İçeriğe geç

10. sınıf · Fizik · 4. hafta (5-9 Ekim 2026)

Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket: Hız-Zaman, İvme-Zaman Grafikleri, Hareket Denklemleri ve Serbest Düşme

KUVVET VE HAREKET teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Sabit ivmeli bir hareketlinin hızının zamanla nasıl değiştiğini ve bu süreçte ne kadar yer değiştirdiğini analiz etmenin en güçlü yolu hız-zaman (v-t) ve ivme-zaman (a-t) grafiklerini kullanmaktır. Bu haftaki dersimizde hız ve ivme vektörlerinin yön ilişkisine göre hızlanma-yavaşlama durumlarını, grafik alanlarından türetilen hareket denklemlerini ve doğadaki en temel sabit ivmeli hareket örneği olan serbest düşmeyi inceleyeceğiz.

Hız-Zaman (v-t) ve İvme-Zaman (a-t) Grafiklerinin Analizi

Bir boyutta sabit ivmeli hareket yapan bir cismin hızı eşit zaman aralıklarında eşit miktarda değişir; bu nedenle hız-zaman (v-t) grafiği doğrusal bir çizgidir. Hız-zaman grafiğinin eğimi birim zamandaki hız değişimini yani ivmeyi (a = Δv / Δt) verirken, grafik doğrusunun zaman ekseni ile arasında kalan alan ise hareketlinin o süredeki yer değiştirmesini (Δx) verir.

Sabit ivmeli harekette ivme zamanla değişmediği için ivme-zaman (a-t) grafiği zaman eksenine paralel yatay bir doğrudur. İvme-zaman grafiğinin zaman ekseni ile arasında kalan alan, ilgili zaman aralığındaki hız değişimini (Δv = a · Δt) verir. Cismin son hızını bulmak için hız değişimi ilk hıza eklenir (v = v₀ + Δv).

HIZ-ZAMAN (v-t) VE İVME-ZAMAN (a-t) GRAFİKLERİSabit İvmeli Hareketin Grafiksel AnaliziHız-Zaman (v-t) Grafiğit (s)v (m/s)v₀vtAltta Kalan Alan = ΔxEğim = a = Δv / Δtİvme-Zaman (a-t) Grafiğit (s)a (m/s²)atAlan = Δv = a · t(Hız Değişimi)v = v₀ + Δv ⇒ Son Hız = İlk Hız + (a · t)v-t grafiğinin eğimi ivmeyi, altında kalan alan yer değiştirmeyi; a-t grafiğinin alanı ise hız değişimini verir.

Hız ve İvme Vektörlerinin Yön İlişkisi: Hızlanma ve Yavaşlama

Bir hareketlinin hızlanıp yavaşladığına yalnızca ivmenin işaretine (+ veya -) bakılarak karar verilemez; hız vektörü (v) ile ivme vektörünün (a) yönleri birlikte değerlendirilmelidir. Eğer hız vektörü ile ivme vektörü aynı yönlü ise (ikisi de + veya ikisi de - ise) cisim hızlanır. Örneğin negatif yönde hareket eden (-v) bir araca negatif yönlü ivme (-a) uygulanırsa aracın negatif yöndeki sürati artar.

Hız vektörü ile ivme vektörü zıt yönlü ise (biri +, diğeri - ise) cisim yavaşlar. Örneğin pozitif yönde ilerleyen (+v) bir otomobil frene bastığında hızı azalır; bu durumda hız değişimi ve ivme vektörü hareket yönüne ters (-a) yönlüdür. v-t grafiğinde grafik çizgisi zaman ekseninden uzaklaşıyorsa cisim hızlanmakta, zaman eksenine yaklaşıyorsa yavaşlamaktadır.

HIZLANMA VE YAVAŞLAMA DURUMLARIHız Vektörü (v) ile İvme Vektörünün (a) Yön İlişkisi1. Pozitif Yönde Hızlanan (+v, +a)v (+)a (+)Aynı yönlü:Sürat artar!2. Pozitif Yönde Yavaşlayan (+v, -a)v (+)a (-)Zıt yönlü:Sürat azalır!3. Negatif Yönde Hızlanan (-v, -a)v (-)a (-)Aynı yönlü:Sürat artar!4. Negatif Yönde Yavaşlayan (-v, +a)v (-)a (+)Zıt yönlü:Sürat azalır!Hız ve ivme vektörleri aynı yönlü ise cisim hızlanır; zıt yönlü ise cisim yavaşlar.

