İçeriğe geç

10. sınıf · Fizik · 3. hafta (28 Eylül - 2 Ekim 2026)

Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket: İvme ve Hız Değişimi İlişkisi

KUVVET VE HAREKET teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Önceki iki haftada hızın büyüklüğünün ve yönünün değişmediği sabit hızlı hareketi incelemiştik. Ancak günlük yaşamda kalkış yapan bir uçak, kırmızı ışıkta fren yapan bir otomobil veya dalından düşen bir elma sabit hızla değil, hızı zamanla değişen hareket yapar. Bu haftaki dersimizde birim zamandaki hız değişiminin ölçüsü olan 'ivme' kavramını tanımlıyor, hız ve ivme vektörlerinin yön ilişkisine göre hızlanma ve yavaşlama durumlarını inceliyor, hız-zaman ve ivme-zaman grafiklerini çözümlüyor ve bir boyutta sabit ivmeli hareket denklemlerini keşfediyoruz.

1. İvme Kavramı ve Birim Zamandaki Hız Değişimi

Doğrusal bir yolda hareket eden bir cismin hızı eşit zaman aralıklarında eşit miktarda artıyor veya azalıyorsa bu harekete bir boyutta sabit ivmeli hareket denir. Bir hareketlinin birim zamandaki (1 saniyedeki) hız değişimine ivme adı verilir. İvme a sembolüyle gösterilir, vektörel bir büyüklüktür ve Uluslararası Birim Sistemi'ndeki (SI) birimi metre/saniyekare (ms2)dir. İlk hızı v_ilk (veya v₀), Δt süre sonraki son hızı v_son (veya v) olan bir hareketlinin hız değişimi Δv = v_son - v_ilk olup ivmesi a = ΔvΔt = v_son - v_ilkΔt bağıntısıyla hesaplanır. Sabit hızlı harekette hız değişimi sıfır (Δv = 0) olduğundan ivme de sıfırdır (a = 0).

Fiziksel BüyüklükSembolüSI BirimiBağıntısı ve Anlamı
İlk Hız ve Son Hızv₀ ve vm/sHareketin başlangıcındaki ve t anındaki anlık hız vektörleri
Hız DeğişimiΔvm/sΔv = v - v₀ (Son hız vektörü ile ilk hız vektörünün farkı)
İvmeams2a = ΔvΔt (Saniye başına gerçekleşen hız değişimi miktarı)
İVME KAVRAMI VE BİRİM ZAMANDAKİ HIZ DEĞİŞİMİ İVME (a) TANIMI VE BAĞINTISI a = Δv / Δt = (v_s - v_i) / Δt SI Birimi: m/s² (Vektörel büyüklük) • Birim zamandaki (1 s) hız değişimidir. • a = 3 m/s² demek, hızın her saniye 3 m/s değişmesi demektir. Sabit hızlı harekette: Δv = 0 ⇒ a = 0 SABİT İVMELİ HIZLANMA (a = +4 m/s²) t = 0 s v = 0 t = 1 s v = 4 m/s t = 2 s v = 8 m/s t = 3 s v = 12 m/s Eşit zaman aralıklarında hız değişimi SABİT (+4 m/s), alınan yollar ise giderek ARTAR (2 m, 6 m, 10 m)!

2. Hız ve İvme Vektörlerinin Yön İlişkisi: Hızlanma ve Yavaşlama

İvme vektörünün yönü daima hız değişimi vektörünün (Δv = v_son - v_ilk) yönüyle aynıdır. Ancak ivmenin işaretinin pozitif (+) veya negatif (-) olması tek başına aracın hızlandığını ya da yavaşladığını göstermez! Bir aracın hızlanıp yavaşladığına karar vermek için hız vektörü (v) ile ivme vektörünün (a) yönleri karşılaştırılır: Hız vektörü ile ivme vektörü aynı yönlü ise (ikisi de + veya ikisi de - ise) cisim hızlanır. Hız vektörü ile ivme vektörü zıt yönlü ise (biri +, diğeri - ise) cisim yavaşlar.

