İçeriğe geç

10. sınıf · Fizik · 5. hafta (12-16 Ekim 2026)

Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket: Hareket Grafiklerinin Birbirine Dönüştürülmesi ve Matematiksel Modeller

KUVVET VE HAREKET teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Piste teker koyup fren yapan bir uçağın kaç saniyede ve kaç metrede duracağını hesaplamak ya da yeşil ışık yandığında harekete geçen bir elektrikli trenin konumunu zamana bağlı olarak öngörmek, hareket grafiklerinin dilini okumaktan geçer. Önceki haftalarda sabit ivmeli hareketin temel kavramlarını ve grafiklerini tanımıştık. Bu hafta ise konum-zaman (x-t), hız-zaman (v-t) ve ivme-zaman (a-t) grafiklerini eğim ve grafik altı alan köprüleriyle birbirine dönüştürmeyi ve grafiklerin altındaki geometrik bölgelerden sabit ivmeli hareketin evrensel matematiksel denklemlerini türetmeyi öğreneceğiz.

Hareket Grafikleri Arasındaki Dönüşüm Köprüsü: Eğim ve Alan

Bir boyutta sabit ivmeli hareketi tanımlayan üç temel büyüklük olan konum (x), hız (v) ve ivme (a) zamana bağlı grafiklerle ifade edildiğinde, bu üç grafik birbirinden bağımsız değildir; aralarında çift yönlü kusursuz bir matematiksel köprü vardır. Grafik sıralamasını soldan sağa doğru x-t -> v-t -> a-t şeklinde yazdığımızda, sağa doğru her adımda grafiğin eğimi alınır. Yani konum-zaman grafiğinin eğimi hızı, hız-zaman grafiğinin eğimi ise ivmeyi verir. Ters yönde, yani sağdan sola doğru a-t -> v-t -> x-t geçişi yapılırken ise grafik ile yatay zaman ekseni (t) arasında kalan cebirsel alan hesaplanır. İvme-zaman grafiğinin altındaki alan hız değişimini (Delta_v), hız-zaman grafiğinin altındaki alan ise yer değiştirmeyi (Delta_x) verir. Zaman ekseninin üstündeki alanlar pozitif (+), altındaki alanlar ise negatif (-) işaretli alınır.

Sabit İvmeli Harekette Grafik Dönüşümleri: Eğim ve Alan Kuralları (FİZ.10.1.3)Eğim (Türev / Değişim Oranı) İlişkisi• Konum-Zaman (x-t) grafiğinin EĞİMİ -> Anlık Hızı (v) verir.• Hız-Zaman (v-t) grafiğinin EĞİMİ -> İvmeyi (a = Δv / Δt) verir.• Merdiven Kuralı: x -> v -> a yönünde giderken grafiğin EĞİMİ alınır!Alan (Birikim) İlişkisi• İvme-Zaman (a-t) grafiğinin zaman ekseniyle arasındaki ALAN -> Hız Değişimini (Δv) verir.• Hız-Zaman (v-t) grafiğinin zaman ekseniyle arasındaki ALAN -> Yer Değiştirmeyi (Δx) verir.• Merdiven Kuralı: a -> v -> x yönünde giderken grafiğin ALANI alınır!

Hız-Zaman (v-t) Grafiğinden İvme-Zaman (a-t) ve Konum-Zaman (x-t) Grafiğine Geçiş

Hareket problemlerinin çözümünde en merkezi grafik hız-zaman (v-t) grafiğidir; çünkü hem eğimiyle ivmeyi hem de alanıyla yer değiştirmeyi aynı anda sunar. Sabit ivmeli harekette hız birim zamanda düzgün değiştiği için v-t grafiği eğimli bir doğru parçasıdır. Bu doğrunun eğimi tan(alfa) = (v - v0) / t = a (ivme) değerini verir. Eğim sabitse a-t grafiği zaman eksenine paralel yatay bir doğru olur; doğru yukarı yönlüyse ivme pozitif (+a), aşağı yönlüyse ivme negatif (-a) değer alır. v-t grafiğinin zaman ekseniyle sınırladığı bölgenin alanı hesaplanırken; zaman ekseninin üstündeki alan pozitif yönde yer değiştirmeyi (+Delta_x), altındaki alan ise negatif yönde yer değiştirmeyi (-Delta_x) gösterir. Bir hareketlinin yön değiştirdiği an, hızın işaret değiştirdiği yani v-t grafiğinin zaman eksenini (v = 0) delip geçtiği andır.

