İçeriğe geç

10. sınıf · Fizik · 7. hafta (26-30 Ekim 2026)

Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket: Serbest Düşme Hareketi, Matematiksel Modeller ve Grafikler

KUVVET VE HAREKET teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçen hafta yatay doğrultuda sabit ivmeli hareketin matematiksel modellerini (v = v₀ + a·t, Δx = v₀·t + ½a·t² ve v² = v₀² + 2a·Δx) ve hareket grafiklerini öğrenmiştik. Doğada sabit ivmeli hareketin en kusursuz ve evrensel örneği ise düşey doğrultuda gerçekleşen serbest düşme hareketidir! Hava direncinin (sürtünmenin) ihmal edildiği bir ortamda belirli bir yükseklikten ilk hızsız (v₀ = 0) bırakılan her cisim, kütlesi ne olursa olsun Dünya’nın merkezine doğru sabit yer çekimi ivmesiyle (g) hızlanır. Bu haftaki dersimizde Galileo’dan günümüze uzanan serbest düşme yasalarını ve pratik çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.

1. Serbest Düşme Hareketinin Doğası ve Matematiksel Modelleri

Tarih boyunca Aristoteles’in etkisiyle ağır cisimlerin hafif cisimlerden daha hızlı düştüğüne inanılmıştı. Ancak Galileo Galilei yaptığı deneylerle, hava direncinin (sürtünmenin) ortadan kaldırıldığı bir ortamda aynı yükseklikten serbest bırakılan demir bir gülle ile bir kuş tüyünün aynı anda ve aynı hızla yere çarptığını kanıtladı! Çünkü Newton’un temel yasasına göre serbest düşen cisme yalnızca ağırlığı (G = m · g) etki eder: F_net = m · a ⇒ m · g = m · a ⇒ a = g. Görüldüğü gibi kütleler (m) sadeleşir ve cismin ivmesi kütlesine bağlı olmaksızın doğrudan yer çekimi ivmesine (g) eşit olur. Problem çözümlerinde işlem kolaylığı için genellikle g = 10 m/s² alınır; bunun anlamı serbest düşen bir cismin hızının her saniye 10 m/s arttığıdır.

Bir boyutta sabit ivmeli hareket denklemlerinde ilk hız v₀ = 0, ivme a = g ve düşey yer değiştirme büyüklüğü h yerine yazılırsa serbest düşmenin üç temel matematiksel modeli elde edilir: 1) Hız-Zaman Denklemi: v = g · t (g = 10 m/s² için v = 10t; örneğin 4. saniye sonunda hız v = 40 m/s olur). 2) Düşey Yol (Yükseklik) Denklemi: h = ½ · g · t² (g = 10 m/s² için h = 5t²; örneğin 4 saniyede yere çarpan cisim h = 5 · 4² = 80 m yükseklikten bırakılmıştır). Ayrıca ortalama hızdan h = (v / 2) · t bağıntısı da çok pratiktir. 3) Zamansız Hız Denklemi: v² = 2 · g · h (süre bilinmeden doğrudan düşme yüksekliği ile yere çarpma hızı arasındaki ilişkiyi verir).