Sabit İvmeli Hareket Denklemlerinin Türetilmesi

İlk hızı v₀ olan ve a sabit ivmesiyle t süre hareket eden bir cismin son hızı v = v₀ + a · t bağıntısıyla bulunur. Hız-zaman grafiğinin altındaki yamuk alanı bir dikdörtgen (v₀ · t) ve bir dik üçgen (½ · Δv · t) olarak ikiye ayrıldığında, Δv = a · t yerine yazılarak konum değişimi denklemi Δx = v₀ · t + ½ · a · t2 şeklinde elde edilir.

Sabit ivmeli harekette hız doğrusal değiştiği için ortalama hız, ilk hız ile son hızın aritmetik ortalamasına eşittir: v_ort = v₀ + v2. Bu bağıntı kullanılarak yer değiştirme Δx = (v₀ + v2) · t şeklinde de hesaplanabilir. Zamanın bilinmediği durumlarda ise iki denklem birleştirilerek zamansız hız denklemi olan v2 = v₀2 + 2 · a · Δx bağıntısına ulaşılır.

SABİT İVMELİ HAREKETTE YER DEĞİŞTİRME HESABIYamuk Alanı ve Ortalama Hız YöntemiAlan Parçalama: Dikdörtgen + ÜçgenAlan 1 = v₀ · tAlan 2 = ½ · a · t²Δx = v₀ · t + ½ · a · t²Ortalama Hız ve Zamansız Hız Denklemiv_ort = (v₀ + v) / 2Δx = [(v₀ + v) / 2] · tv² = v₀² + 2 · a · ΔxSabit ivmeli harekette ortalama hız,ilk ve son hızın aritmetik ortalamasıdır.Sabit ivmeli hareket denklemlerinin tamamı v-t grafiğinin eğim ve alan bağıntılarından türetilir.

Konum-Zaman (x-t) Grafiğinde Parabolik Değişim ve Yön Değiştirme

Sabit ivmeli harekette yer değiştirme zamanın karesiyle (t2) orantılı olduğu için konum-zaman (x-t) grafiği doğrusal değil, parabolik (eğrisel) bir grafiktir. Konum-zaman grafiğinin eğimi hızı verdiğinden, eğimin giderek arttığı (dikleştiği) parabol kolları hızlanan hareketi; eğimin giderek azaldığı (yataylaştığı) parabol kolları ise yavaşlayan hareketi temsil eder.

Hareketlinin yön değiştirdiği anları belirlemek için x-t ve v-t grafiklerine farklı kriterlerle bakılır: x-t grafiğinde grafiğin tepe veya çukur yaptığı (geri döndüğü) noktalar yön değiştirme anıdır. v-t grafiğinde ise hızın işaret değiştirdiği, yani grafik çizgisinin zaman eksenini (v = 0) bir bölgeden diğerine delip geçtiği anlarda cisim yön değiştirir.

Doğadaki Sabit İvmeli Hareket: Serbest Düşme

Hava direncinin (sürtünmenin) ihmal edildiği bir ortamda, belirli bir h yüksekliğinden ilk hızsız (v₀ = 0) bırakılan cisimlerin yalnızca yer çekimi kuvveti etkisinde yaptığı harekete serbest düşme denir. Serbest düşen tüm cisimler kütlelerinden bağımsız olarak yerin merkezine doğru sabit yer çekimi ivmesi (g ≈ 10 m/s2) ile düzgün hızlanır.

İlk hız sıfır (v₀ = 0) ve ivme g olduğundan serbest düşme denklemleri v = g · t, h = ½ · g · t2 ve v2 = 2 · g · h halini alır. g = 10 m/s2 alındığında serbest bırakılan bir cismin hızı her saniye 10 m/s artar (10, 20, 30 m/s...) ve ardışık her bir saniye içinde aldığı yollar 5 m, 15 m, 25 m, 35 m... (x, 3x, 5x, 7x...) şeklinde tek sayıların katları olarak büyür.

DOĞADAKİ SABİT İVMELİ HAREKET: SERBEST DÜŞMEYer Çekimi İvmesi (g ≈ 10 m/s²) Etkisinde HareketHer Saniye Hız ve Yol Değişimi (v₀ = 0)t = 0 s → v = 0 m/s5 m (x)t = 1 s → v = 10 m/s15 m (3x)t = 2 s → v = 20 m/s25 m (5x)t = 3 s → v = 30 m/sSerbest Düşme BağıntılarıAnlık Hız: v = g · tDüşme Yüksekliği: h = ½ · g · t²Zamansız Hız: v² = 2 · g · hArdışık Saniye Yolları: 5 m - 15 m - 25 m - 35 mHava direnci ihmal edildiğinde serbest bırakılan cisimler g ≈ 10 m/s² sabit ivmeyle hızlanır.