Hareket TürüHız Yönü (v)İvme Yönü (a)Fiziksel Açıklama
Pozitif Yönde Hızlanan+ (Doğu / Sağ)+ (Doğu / Sağ)v > 0 ve a > 0 (Aynı yönlü → sürat artar)
Pozitif Yönde Yavaşlayan+ (Doğu / Sağ)- (Batı / Sol)v > 0 ve a < 0 (Zıt yönlü → sürat azalır)
Negatif Yönde Hızlanan- (Batı / Sol)- (Batı / Sol)v < 0 ve a < 0 (Aynı yönlü → negatif yönde sürat artar)
Negatif Yönde Yavaşlayan- (Batı / Sol)+ (Doğu / Sağ)v < 0 ve a > 0 (Zıt yönlü → negatif yönde sürat azalır)
HIZ VE İVME VEKTÖRLERİNİN YÖN İLİŞKİSİ: HIZLANMA VE YAVAŞLAMA 1. HIZLANAN HAREKET (v ile a AYNI YÖNLÜ) Durum A: Pozitif Yönde Hızlanma v > 0 (→) ve a > 0 (→) Durum B: Negatif Yönde Hızlanma v < 0 (←) ve a < 0 (←) Kural: Hız vektörü ile ivme vektörü AYNI YÖNLÜ ise cisim HIZLANIR! 2. YAVAŞLAYAN HAREKET (v ile a ZIT YÖNLÜ) Durum C: Pozitif Yönde Yavaşlama v > 0 (→) ve a < 0 (←) Durum D: Negatif Yönde Yavaşlama v < 0 (←) ve a > 0 (→) Kural: Hız vektörü ile ivme vektörü ZIT YÖNLÜ ise cisim YAVAŞLAR!

3. Sabit İvmeli Harekette Hız-Zaman (v-t) Grafiği

Bir boyutta sabit ivmeli harekette hız düzgün olarak değiştiği için hız-zaman (v-t) grafiği eğimli bir doğru şeklindedir. Hız-zaman grafiğinden iki temel büyüklük elde edilir: 1) Grafiğin eğimi ivmeyi verir: Eğim = ΔvΔt = v - v₀t = a. Doğru sağa yatıksa (yukarı çıkıyorsa) eğim ve ivme pozitif (+a), sola yatıksa (aşağı iniyorsa) eğim ve ivme negatiftir (-a). 2) Grafik doğrusu ile zaman ekseni arasında kalan alan yer değiştirmeyi (Δx) verir. İlk hızı v₀ ve son hızı v olan bir aracın t sürede yaptığı yer değiştirme yamuk alanından (veya ortalama hız çarpı zamandan) Δx = v_ort · t = v₀ + v2 · t bağıntısıyla bulunur.

v-t Grafiği ÖzelliğiHesaplama YöntemiVerdiği Fiziksel Büyüklük
Grafik Doğrusunun EğimiEğim = Karşı dik kenar (Δv)Komşu dik kenar (Δt)Hareketlinin ivmesi (a)
Zaman Ekseninin Üstündeki AlanÜçgen, dikdörtgen veya yamuk alanı (+)Pozitif yöndeki yer değiştirme (+Δx)
Zaman Ekseninin Altındaki AlanÜçgen, dikdörtgen veya yamuk alanı (-)Negatif yöndeki yer değiştirme (-Δx)
Grafiğin Zaman Eksenini Kestiği Anv = 0 olup hızın işaret değiştirdiği anHareketlinin anlık durup yön değiştirdiği an
HIZ-ZAMAN (v-t) GRAFİĞİNDE EĞİM (İVME) VE ALAN (YER DEĞİŞTİRME) t (s) v (m/s) v₀ v t Alan = Δx 1. v-t GRAFİĞİNİN EĞİMİ = İVME (a) Eğim = Δv / Δt = (v - v₀) / t = a Doğrusal v-t grafiğinde eğim sabittir; dolayısıyla ivme (a) hareket boyunca sabittir. 2. v-t GRAFİĞİNİN ALANI = Δx Δx = ((v₀ + v) / 2) · t Zaman ekseni üstündeki alan (+Δx), zaman ekseni altındaki alan (-Δx) verir.

