İçeriğe geç

10. sınıf · Fizik · 6. hafta (19-23 Ekim 2026)

Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket: Matematiksel Modeller ve Problem Çözümleri

KUVVET VE HAREKET teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçtiğimiz hafta bir boyutta sabit ivmeli hareket eden araçların konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zaman grafiklerini çizmeyi ve birbirine dönüştürmeyi öğrenmiştik. Bu hafta ise bu grafiklerin eğim ve alan özelliklerinden yararlanarak hareketin üç temel matematiksel modelini (hız denklemi, yer değiştirme denklemi ve zamansız hız denklemi) elde edecek ve günlük hayattaki hızlanma ile fren (durma) mesafesi problemlerini çözeceğiz.

1. Hareket Grafiklerinden Matematiksel Modellere Geçiş

Yatay ve doğrusal bir yolda t = 0 anında ilk hızı v₀ olan ve sabit a ivmesiyle düzgün hızlanan bir hareketli düşünelim: 1. Hız-Zaman Denklemi: İvme-zaman (a-t) grafiğinin zaman ekseni ile arasında kalan dikdörtgenin alanı hız değişimini (Δv = v - v₀ = a.t) verir. Buradan hareketlinin herhangi bir t anındaki hızı v = v₀ + a.t bağıntısıyla bulunur. Eğer araç durgun halden (v₀ = 0) harekete geçmişse denklem v = a.t olur.

2. Yer Değiştirme (Konum) Denklemi: Hız-zaman (v-t) grafiğinin altındaki yamuk alanı yer değiştirmeyi (Δx) verir. Bu yamuğu tabanı v₀ olan bir dikdörtgen (alanı = v₀.t) ve yüksekliği a.t olan bir dik üçgen (alanı = 12.t.(a.t) = 12.a.t2) olarak ikiye ayırdığımızda toplam yer değiştirme Δx = v₀.t + 12.a.t2 bulunur. İlk hız sıfırsa (v₀ = 0) yer değiştirme doğrudan Δx = 12.a.t2 olur.

Sabit İvmeli Hareket Grafiklerinden Matematiksel Modellere Geçiş1. Hız-Zaman Denklemi• İvme-zaman (a-t) grafiğinin altındaki alan Δv = a.t verir• v = v₀ + a.t (Hızlanan)• v = v₀ - a.t (Yavaşlayan)• İlk hız sıfırsa: v = a.t2. Konum-Zaman Denklemi• Hız-zaman (v-t) grafiğinin altındaki yamuk alanı Δx verir• Δx = ((v₀ + v) / 2) . t• Δx = v₀.t + (1/2).a.t²• İlk hız sıfırsa: Δx = (1/2).a.t²3. Zamansız Hız Denklemi• t = (v - v₀) / a ifadesi Δx denkleminde yerine konursa:• v² = v₀² + 2.a.Δx (Hızlanan)• v² = v₀² - 2.a.Δx (Yavaşlayan)• Zaman verilmediğinde kullanılır

2. Zamansız Hız Denklemi

Birçok fizik probleminde hareketlinin ilk hızı (v₀), son hızı (v), ivmesi (a) ve yer değiştirmesi (Δx) arasındaki ilişki sorulur ancak geçen süre (t) verilmez. Hız denkleminden çekilen t = v - v₀a ifadesi, Δx = (v + v₀2) . t denkleminde yerine yazıldığında: Δx = (v + v₀2) . (v - v₀a) = v2 - v₀22.a elde edilir.

İçler dışlar çarpımı yapıldığında Zamansız Hız Denklemi ortaya çıkar: • Düzgün hızlanan harekette: v2 = v₀2 + 2.a.Δx • Düzgün yavaşlayan harekette: v2 = v₀2 - 2.a.Δx • İlk hızsız (v₀ = 0) hızlanan harekette: v2 = 2.a.Δx

İlk Hızsız Düzgün Hızlanan Hareket: Ardışık Zamanlarda Alınan Yollar (x - 3x - 5x)Toplam Yer Değiştirme (t² ile Orantılı)• 0 - t aralığında toplam yol: x = (1/2).a.t²• 0 - 2t aralığında toplam yol: 4x = (1/2).a.(2t)²• 0 - 3t aralığında toplam yol: 9x = (1/2).a.(3t)²• 0 - 4t aralığında toplam yol: 16x = (1/2).a.(4t)²• Konum zamanın karesiyle (1 - 4 - 9 - 16) artarHer Saniye İçinde Alınan Yol (Tek Sayılar)• 1. t süresinde (0 - t): Δx₁ = x• 2. t süresinde (t - 2t): Δx₂ = 3x• 3. t süresinde (2t - 3t): Δx₃ = 5x• 4. t süresinde (3t - 4t): Δx₄ = 7x• Ardışık eşit sürelerde yollar x, 3x, 5x, 7x... gider