Hız-Zaman (v-t) Grafiğinden Matematiksel Modellere Ulaşma1. Hız Denklemi• v-t grafiğinin eğimi sabit ivmeyi (a) verir: a = (v - v0) / t• Buradan son hız modeli: v = v0 + a · t• Yavaşlamada: v = v0 - a · t2. Konum / Yer Değiştirme• v-t grafiğinin altındaki yamuk alanı Δx'i verir: Δx = v0·t + (1/2)·a·t²• İlk hızsız (v0 = 0) ise: Δx = (1/2) · a · t²• Ortalama hız: vort = (v0+v)/23. Zamansız Hız Denklemi• t = (v - v0)/a ifadesi Δx = ((v+v0)/2)·t içinde yerine yazılırsa: v² = v0² + 2 · a · Δx• Yavaşlayan harekette: v² = v0² - 2 · a · Δx

Konum-Zaman (x-t) Grafiğinde Parabolik Eğriler ve Eğim Analizi

Sabit hızlı harekette konum zamanla doğrusal değişirken, sabit ivmeli harekette hız sürekli değiştiği için eşit zaman aralıklarında alınan yollar da değişir. Bu nedenle sabit ivmeli hareketin konum-zaman (x-t) grafiği doğrusal değil, ikinci dereceden parabolik bir eğridir. Bir eğrinin eğimi, o eğriye çizilen teğet doğrusunun dikey eksenle veya yatay eksenle yaptığı açıyla incelenir. x-t grafiğinde eğrinin eğimi zamanla dikleşiyorsa (kolları yukarı veya aşağı doğru dikleşen parabol, halk arasında Genç K harfi kolları gibi), hızın büyüklüğü artıyor demektir ve cisim hızlanan hareket yapmaktadır. Eğer eğrinin eğimi zamanla yataylaşıyorsa (tepesi veya çukuru düzleşen parabol, Yaşlı K harfi kolları gibi), hızın büyüklüğü sıfıra yaklaşıyor demektir ve cisim yavaşlayan hareket yapmaktadır. x-t grafiğinde eğrinin tepe veya çukur yaparak geri döndüğü (eğimin sıfır olduğu) nokta, cismin anlık olarak durup yön değiştirdiği andır.

Konum-Zaman (x-t) Grafiğinde Parabol Kollarının Yorumu (Genç K - Yaşlı K)Hızlanan Hareket (Eğim Mutlakça Artar)• x-t grafiğinde parabolün eğimi zamanla dikleşiyorsa cisim HIZLANMAKTADIR.• Pozitif yönde hızlanan: Yukarı doğru dikleşen eğri.• Negatif yönde hızlanan: Aşağı doğru dikleşen eğri.• Hız vektörü (v) ile ivme vektörü (a) AYNI YÖNLÜDÜR.Yavaşlayan Hareket (Eğim Mutlakça Azalır)• x-t grafiğinde parabolün eğimi zamanla yataylaşıyorsa cisim YAVAŞLAMAKTADIR.• Pozitif yönde yavaşlayan: Yukarı çıkarken yataylaşan.• Negatif yönde yavaşlayan: Aşağı inerken yataylaşan.• Hız vektörü (v) ile ivme vektörü (a) ZIT YÖNLÜDÜR.