BİR BOYUTTA SABİT İVMELİ HAREKET: SERBEST DÜŞME (a = g)1. SERBEST DÜŞME VE HAREKET DENKLEMLERİSerbest Düşme Nedir? (Hava Direnci İhmal)İlk hızsız (v₀ = 0) bırakılan cismin yer çekimi ivmesiyle (g) düşey hareketi.Yer Çekimi İvmesi (g ≈ 10 m/s² veya 9,8 m/s²)Hava sürtünmesi yoksa ivme KÜTLEDEN BAĞIMSIZDIR; her cisim aynı ivmeyle düşer!Her Saniye Hız Değişimi: v = g · tt = 1 s -> v = 10 m/s | t = 2 s -> v = 20 m/s | t = 3 s -> v = 30 m/s.Alınan Düşey Yol (Yükseklik): h = ½ · g · t²t = 1 s -> h = 5 m | t = 2 s -> h = 20 m | t = 3 s -> h = 45 m | t = 4 s -> 80 m.Zamansız Hız Denklemi: v² = 2 · g · hSüre (t) verilmeden düşme yüksekliği (h) ile yere çarpma hızı (v) arasındaki bağ.2. PRATİK KURALLAR (h - 3h - 5h) VE GRAFİKLERArdışık Saniyelerde Alınan Yollar (g = 10 m/s²)1. sn: 5 m | 2. sn: 15 m | 3. sn: 25 m | 4. sn: 35 m | 5. sn: 45 m!Galileo Tek Sayılar Kuralı: h, 3h, 5h, 7h...Eşit zaman aralıklarında (t) alınan düşey yollar tek sayılarla orantılı artar.İvme-Zaman (a-t) Grafiği (Aşağı Yön - Seçilirse)İvme sabit ve a = -g = -10 m/s²; altında kalan alan hız değişimini (-g·t) verir.Hız-Zaman (v-t) GrafiğiOrijinden başlayan doğrusal grafik; altında kalan üçgen alan yer değiştirmeyi verir.Konum-Zaman (y-t) Grafiği (Parabolik)Eğimi (hızı) her saniye artan parabolik eğri (h = ½gt²).DİKKAT: Havası boşaltılmış (vakum) ortamda aynı yükseklikten bırakılan demir bilye ile kuş tüyü AYNI ANDA ve AYNI HIZLA yere çarpar!“3. saniye sonunda toplam kaç m düştü?” -> h = 5·3² = 45 m | “3. saniye İÇİNDE kaç m düştü?” -> 25 m (5 - 15 - 25)!

2. Pratik Tek Sayılar Kuralı (h - 3h - 5h) ve Serbest Düşme Grafikleri

İlk hızsız sabit ivmeli harekette hız-zaman (v-t) grafiğinin altında kalan üçgen alanlar ardışık eşit zaman dilimlerinde h, 3h, 5h, 7h, 9h... tek sayılarıyla orantılı olarak büyür. Serbest düşmede g = 10 m/s² olduğunda ilk 1 saniyede alınan yol h = 5 m olduğundan, ardışık her bir saniye içinde alınan yollar sırasıyla 5 m — 15 m — 25 m — 35 m — 45 m — 55 m... şeklinde (her saniye 10 metre artarak!) ilerler. Bu kural çok hızlı problem çözmemizi sağlar: Örneğin bir cisim hareketinin son saniyesi içinde 45 m yol alarak yere çarpmışsa; 5, 15, 25, 35, 45 dizisinden bu cismin toplam 5 saniye havada kaldığını, yere 50 m/s hızla çarptığını ve toplam 5 · 5² = 125 m yükseklikten bırakıldığını birkaç saniye içinde bulabiliriz!

Serbest düşme hareketinin grafiklerini çizerken koordinat sisteminde genellikle yukarı yön pozitif (+), aşağı (hareket) yönü ise negatif (-) seçilir (bazen büyüklük sorulduğunda aşağı yön + da alınabilir). Aşağı yön negatif (-) seçildiğinde: 1) İvme-Zaman (a-t) Grafiği: Zaman ekseninin altında a = -g = -10 m/s² değerinde yatay sabit bir doğrudur. Altında kalan alan hız değişimini (Δv = -g·t) verir. 2) Hız-Zaman (v-t) Grafiği: Orijinden (0, 0) başlayıp negatif yönde düzgün azalan (-10, -20, -30 m/s...) doğrusal bir grafiktir. Doğrunun eğimi yer çekimi ivmesini (-g), zaman ekseniyle arasında kalan üçgenin alanı ise düşey yer değiştirmeyi (Δy = -h) verir. 3) Konum-Zaman (y-t) Grafiği: Cisim negatif yönde hızlandığı için eğimi (dikliği) zamanla artan parabolik bir eğridir ('genç K' eğrisi).