4. İvme-Zaman (a-t) Grafiği ve Hız Değişimi Hesabı

Sabit ivmeli harekette ivme zamanla değişmediği için ivme-zaman (a-t) grafiği zaman eksenine paralel yatay bir doğru şeklindedir. İvme-zaman grafiği ile zaman ekseni arasında kalan alan, hareketlinin o zaman aralığındaki hız değişimini (Δv) verir: Alan = Δv = a · Δt. Zaman ekseninin üstündeki alan pozitif hız değişimini (+Δv), altındaki alan ise negatif hız değişimini (-Δv) gösterir. İvme-zaman grafiğinden hareketlinin herhangi bir t anındaki son hızını bulabilmek için başlangıç hızının (v₀) mutlaka bilinmesi gerekir: v_son = v₀ + Δv.

İVME-ZAMAN (a-t) GRAFİĞİ VE HIZ DEĞİŞİMİ HESABI t (s) a (m/s²) +Δv₁ = +a₁·t₁ +a₁ t₁ -Δv₂ = -a₂·Δt -a₂ t₂ a-t GRAFİĞİ ALANI = HIZ DEĞİŞİMİ (Δv) Δv = a · Δt ⇒ v_son = v_ilk + Δv • a-t grafiği tek başına son hızı vermez; sadece hızdaki DEĞİŞİMİ (Δv) verir! • Son hızı bulmak için ilk hız (v_ilk) değerinin mutlaka bilinmesi gerekir. Toplam Δv = (+Δv₁) + (-Δv₂)

5. Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket Denklemleri ve Tek Sayılar Kuralı

Hız-zaman grafiğinin eğim ve alan bağıntılarından tümevarımsal akıl yürütmeyle bir boyutta sabit ivmeli hareketin üç temel kinematik denklemi elde edilir: 1) Hız denklemi: v = v₀ + a · t; 2) Konum (yer değiştirme) denklemi: Δx = v₀ · t + 12 · a · t2 (yavaşlayan harekette ivme zıt yönlü olduğundan Δx = v₀ · t - 12 · a · t2); 3) Zamansız hız denklemi: ilk iki denklemden t yok edildiğinde elde edilen v2 = v₀2 + 2 · a · Δx bağıntısıdır. İlk hızı sıfır (v₀ = 0) olan bir cisim sabit ivmeyle hızlanırken ardışık eşit zaman dilimlerinde aldığı yollar x, 3x, 5x, 7x, ... şeklinde tek sayılarla orantılı olarak artar (Galileo tek sayılar kuralı).

Zaman Dilimi (Her 1 s)Anlık Hız (v = a·t)O Saniye İçinde Alınan YolToplam Yer Değiştirme (Δx = 12at2)
0 - 1 s (1. saniye)t = 1 s'de v = ax (x = 12a)x
1 - 2 s (2. saniye)t = 2 s'de v = 2a3xx + 3x = 4x
2 - 3 s (3. saniye)t = 3 s'de v = 3a5xx + 3x + 5x = 9x
3 - 4 s (4. saniye)t = 4 s'de v = 4a7xx + 3x + 5x + 7x = 16x
BİR BOYUTTA SABİT İVMELİ HAREKET DENKLEMLERİ VE TEK SAYILAR KURALI 1. HIZ DENKLEMİ v = v₀ + a·t (Konum Δx içermeyen denklem) 2. KONUM (Δx) DENKLEMİ Δx = v₀·t + (1/2)·a·t² veya Δx = ((v₀ + v)/2)·t 3. ZAMANSIZ HIZ DENKLEMİ v² = v₀² + 2·a·Δx (Zaman t içermeyen denklem) İLK HIZSIZ (v₀ = 0) HAREKETTE GALİLEO TEK SAYILAR KURALI (x, 3x, 5x, 7x...) Durgun halden sabit ivmeyle hızlanan cisim ardışık eşit zaman aralıklarında (her t sürede): 1. saniyede: x | 2. saniyede: 3x | 3. saniyede: 5x | 4. saniyede: 7x yol alır! (x = a/2)

6. Grafikler Arası Dönüşüm ve Gündelik Yaşam Uygulamaları

Sabit ivmeli harekette konum (x), hız (v) ve ivme (a) grafikleri arasında tam bir matematiksel simetri vardır: x → v → a sırasıyla sağa doğru geçerken grafiklerin eğimi alınır; a → v → x sırasıyla sola doğru geçerken ise grafiklerin alanı hesaplanır. Sabit ivmeli harekette yer değiştirme zamanın karesiyle (t2) orantılı olduğu için konum-zaman (x-t) grafiği doğrusal değil, parabolik bir eğridir: eğrinin eğimi dikleşiyorsa (Genç K) araç hızlanmakta, eğrinin eğimi yataylaşıyorsa (Yaşlı K) araç yavaşlamaktadır. Otomobillerin 0-100 km/h hızlanma süreleri ve frenleme duruş mesafeleri sabit ivmeli hareket ilkeleriyle hesaplanır.