3. İlk Hızsız Düzgün Hızlanan Harekette Oranlar (x - 3x - 5x Kuralı)

Başlangıçta durgun (v₀ = 0) olan ve sabit a ivmesiyle hızlanan bir cismin hızı zamanla doğru orantılı (v, 2v, 3v, 4v...), başlangıç noktasına olan uzaklığı (toplam yer değiştirmesi) ise zamanın karesiyle (t2) doğru orantılı olarak artar: • t anında hız v, toplam konum x = 12.a.t2 • 2t anında hız 2v, toplam konum 4x = 12.a.(2t)2 • 3t anında hız 3v, toplam konum 9x = 12.a.(3t)2 • 4t anında hız 4v, toplam konum 16x = 12.a.(4t)2

Buna göre cismin ardışık eşit zaman aralıklarında (her bir t süresinde) aldığı yollar ardışık tek sayılarla orantılıdır: • 1. zaman aralığında (0 - t): x • 2. zaman aralığında (t - 2t): 4x - x = 3x • 3. zaman aralığında (2t - 3t): 9x - 4x = 5x • 4. zaman aralığında (3t - 4t): 16x - 9x = 7x

Düzgün Yavaşlayan Hareket ve Fren (Durma) Mesafesi AnaliziDüzgün Yavaşlayıp Duran Araç (v_son = 0)• Hız ile ivme vektörleri ZIT yönlüdür• Durma süresi: t_durma = v₀ / a• Ortalama hız: v_ort = v₀ / 2• Durma mesafesi: Δx_durma = v₀² / (2.a)• İlk hız 2 katına çıkarsa durma mesafesi 4 katına çıkar!Trafik Güvenliği ve Takip Mesafesi• Sürücünün tehlikeyi görüp frene basma süresi: İntikal (Tepki) Süresi (Sabit hızla yol alır)• Toplam Durma Mesafesi = Tepki Mesafesi + Fren Mesafesi• Yağışlı ve buzlu zeminde ivme (a) küçüldüğü için fren mesafesi uzar

4. Düzgün Yavaşlayan Hareket ve Fren (Durma) Mesafesi

Doğrusal bir yolda v₀ hızıyla ilerleyen bir sürücü frene basarak sabit a yavaşlama ivmesiyle aracı tamamen durdurduğunda son hız v = 0 olur. • Durma süresi: v = v₀ - a.t_durma = 0 => t_durma = v₀a • Durma (Fren) mesafesi: v2 = v₀2 - 2.a.Δx_durma => 0 = v₀2 - 2.a.Δx_durma => Δx_durma = v₀22.a

Bu matematiksel model trafik güvenliği açısından hayati bir gerçeği ortaya koyar: Aynı yolda ve aynı fren ivmesiyle (a sabit) hareket eden bir aracın hızı 2 katına çıkarsa (2v₀), durma süresi 2 katına çıkarken fren mesafesi 4 katına (22 = 4) çıkar! Hızı 3 katına çıkarsa fren mesafesi 9 katına çıkar.

5. İki Aracın Karşılaşma, Yetişme ve Çarpışmama Problemleri

Aynı doğrusal yolda hareket eden iki aracın birbirine yetişmesi veya karşılaşması sorularında, iki aracın konum-zaman denklemleri ortak çözülür veya hız-zaman grafiklerinin altındaki alan farkından yararlanılır.

Özellikle öndeki daha yavaş (v₂ sabit hızlı) bir araca arkadan daha hızlı (v₁ > v₂) gelen bir aracın çarpmaması için gereken en küçük yavaşlama ivmesi sorularında; arkadaki aracın hızı öndeki aracın hızına (v₁ -> v₂) düştüğü anda aralarındaki mesafe kapanmış olur. Bu durumda hız-zaman grafiğinde iki aracın hız doğruları arasında kalan üçgenin alanı başlangıçtaki mesafeye (d) eşitlenir: d = (v₁ - v₂) . t2.

