirmeyi (Δx₃ = -8 · 4) bularak t = 10 s son konumunu hesaplayınız.
3. ipucu: 3. Adım: Alınan toplam yol için |Δx₁| + |Δx₂| + |Δx₃| toplamını, net yer değiştirme için ise Δx = x_son - x₀ farkını yazınız.
Cevap: 1. Bölge (0 - 4 s): Yer değiştirme Δx₁ = (+5) · 4 = +20 m olup t = 4 s anındaki konum x(4) = 12 + 20 = +32 m’dir. 2. Bölge (4 - 6 s): Robot durduğu için Δx₂ = 0 m ve t = 6 s anındaki konum x(6) = +32 m’dir. 3. Bölge (6 - 10 s): Süre Δt₃ = 4 s ve hız -8 m/s olduğundan yer değiştirme Δx₃ = (-8) · 4 = -32 m olup t = 10 s anındaki son konum x(10) = 32 - 32 = 0 m (başlangıç referans noktası) olur. Robotun aldığı toplam yol d = |+20| + |0| + |-32| = 52 m, net yer değiştirmesi ise Δx_toplam = x_son - x₀ = 0 - 12 = -12 m’dir.
Kısaca
- Farklı hız bölgelerine sahip parçalı sabit hızlı hareketlerde (örneğin ardışık iki taşıyıcı bant veya kademeli koşu bandı), her zaman aralığının hızı o aralığın yer değiştirmesinin süresine oranıyla (v = Δx / Δt) ayrı ayrı bulunur; konum-zaman grafiğinin eğimi hızın değiştiği anda kırılma gösterir.
- Çok bölmeli bir konum-zaman (x-t) grafiğinde yukarı doğru eğik doğru +x yönünde sabit hızlı hareketi, yatay doğru durma (bekleme, v = 0) durumunu, aşağı doğru eğik doğru ise -x yönünde sabit hızlı hareketi temsil eder.
- Yön değiştiren veya duraklayan hareketlilerde alınan toplam yol her bölgedeki yer değiştirme büyüklüklerinin mutlak değerce toplamına (d = |Δx₁| + |Δx₂| + ...), net yer değiştirme ise yalnızca son konum ile ilk konum arasındaki vektörel farka (Δx = x_son - x_ilk) eşittir.
- Aynı anda aynı konumdan zıt yönlerde v₁ ve v₂ sabit süratleriyle uzaklaşan iki hareketlinin t süre sonra aralarındaki uzaklık d = (v₁ + v₂) · t bağıntısıyla bulunur; birbirine doğru hareket eden iki cismin karşılaşma süresi ise t = d / (v₁ + v₂) eşitliğiyle hesaplanır.
- Aynı konumdan aynı yönde farklı sabit hızlarla (v₂ > v₁) harekete geçen iki cisim arasındaki uzaklık her saniye hız farkı kadar artar ve t süre sonunda d = (v₂ - v₁) · t olur.
- Konum-zaman (x-t) grafiğinin her bölgedeki eğimi hız-zaman (v-t) grafiğinin değerini verirken, hız-zaman (v-t) grafiğinin zaman ekseniyle sınırladığı alan yer değiştirmeyi (Δx) verir ve son konum x_son = x₀ + Δx bağıntısıyla bulunur.