Grafik Alanından Matematiksel Modellere: Hız ve Konum Denklemlerinin Türetilmesi

Sabit ivmeli hareketin matematiksel formülleri ezberlenmesi gereken bağımsız kurallar değil, doğrudan v-t ve a-t grafiklerinin geometrisinden çıkan sonuçlardır. İlk hızı v0 olan ve sabit a ivmesiyle t süre hızlanan bir cismin a-t grafiğinin altındaki dikdörtgen alanı Delta_v = a . t hız değişimini verir. Buradan v - v0 = a . t ve birinci temel denklemimiz olan v = v0 + a . t (Zamana Bağlı Hız Denklemi) elde edilir. Aynı hareketin v-t grafiğinin altındaki yamuk alanı ise toplam yer değiştirmeyi (Delta_x) verir. Bu yamuk alanı, altta yüksekliği v0 ve tabanı t olan bir dikdörtgen (Alan_1 = v0 . t) ile üstte tabanı t ve yüksekliği (v - v0) = a . t olan bir dik üçgene (Alan_2 = (1/2) . t . (a . t) = (1/2) . a . t²) ayrılır. İki alan toplandığında ikinci temel denklemimiz olan Delta_x = v0 . t + (1/2) . a . t² (Zamana Bağlı Yer Değiştirme Denklemi) doğrudan kanıtlanmış olur.

Zamansız Hız Denklemi ve Ardışık Zaman Aralıklarında x, 3x, 5x Özelliği

Bazı fizik problemlerinde hareketin süresi (t) verilmez ve sorulmaz; yalnızca ilk hız (v0), son hız (v), ivme (a) ve yer değiştirme (Delta_x) arasındaki ilişki incelenir. Birinci denklemimizden çekilen t = (v - v0) / a ifadesini ortalama hız yer değiştirme bağıntısı olan Delta_x = ((v + v0) / 2) . t içinde yerine koyduğumuzda iki kare farkı özdeşliğinden üçüncü temel modelimiz olan v² = v0² + 2 . a . Delta_x (Zamansız Hız Denklemi) elde edilir. Yavaşlayan harekette ivme hızla zıt yönlü olduğundan formüldeki işaret eksi (-2 . a . Delta_x) olarak uygulanır. İlk hızsız (v0 = 0) sabit ivmeyle harekete başlayan bir cismin hızı her t sürede v, 2v, 3v, 4v şeklinde artar. v-t grafiğinde her t zaman aralığındaki üçgen ve yamuk alanları hesaplandığında, ardışık eşit zaman dilimlerinde yapılan yer değiştirmelerin x, 3x, 5x, 7x, ... şeklinde tek sayıların katları olarak arttığı görülür (burada ilk t sürede alınan yol x = (1/2) . a . t² değeridir).

Grafik Okurken Yön Değiştirme Anlarının Tespiti ve Tek Zaman DilimiCisim Ne Zaman Yön Değiştirir?• Konum-Zaman (x-t) grafiğinde: Grafiğin TEPE veya ÇUKUR (dönüm) noktalarında yön değiştirir!• Hız-Zaman (v-t) grafiğinde: Grafiğin ZAMAN EKSENİNİ KESTİĞİ (+ bölgesinden - bölgesine veya -'den +'ya geçtiği) anda yön değiştirir!Ardışık Eşit Zamanlarda Yol Oranı (x - 3x - 5x)• İlk hızsız (v0 = 0) sabit ivmeyle hızlanan cisim her t süresinde sırasıyla: x, 3x, 5x, 7x, 9x ... kadar yer değiştirir.• Toplam konumları ise t² ile orantılı olarak x, 4x, 9x, 16x, 25x ... şeklinde artar.

Sabit İvmeli Hareket Modellerinin Günlük Yaşam ve Ulaşım Uygulamaları

Sabit ivmeli hareket grafiklerinin dönüşümü ve matematiksel modelleri; trafik güvenliği uzmanlığından raylı sistem sinyalizasyonuna, asansör kontrol sistemlerinden havacılıkta pist uzunluğu tasarımına kadar pek çok alanda hayati rol oynar. Örneğin bir otoyolda takip mesafesi kuralları belirlenirken sürücünün intikal (tepki) süresi boyunca aracın sabit hızla aldığı yol ile frene basıldıktan sonra sabit ivmeyle yavaşlayarak aldığı fren mesafesi v-t grafiğinin altındaki alanla birlikte modellenir. Benzer biçimde iki istasyon arasında hareket eden bir metro treninin önce sabit ivmeyle hızlanması, bir süre sabit hızla gitmesi ve istasyona yaklaşırken sabit ivmeyle yavaşlayıp durması üç parçalı bir yamuk v-t grafiği oluşturur; bu grafiğin toplam alanı iki istasyon arasındaki mesafeyi, eğimleri ise yolcu konforunu bozmayacak maksimum ivme sınırlarını belirler.