Konum-Zaman (x-t) Parabolleri: ”Genç K” ve ”Yaşlı K” KuralıDüzgün Hızlanan (Eğim Artar - Dikleşir)• Grafik kolları düşey eksene yaklaşır (Genç K)• (+x) yönünde hızlanan: Yukarı doğru dikleşen eğri• (-x) yönünde hızlanan: Aşağı doğru dikleşen eğri• Hız ve ivme vektörleri AYNI işaretlidirDüzgün Yavaşlayan (Eğim Azalır - Yataylaşır)• Grafik kolları zaman eksenine paralel olur (Yaşlı K)• (+x) yönünde yavaşlayan: Yukarı çıkarken boynu bükülen• (-x) yönünde yavaşlayan: Aşağı inerken yataylaşan• Hız ve ivme vektörleri ZIT işaretlidir

6. İvme ve Hız Vektörlerinin İşaret Analizi

Bir boyutta sabit ivmeli harekette aracın hızlanıp yavaşladığına yalnızca ivmenin (+) veya (-) işaretine bakılarak karar verilemez; hız vektörü (v) ile ivme vektörünün (a) yönlerine birlikte bakılır: • Hız ve ivme aynı yönlü (aynı işaretli) ise araç düzgün hızlanır: (+x yönünde hızlanan: v > 0 ve a > 0; -x yönünde hızlanan: v < 0 ve a < 0).

• Hız ve ivme zıt yönlü (zıt işaretli) ise araç düzgün yavaşlar: (+x yönünde yavaşlayan: v > 0 ve a < 0; -x yönünde yavaşlayan: v < 0 ve a > 0).

Örnekler

  1. Örnek 1Durgun halden (v₀ = 0) sabit 4 m/s2 ivmeyle harekete geçen bir otomobilin 5. saniye sonundaki hızını ve 0-5 s aralığında aldığı toplam yolu hesaplayınız.

    Cevabı göster

    • 5. saniye sonundaki hızı: v = a . t = 4 . 5 = 20 m/s. • 0-5 s aralığında aldığı toplam yol: Δx = 12 . a . t2 = 12 . 4 . 52 = 2 . 25 = 50 m (veya ortalama hızdan Δx = (0 + 202) . 5 = 50 m).

  2. Örnek 2Doğrusal bir yolda 10 m/s ilk hızla gitmekte olan bir araç, sabit 3 m/s2 ivmeyle 4 saniye boyunca düzgün hızlanıyor. Aracın son hızını ve bu süredeki yer değiştirmesini bulunuz.

    Cevabı göster

    • Son hız: v = v₀ + a . t = 10 + 3 . 4 = 22 m/s. • Yer değiştirme: Δx = v₀.t + 12.a.t2 = 10 . 4 + 12 . 3 . 42 = 40 + 24 = 64 m (veya Δx = (10 + 222) . 4 = 16 . 4 = 64 m).

  3. Örnek 3Yatay bir yolda 30 m/s hızla ilerleyen bir tren, frene basarak 5 m/s2 sabit ivmeyle düzgün yavaşlayıp duruyor. Trenin durma süresini ve duruncaya kadar aldığı yolu (fren mesafesini) bulunuz.

    Cevabı göster

    • Durma süresi: v = v₀ - a . t = 0 => 30 - 5 . t = 0 => t = 6 s. • Fren mesafesi: v2 = v₀2 - 2.a.Δx => 0 = 302 - 2 . 5 . Δx => 10 . Δx = 900 => Δx = 90 m.

  4. Örnek 4İlk hızı 8 m/s olan bir cisim sabit 3 m/s2 ivmeyle hızlanarak 32 metre yol aldığında son hızı kaç m/s olur?

    Cevabı göster

    Zaman verilmediği için zamansız hız denklemi kullanılır: v2 = v₀2 + 2 . a . Δx = 82 + 2 . 3 . 32 = 64 + 192 = 256 => v = 16 m/s bulunur.

  5. Örnek 5Durgun halden sabit ivmeyle harekete geçen bir cisim hareketinin 1. saniyesinde 6 metre yol aldığına göre, yalnız 4. saniye içinde (3 s - 4 s arasında) kaç metre yol alır?

    Cevabı göster

    İlk hızsız sabit ivmeli harekette ardışık saniyelerde alınan yollar x, 3x, 5x, 7x... şeklindedir. 1. saniyede alınan yol x = 6 m olduğuna göre, yalnız 4. saniye içinde alınan yol 7x = 7 . 6 = 42 m olur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Durgun halden sabit 6 m/s2 ivmeyle harekete geçen bir aracın 4 saniye sonunda aldığı toplam yol kaç metredir?

  2. 2Doğrusal bir yolda 20 m/s hızla giderken frene basıp sabit ivmeyle yavaşlayarak 50 metre sonunda duran bir aracın yavaşlama ivmesinin büyüklüğü kaç m/s2dir?