GRAFİKLER ARASI DÖNÜŞÜM ÖZETİ: KONUM (x) ↔ HIZ (v) ↔ İVME (a) KONUM - ZAMAN (x - t) İvmeli harekette parabolik eğridir EĞİM → ← ALAN (Δx) HIZ - ZAMAN (v - t) Sabit ivmeli harekette eğimli doğrudur EĞİM (a) → ← ALAN (Δv) İVME - ZAMAN (a - t) Sabit ivmeli harekette yatay doğrudur Kural: x → v → a yönünde giderken EĞİM alınır; a → v → x yönünde dönerken grafik ALANI hesaplanır!

Örnekler

  1. Örnek 1Doğrusal bir yolda +x yönünde 6 m/s ilk hızla geçen bir otomobil, 4 ms2 büyüklüğündeki sabit ivmeyle aynı yönde 5 saniye boyunca hızlanıyor. Otomobilin 5. saniye sonundaki hızını ve bu sürede yaptığı yer değiştirmeyi bulunuz.

    Cevabı göster

    Son hız: v = v₀ + a · t = 6 + 4 · 5 = 6 + 20 = 26 m/s bulunur. Yer değiştirme ise ortalama hızdan: Δx = v₀ + v2 · t = 6 + 262 · 5 = 16 · 5 = 80 m (veya Δx = 6·5 + 12·4·52 = 30 + 50 = 80 m) bulunur.

  2. Örnek 2Doğrusal bir yolda 30 m/s hızla gitmekte olan bir tren, istasyona yaklaşırken frene basarak 5 ms2 büyüklüğünde sabit ivmeyle yavaşlayıp duruyor. Trenin kaç saniyede durduğunu ve frene bastığı andan durana kadar kaç metre yol aldığını hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Tren her saniye hızını 5 m/s azalttığından durma süresi: t = v₀a = 305 = 6 s olur. Durana kadar aldığı yol (fren mesafesi): Δx = v₀ + 02 · t = 30 + 02 · 6 = 15 · 6 = 90 m bulunur.

  3. Örnek 3t = 0 anında ilk hızı -10 m/s olan bir hareketlinin ivme-zaman (a-t) grafiğinde; 0-4 s aralığında ivmesi +5 ms2, 4-6 s aralığında ise ivmesi +3 ms2 olarak verilmiştir. Hareketlinin t = 4 s ve t = 6 s anlarındaki hızlarını bulunuz.

    Cevabı göster

    a-t grafiğinin alanı hız değişimini (Δv) verir. 0-4 s aralığında Δv₁ = (+5) · 4 = +20 m/s olup t = 4 s anındaki hızı v₄ = v₀ + Δv₁ = -10 + 20 = +10 m/s olur (araç t = 2 s anında anlık durup yön değiştirmiştir). 4-6 s aralığında Δv₂ = (+3) · 2 = +6 m/s olup t = 6 s anındaki hızı v₆ = 10 + 6 = +16 m/s bulunur.

  4. Örnek 4Durgun halden (v₀ = 0) sabit ivmeyle harekete geçen bir araç, hareketinin 1. saniyesinde 3 m yol aldığına göre 4. saniye içinde kaç metre yol alır ve ilk 4 saniye sonundaki toplam yer değiştirmesi kaç metredir?

    Cevabı göster

    Galileo tek sayılar kuralına göre ilk hızsız sabit ivmeli harekette ardışık eşit zaman aralıklarında alınan yollar x, 3x, 5x, 7x... şeklindedir. 1. saniyede alınan yol x = 3 m olduğuna göre, sadece 4. saniye içinde (3 s ile 4 s arasında) alınan yol 7x = 7 · 3 = 21 m olur. İlk 4 saniyedeki toplam yer değiştirme ise x + 3x + 5x + 7x = 16x = 16 · 3 = 48 m bulunur.