Örnekler

  1. Örnek 1Doğrusal bir yolda ilk hızı 6 m/s olan bir araç, 4 m/s² sabit ivme ile 5 saniye boyunca hızlanıyor. Aracın 5. saniye sonundaki hızını (v) ve bu sürede yaptığı yer değiştirmeyi (Delta_x) bulunuz.

    Cevabı göster

    Verilenler: v0 = 6 m/s, a = 4 m/s², t = 5 s. 1) Zamana bağlı hız denkleminden son hız: v = v0 + a . t = 6 + 4 . 5 = 6 + 20 = 26 m/s. 2) Zamana bağlı yer değiştirme denkleminden (veya v-t grafiği yamuk alanından): Delta_x = v0 . t + (1/2) . a . t² = 6 . 5 + (1/2) . 4 . (5)² = 30 + 2 . 25 = 80 m. (Alternatif: Delta_x = ((v0 + v) / 2) . t = ((6 + 26) / 2) . 5 = 16 . 5 = 80 m.)

  2. Örnek 2Doğrusal bir yolda 30 m/s sabit hızla ilerleyen bir sürücü, kırmızı ışığı görerek frene basıyor ve 5 m/s² büyüklüğünde sabit ivmeyle yavaşlayarak duruyor. Aracın durana kadar geçen süresini ve fren mesafesini hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Verilenler: v0 = 30 m/s, v_son = 0, yavaşlama ivmesi a = -5 m/s². 1) Durma süresi: v = v0 + a . t => 0 = 30 - 5 . t => t = 6 s. 2) Fren mesafesi (Zamansız hız denkleminden veya ortalama hızdan): v² = v0² - 2 . a . Delta_x => 0 = (30)² - 2 . 5 . Delta_x => 900 = 10 . Delta_x => Delta_x = 90 m bulunur.

  3. Örnek 3t = 0 anında x0 = -15 m konumunda bulunan ve ilk hızı v0 = 4 m/s olan bir hareketlinin ivme-zaman (a-t) grafiği, 0-4 s aralığında sabit a = +3 m/s² değerini göstermektedir. Hareketlinin t = 4 s anındaki hızı ve konumu nedir?

    Cevabı göster

    a-t grafiğinin altındaki alan hız değişimini verir: Delta_v = a . t = 3 . 4 = +12 m/s. Son hız: v = v0 + Delta_v = 4 + 12 = 16 m/s. 0-4 s aralığında yer değiştirme: Delta_x = ((v0 + v) / 2) . t = ((4 + 16) / 2) . 4 = 10 . 4 = +40 m. Son konum: x = x0 + Delta_x = -15 + 40 = +25 m konumudur.

  4. Örnek 4Duruştan (v0 = 0) sabit ivmeyle harekete geçen bir cisim ilk 2 saniyede 12 metre yol alıyor. Cismin ivmesi kaç m/s²'dir ve 2. saniye ile 4. saniye arasında kaç metre yol alır?

    Cevabı göster

    İlk hızsız harekette Delta_x = (1/2) . a . t² bağıntısı kullanılır: 12 = (1/2) . a . (2)² => 12 = 2 . a => a = 6 m/s² bulunur. Ardışık eşit zaman aralıklarında (her 2 saniyede) alınan yollar x ve 3x oranındadır. İlk 2 saniyede alınan yol x = 12 m olduğuna göre, 2. ile 4. saniye arasındaki ikinci 2 saniyelik dilimde alınan yol 3x = 3 . 12 = 36 m olur.

  5. Örnek 5Bir hareketlinin hız-zaman (v-t) grafiğinde hızı t = 0 anında -12 m/s iken düzgün değişerek t = 3 s anında 0 olmakta, aynı eğimle devam ederek t = 5 s anında +8 m/s değerine ulaşmaktadır. Bu hareketlinin 0-5 s aralığındaki ivmesini, yön değiştirdiği anı ve toplam yer değiştirmesini bulunuz.