Örnekler

  1. Örnek 1Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda yerden 80 metre yükseklikteki bir kuleden serbest bırakılan taşın; a) Yere kaç saniyede çarpacağını, b) Yere çarpma hızının büyüklüğünü, c) Hareketinin son saniyesi içinde kaç metre yol aldığını bulunuz. (g = 10 m/s²)

    Cevabı göster

    a) h = ½ · g · t² = 5t² bağıntısından: 80 = 5 · t² ⇒ t² = 16 ⇒ t = 4 saniye. b) Yere çarpma hızı: v = g · t = 10 · 4 = 40 m/s. c) 4 saniye süren harekette ardışık saniyelerde alınan yollar 5 m, 15 m, 25 m ve 35 m’dir; dolayısıyla son (4.) saniye içinde 35 metre yol almıştır.

  2. Örnek 2Havasız ortamda m kütleli K cismi h₁ yüksekliğinden, 3m kütleli L cismi ise h₂ yüksekliğinden aynı anda serbest bırakılıyor. K cismi yere 2t sürede, L cismi ise 3t sürede çarptığına göre h₁ / h₂ oranı ve yere çarpma hızları oranı v_K / v_L kaçtır?

    Cevabı göster

    Serbest düşmede ivme (g) kütleden (m ve 3m’den) BAĞIMSIZDIR! Her iki cisim de aynı g ivmesiyle hızlanır: • Yükseklikler zamanın karesiyle orantılıdır (h = ½gt²): h₁ / h₂ = (2t)² / (3t)² = 4 / 9. • Yere çarpma hızları zamanla doğru orantılıdır (v = g·t): v_K / v_L = (g · 2t) / (g · 3t) = 2 / 3.

  3. Örnek 3Serbest düşmeye bırakılan bir cisim, hareketinin son saniyesi içinde 55 metre yol alarak yere çarpmaktadır. Buna göre cisim kaç saniye havada kalmıştır ve kaç metre yükseklikten bırakılmıştır? (g = 10 m/s²)

    Cevabı göster

    Ardışık saniyelerde alınan yollar (2n - 1)·5 m kuralına göre 5, 15, 25, 35, 45, 55 m şeklindedir. 55 metre 6. adım olduğu için (5 · 11 = 55; 2t - 1 = 11 ⇒ t = 6) cisim toplam t = 6 saniye havada kalmıştır. Bırakıldığı toplam yükseklik: h = 5 · t² = 5 · 6² = 5 · 36 = 180 metredir.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda belirli bir yükseklikten serbest bırakılan bir cisim yere 5 saniyede çarpmaktadır. Buna göre cismin bırakıldığı yükseklik (h) ve yere çarpma hızı (v) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir? (g = 10 m/s²)

  2. 2Havasız bir tüp içinde aynı yükseklikten aynı anda serbest bırakılan 100 gramlık demir bilye ile 2 gramlık kuş tüyü için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  3. 3Hava sürtünmesinin önemsiz olduğu ortamda serbest düşmeye bırakılan bir cisim, hareketinin yalnızca 4. saniyesi içinde (t = 3 s ile t = 4 s arasında) kaç metre düşer? (g = 10 m/s²)

  4. 4Yerden h kadar yükseklikten serbest bırakılan bir cisim yere v büyüklüğünde hızla çarpmaktadır. Aynı cisim 4h yükseklikten serbest bırakılırsa yere kaç v büyüklüğünde hızla çarpar? (Hava direnci ihmal edilmektedir.)

  5. 5Serbest düşmeye bırakılan bir cisim, düştüğü toplam yüksekliğin son 45 metresini 1 saniyede alarak yere çarpmaktadır. Buna göre cisim yere kaç m/s hızla çarpmıştır? (g = 10 m/s²)

  6. 6Serbest düşme hareketi ile ilgili aşağıdaki ifadelerin Doğru (D) mu yoksa Yanlış (Y) mı olduğunu belirleyiniz.