  5. Örnek 5Doğrusal yolda hareket eden K aracının hızı -8 m/s ve ivmesi -2 ms2; L aracının hızı +12 m/s ve ivmesi -3 ms2 olarak veriliyor. K ve L araçlarının hızlanma veya yavaşlama durumlarını belirleyiniz.

    Cevabı göster

    K aracının hız vektörü (-) ve ivme vektörü (-) aynı yönlü olduğu için K aracı negatif yönde HIZLANAN hareket yapmaktadır. L aracının hız vektörü (+) ve ivme vektörü (-) zıt yönlü olduğu için L aracı pozitif yönde YAVAŞLAYAN hareket yapmaktadır.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Doğrusal bir yolda durgun halden (v₀ = 0) harekete geçen bir araç, 6 ms2 büyüklüğündeki sabit ivmeyle 4 saniye boyunca hızlanıyor. Buna göre aracın 4. saniye sonundaki hızı ve bu sürede yaptığı yer değiştirme aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  2. 2Bir boyutta hareket eden bir cisme ait hız ve ivme vektörlerinin işaretleri hakkında verilen aşağıdaki durumlardan hangisinde cisim YAVAŞLAYAN hareket yapar?

  3. 3Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • Hız-zaman (v-t) grafiğinin eğimi hareketlinin ivmesini, grafik ile zaman ekseni arasında kalan alan ise yer değiştirmesini verir.

  4. 4Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • Negatif yönde (-x yönünde) hareket eden bir aracın ivmesi de negatif (-) ise araç yavaşlamaktadır.

  5. 5Sabit ivmeli harekete ait aşağıdaki kavram ve grafik özelliklerini doğru karşılıklarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.

    1. Sabit hızlı doğrusal harekette hız değişimi sıfır (Δv = 0) olduğu için hareketlinin ivmesi olur.

  7. 7Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.

    1. Sabit fren ivmesiyle yavaşlayarak duran bir otomobilin ilk hızı 2 katına çıkarsa, durana kadar aldığı fren mesafesi katına çıkar.

  8. 8Doğrusal bir yolda t = 0 anında ilk hızı v₀ = 10 m/s olan bir araç, 4 saniye boyunca a₁ = 5 ms2 sabit ivmeyle hızlanıyor; ardından 4. saniyede frene basarak a₂ = -6 ms2 sabit ivmeyle 5 saniye boyunca yavaşlıyor. a) Aracın t = 4 s ve t = 9 s anlarındaki hızlarını bulunuz. b) Aracın 0-9 s aralığındaki toplam yer değiştirmesini hesaplayınız.

Kısaca

  • 1. İvme Kavramı ve Birim Zamandaki Hız Değişimi: Bir hareketlinin birim zamandaki (1 saniyedeki) hız değişimine ivme denir, a sembolüyle gösterilir ve SI birimi ms2 olan vektörel bir büyüklüktür.
  • 2. Hız ve İvme Vektörlerinin Yön İlişkisi (Hızlanma ve Yavaşlama): Hız vektörü (v) ile ivme vektörü (a) aynı yönlü ise cisim hızlanır, zıt yönlü ise cisim yavaşlar.
  • 3. Sabit İvmeli Harekette Hız-Zaman (v-t) Grafiği: Doğrusal olarak değişen hız-zaman grafiğinin eğimi sabit ivmeyi (a = ΔvΔt), grafik ile zaman ekseni arasındaki alan ise yer değiştirmeyi (Δx) verir.
  • 4. İvme-Zaman (a-t) Grafiği ve Hız Değişimi Hesabı: İvme-zaman grafiği ile zaman ekseni arasında kalan alan hareketlinin hız değişimini (Δv = a · Δt) verir; son hız v_son = v_ilk + Δv bağıntısıyla bulunur.
  • 5. Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket Bağıntıları: Sabit ivmeli harekette v = v₀ + a · t, Δx = v₀ · t + 12 · a · t2 ve v2 = v₀2 + 2 · a · Δx denklemleri ile Galileo tek sayılar kuralı (x, 3x, 5x...) geçerlidir.
  • 6. Grafikler Arası Dönüşüm ve Gündelik Yaşam Uygulamaları: Konumdan hıza ve hızdan ivmeye geçerken eğim alınır; ivmeden hız değişimine ve hızdan yer değiştirmeye geçerken grafik alanı hesaplanır.

Bu dersin öteki kaynakları