Günlük Hayatta İvmeli Hareket: Fren Mesafesi ve Güvenli Sürüş

Sabit ivmeli hareket denklemleri trafik güvenliği ve ulaşım mühendisliğinde hayati öneme sahiptir. Zamansız hız denklemine (v2 = v₀2 - 2 · a · Δx) göre, frene basarak duran (v = 0) bir aracın fren mesafesi (Δx = v₀22a), aracın ilk hızının karesiyle doğru orantılıdır.

Bu bağıntı, bir aracın hızı 2 katına çıktığında aynı fren ivmesiyle durabilmesi için gereken fren mesafesinin 4 katına; hızı 3 katına çıktığında ise fren mesafesinin 9 katına çıkacağını kanıtlar. Bu nedenle hız sınırlarına uymak ve takip mesafesini hızla orantılı olarak korumak bilimsel bir zorunluluktur.

Örnekler

  1. Örnek 1Doğrusal bir yolda ilk hızı 6 m/s olan bir araç, 4 m/s² sabit ivme ile 5 saniye boyunca hızlanıyor. Aracın 5. saniye sonundaki hızını ve bu sürede yaptığı yer değiştirmeyi hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Son hız: v = v₀ + a · t = 6 + (4 · 5) = 6 + 20 = 26 m/s bulunur. Yer değiştirme: Ortalama hız yöntemiyle Δx = [(v₀ + v) / 2] · t = [(6 + 26) / 2] · 5 = 16 · 5 = 80 m (veya Δx = 6·5 + ½·4·5² = 30 + 50 = 80 m) olarak bulunur.

  2. Örnek 230 m/s sabit hızla ilerleyen bir tren, istasyona yaklaşırken sabit ivmeyle yavaşlamaya başlıyor ve 150 metre yol alarak duruyor. Trenin yavaşlama ivmesinin büyüklüğü kaç m/s² ve durma süresi kaç saniyedir?

    Cevabı göster

    Ortalama hızdan süreyi bulalım: Δx = [(v₀ + v) / 2] · t → 150 = [(30 + 0) / 2] · t → 150 = 15 · t → t = 10 s bulunur. İvmenin büyüklüğü ise a = Δv / Δt = 30 / 10 = 3 m/s² (veya v² = v₀² - 2·a·Δx → 0 = 900 - 2·a·150 → 300a = 900 → a = 3 m/s²) olur.

  3. Örnek 3Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda 80 metre yükseklikteki bir kuleden serbest bırakılan bir taş kaç saniyede yere çarpar ve yere çarpma hızı kaç m/s olur? (g = 10 m/s²)

    Cevabı göster

    h = ½ · g · t² formülünden 80 = ½ · 10 · t² → 80 = 5 · t² → t² = 16 → t = 4 saniye bulunur. (5 + 15 + 25 + 35 = 80 m kuralıyla da 4 s olduğu görülür.) Yere çarpma hızı ise v = g · t = 10 · 4 = 40 m/s olur.

  4. Örnek 4İvme-zaman (a-t) grafiğinde bir aracın 0-4 s aralığında ivmesi +3 m/s², 4-8 s aralığında ise -2 m/s² olarak verilmiştir. Aracın t = 0 anındaki ilk hızı 10 m/s olduğuna göre t = 8 s anındaki hızı kaç m/s'dir?

    Cevabı göster

    a-t grafiğinin altında kalan alan hız değişimini (Δv) verir. 0-4 s aralığında Δv₁ = (+3) · 4 = +12 m/s; 4-8 s aralığında Δv₂ = (-2) · 4 = -8 m/s olur. Toplam hız değişimi Δv_top = 12 - 8 = +4 m/s'dir. Son hız v = v₀ + Δv_top = 10 + 4 = 14 m/s bulunur.

  5. Örnek 5Aynı yolda hareket eden iki otomobilden K'nin hızı v, L'nin hızı ise 3v'dir. Her iki sürücü de aynı anda frene basıp eşit büyüklükteki sabit ivmelerle yavaşlayarak durduğuna göre, K aracının fren mesafesi 12 metre ise L aracının fren mesafesi kaç metredir?