  3. 3Aynı yolda v hızıyla giderken frene basıldığında en az d mesafesinde durabilen bir otomobil, aynı yolda 3v hızıyla giderken aynı fren ivmesiyle yavaşlarsa en az kaç d mesafesinde durabilir?

  4. 4Durgun halden sabit ivmeyle harekete geçen bir cismin 0-t aralığında aldığı yol x₁, 0-3t aralığında aldığı toplam yol ise x₂’dir. Buna göre x₁ / x₂ oranı kaçtır?

  5. 5İlk hızı 6 m/s olan bir hareketli sabit ivmeyle düzgün hızlanarak 5 saniye sonra hızını 24 m/s değerine çıkarıyor. Bu hareketlinin 5 saniyede yaptığı yer değiştirme kaç metredir?

  6. 6Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Hız-zaman (v-t) grafiğinin zaman ekseni ile arasında kalan alan hareketlinin yer değiştirmesini (Δx) verir.
    • Negatif (-x) yönde hareket eden bir aracın ivmesi de negatif (-) işaretli ise araç düzgün yavaşlamaktadır.
    • Durgun halden sabit ivmeyle hızlanan bir araç ardışık eşit zaman aralıklarında x, 3x, 5x, 7x... şeklinde yollar alır.
    • Sabit ivmeli harekette konum-zaman (x-t) grafiği doğrusal bir çizgidir.
    • Zamansız hız denklemi v² = v₀² ± 2.a.Δx şeklinde ifade edilir.

  7. 7Aşağıdaki matematiksel modelleri ve grafik özelliklerini karşılıklarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  8. 8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. İvme-zaman (a-t) grafiğinin altındaki alan hareketlinin değişimini (Δv) verir.
    2. Bir aracın düzgün yavaşlayabilmesi için hız vektörü ile ivme vektörünün yönlü olması gerekir.
    3. Sabit ivmeli harekette konum-zaman grafiğinin eğimi zamanla dikleşiyorsa araç hareket yapmaktadır.
    4. Sürücünün tehlikeyi görüp frene basıncaya kadar geçen süreye (intikal) süresi denir.
    5. İlk hızı sıfır olan sabit ivmeli bir hareketlinin yer değiştirmesi zamanın ile doğru orantılıdır.

  9. 9Doğrusal bir yolda 36 m/s hızla ilerleyen bir otomobilin sürücüsü, ilerideki engeli fark ettikten 0,5 saniye sonra (tepki süresi) frene basıyor ve araç 6 m/s2 sabit ivmeyle yavaşlayarak duruyor. Aracın toplam durma mesafesini adım adım hesaplayınız.

Kısaca

  • Hız-Zaman Matematiksel Modeli: İvme-zaman grafiğinin altındaki alan hız değişimini (Δv = a.t) verir; buradan t anındaki hız v = v₀ + a.t (hızlanan) veya v = v₀ - a.t (yavaşlayan) olarak bulunur.
  • Yer Değiştirme (Konum) Modeli: Hız-zaman grafiğinin altındaki yamuk alanı yer değiştirmeyi verir: Δx = v₀.t + 12.a.t2 (hızlanan) veya Δx = v₀.t - 12.a.t2 (yavaşlayan).
  • Zamansız Hız Denklemi: Zamanın (t) bilinmediği durumlarda hız ve yer değiştirme denklemlerinin ortak çözümünden v2 = v₀2 + 2.a.Δx (hızlanan) ve v2 = v₀2 - 2.a.Δx (yavaşlayan) bağıntısı elde edilir.
  • İlk Hızsız Harekette x - 3x - 5x Kuralı: Durgun halden (v₀ = 0) sabit ivmeyle harekete geçen bir cisim, ardışık eşit zaman aralıklarında x, 3x, 5x, 7x... şeklinde tek sayılarla orantılı yollar alır; toplam yer değiştirmesi ise x, 4x, 9x, 16x... (t2 ile orantılı) olur.
  • Ortalama Hız Formülü: Sabit ivmeli harekette ivme sabit olduğu için ortalama hız, ilk hız ile son hızın aritmetik ortalamasına eşittir: v_ort = v₀ + v2 ve Δx = v_ort . t.
  • Fren (Durma) Mesafesi: v₀ hızıyla giderken a ivmesiyle yavaşlayıp duran (v = 0) bir aracın durma mesafesi Δx_durma = v₀22.a olup ilk hızın karesiyle doğru orantılıdır.

Bu dersin öteki kaynakları