    Cevabı göster

    1) İvme (v-t grafiğinin eğimi): a = (0 - (-12)) / 3 = +4 m/s² (0-5 s boyunca sabittir). 2) Yön değiştirme anı: Hızın negatiften pozitife geçtiği t = 3 s anıdır. 3) Yer değiştirme (Cebirsel alan): 0-3 s aralığında zaman ekseninin altındaki üçgen alanı: Delta_x1 = (-12 . 3) / 2 = -18 m. 3-5 s aralığında (2 s süre) zaman ekseninin üstündeki üçgen alanı: Delta_x2 = (+8 . 2) / 2 = +8 m. Toplam yer değiştirme: Delta_x = -18 + 8 = -10 m (başlangıca göre negatif yönde 10 m).

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Doğrusal bir yolda sabit ivmeli hareket yapan bir cismin hız-zaman (v-t) grafiğinin eğimi ve grafik ile zaman ekseni arasındaki alan sırasıyla hangi fiziksel büyüklükleri verir?

  2. 2Doğrusal bir yolda v hızıyla gitmekte olan bir otomobil, sabit ivmeyle fren yaparak d kadar mesafede durabilmektedir. Aynı otomobil aynı yolda 3v hızıyla giderken aynı fren ivmesiyle yavaşlarsa kaç d mesafede durur?

  3. 3Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • İvme-zaman (a-t) grafiği bilinen bir hareketlinin ilk hızı bilinmese bile herhangi bir t anındaki son hızı kesin olarak hesaplanabilir.
    • Negatif yönde (-x yönünde) hareket eden bir aracın hızlanması için ivmesinin işareti de negatif (-a) olmalıdır.

  4. 4Sabit ivmeli harekete ait grafik özelliklerini ve matematiksel modelleri doğru karşılıklarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  5. 5Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Hız-zaman (v-t) grafiğinde hız doğrusunun zaman eksenini (v = 0) kesip işaret değiştirdiği an, hareketlinin değiştirdiği andır.
    2. İlk hızsız sabit ivmeyle hızlanan bir cisim, ilk t sürede x kadar yer değiştirirse bir sonraki t sürede (t ile 2t arasında) kadar yer değiştirir.

  6. 6Doğrusal bir rayda duruştan (v0 = 0) harekete geçen bir tramvay; ilk 10 saniye boyunca +2 m/s² sabit ivmeyle hızlanıyor, sonraki 20 saniye boyunca ulaştığı sabit hızla ilerliyor ve son 5 saniyede sabit ivmeyle yavaşlayarak diğer istasyonda duruyor. Bu hareketin hız-zaman (v-t) ve ivme-zaman (a-t) grafiklerinin nasıl olacağını betimleyiniz ve iki istasyon arasındaki toplam mesafeyi hesaplayınız.

Kısaca

  • Konum-zaman (x-t), hız-zaman (v-t) ve ivme-zaman (a-t) grafikleri arasında geçiş yapılırken x -> v -> a yönünde 'EĞİM', a -> v -> x yönünde ise 'GRAFİK ALTI ALAN' kullanılır.
  • Konum-zaman (x-t) grafiğinin eğimi anlık hızı verir; sabit ivmeli harekette x-t grafiği parabol eğrisi şeklindedir (eğim artıyorsa hızlanan, eğim azalıyorsa yavaşlayan hareket).
  • Hız-zaman (v-t) grafiğinin eğimi sabit ivmeyi (a = Delta_v / Delta_t), grafik ile zaman ekseni arasındaki cebirsel alan ise yer değiştirmeyi (Delta_x) verir.
  • İvme-zaman (a-t) grafiği ile zaman ekseni arasındaki cebirsel alan hız değişimini (Delta_v = a . t) verir; ilk hız bilinmeden yalnızca a-t grafiğinden son hız bulunamaz.
  • Sabit ivmeli hareketin üç temel matematiksel modeli: 1) v = v0 + a . t, 2) Delta_x = v0 . t + (1/2) . a . t², 3) v² = v0² + 2 . a . Delta_x.
  • Bir hareketlinin hız vektörü (v) ile ivme vektörü (a) aynı işaretliyse cisim hızlanır, zıt işaretliyse cisim yavaşlar.

Bu dersin öteki kaynakları