    • Hava direncinin ihmal edildiği ortamda serbest düşen bir cismin ivmesi hareket boyunca sabittir ve yer çekimi ivmesine (g) eşittir.
    • Serbest düşen bir cismin hızı zamanın karesiyle (t²) doğru orantılı olarak artar.
    • g = 10 m/s² olan ortamda serbest bırakılan cisim 2 saniye sonunda toplam 20 metre düşer.
    • Serbest düşme hareketinde hız-zaman (v-t) grafiğinin altında kalan alan cismin ivmesini verir.
    • Eşit zaman aralıklarında serbest düşen bir cismin aldığı düşey yollar h, 3h, 5h, 7h şeklinde tek sayılarla orantılıdır.

  7. 7g = 10 m/s² olan havasız bir ortamda serbest düşmeye bırakılan bir cismin aşağıdaki büyüklüklerini doğru değerleriyle eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  8. 8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun fizik kavramlarıyla tamamlayınız.

    1. Havasız ortamda ilk hızsız (v₀ = 0) bırakılan cisimlerin yalnızca yer çekimi etkisiyle yaptığı harekete düşme denir.
    2. Serbest düşme hareketinde cismin ivmesi cismin bağımsızdır.
    3. Serbest düşen bir cismin hız-zaman (v-t) grafiğinin eğimi ivmesini (g) verir.
    4. Zamansız hız denklemine göre serbest düşen cismin yere çarpma hızının karesi v² = bağıntısıyla bulunur.
    5. Serbest düşme yapan cismin konum-zaman grafiği doğrusal değil, eğimi giderek artan bir eğrisidir.

  9. 9Derin bir kuyunun ağzından serbest bırakılan bir taşın, kuyunun tabanındaki suya çarpma sesi 3 saniye sonra duyulmaktadır. Sesin hızı çok büyük olduğu için sesin yukarı çıkma süresi ihmal edildiğine göre; a) Kuyunun derinliğini (metre), b) Taşın suya çarpma hızını ve ortalama hızını hesaplayınız. (g = 10 m/s²)

Kısaca

  • Serbest Düşme ve Yer Çekimi İvmesi (g): Hava direncinin ihmal edildiği ortamda belirli bir yükseklikten ilk hızsız (v₀ = 0) bırakılan cismin yalnızca yer çekimi kuvveti etkisinde yaptığı sabit ivmeli harekete serbest düşme denir. İvmesi g ≈ 10 m/s² (gerçekte ~9,8 m/s²) olup cismin kütlesinden bağımsızdır!
  • Matematiksel Modeller: Sabit ivmeli hareket denklemlerinde v₀ = 0, a = g ve Δx = h yazılırsa: 1) Hız denklemi: v = g · t, 2) Yükseklik (yol) denklemi: h = ½ · g · t² = 5t², 3) Zamansız hız denklemi: v² = 2 · g · h elde edilir.
  • Ardışık Saniyelerde Alınan Yollar (5 - 15 - 25 - 35 m): g = 10 m/s² alındığında serbest düşen cisim 1. saniye içinde 5 m, 2. saniye içinde 15 m, 3. saniye içinde 25 m, 4. saniye içinde 35 m yol alır (h - 3h - 5h - 7h Galileo kuralı).
  • Toplam Yükseklik (t Saniye Sonunda): Cismin t saniye sonunda düştüğü toplam mesafe 1 s’de 5 m, 2 s’de 20 m, 3 s’de 45 m, 4 s’de 80 m, 5 s’de 125 m’dir.
  • Hareket Grafikleri: Aşağı yön negatif (-) seçilirse; a-t grafiği -g değerinde sabit bir doğru, v-t grafiği orijinden başlayan ve eğimi -g olan bir doğru, konum-zaman (y-t) grafiği ise eğimi giderek artan bir paraboldür.

Bu dersin öteki kaynakları