    Cevabı göster

    Durma (fren) mesafesi Δx = v₀² / (2a) bağıntısına göre ilk hızın karesiyle doğru orantılıdır. L aracının hızı K'nin 3 katı (3v) olduğundan fren mesafesi 3² = 9 katı olacaktır. Buna göre Δx_L = 9 · 12 = 108 metre bulunur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Durgun halden sabit 6 m/s² ivme ile harekete geçen bir otomobilin 4 saniye sonunda aldığı yol kaç metredir?

  2. 2Hava sürtünmesinin önemsiz olduğu bir ortamda serbest bırakılan bir cisim yere 5 saniyede çarpıyor. Buna göre cismin hareketinin son saniyesinde (4. ve 5. saniyeler arasında) aldığı yol kaç metredir? (g = 10 m/s²)

  3. 3Sabit ivmeli hareket ve grafiklerle ilgili aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Hız-zaman (v-t) grafiğinin zaman ekseni ile arasında kalan alan hareketlinin yer değiştirmesini verir.
    • Negatif yönde hareket eden (-v) bir cisme negatif yönlü bir ivme (-a) uygulanırsa cisim yavaşlar.
    • İvme-zaman (a-t) grafiğinin altında kalan alan doğrudan cismin son hızını verir.

  4. 4Serbest düşme ve hareket denklemleriyle ilgili aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Hava direncinin ihmal edildiği ortamda aynı yükseklikten serbest bırakılan demir bilye ile tüy aynı sürede yere ulaşır.
    • Sabit ivmeyle yavaşlayarak duran bir aracın fren mesafesi, ilk hızının karesiyle doğru orantılıdır.
    • Serbest düşmeye bırakılan bir cismin hızı her saniye 5 m/s artar.

  5. 5Aşağıdaki fiziksel nicelikleri veya grafik özelliklerini karşılık gelen bağıntı ya da kavramlarla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Sabit ivmeli harekette konum-zaman (x-t) grafiği doğrusal değil, bir eğridir.
    2. Hız vektörü ile ivme vektörü birbirine yönlü ise hareketli yavaşlar.
    3. Hava direncinin ihmal edildiği ortamda ilk hızsız bırakılan cisimlerin yer çekimi etkisindeki hareketine düşme denir.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun sayısal değerlerle tamamlayınız.

    1. Durgun halden sabit ivmeyle harekete geçen bir araç ilk saniyede x kadar yol alırsa, ikinci saniye içinde kadar yol alır.
    2. İlk hızı 10 m/s, son hızı 30 m/s olan sabit ivmeli bir hareketlinin ortalama hızı m/s'dir.
    3. Serbest bırakılan bir cisim (g = 10 m/s²) 3 saniye sonunda toplam metre düşer.

  8. 8İlk hızı 20 m/s olan bir otomobil, doğrusal bir yolda 2 m/s² sabit ivme ile 6 saniye boyunca hızlanıyor ve ardından ulaştığı sabit hızla 4 saniye daha yoluna devam ediyor. Otomobilin 10 saniye sonundaki toplam yer değiştirmesini adım adım hesaplayınız.

Kısaca

  • Hız-zaman (v-t) grafiğinin eğimi ivmeyi (a = Δv / Δt), zaman ekseniyle arasındaki alan ise yer değiştirmeyi (Δx) verir.
  • İvme-zaman (a-t) grafiğinin zaman ekseniyle arasındaki alan, cismin o süredeki hız değişimini (Δv = a · Δt) verir.
  • Hız ve ivme vektörleri aynı yönlü (+v,+a veya -v,-a) ise cisim hızlanır; zıt yönlü (+v,-a veya -v,+a) ise cisim yavaşlar.
  • Sabit ivmeli harekette temel bağıntılar v = v₀ + a·t, Δx = v₀·t + ½·a·t² ve zamansız hız denklemi v² = v₀² + 2·a·Δx şeklindedir.
  • Hava direncinin ihmal edildiği ortamda ilk hızsız bırakılan cisimler g ≈ 10 m/s² sabit ivmeyle serbest düşer ve ardışık saniyelerde 5 m, 15 m, 25 m, 35 m yol alır.
  • Sabit ivmeyle yavaşlayarak duran bir aracın fren mesafesi (Δx = v₀² / 2a), ilk hızının karesiyle doğru orantılıdır.

Bu dersin öteki kaynakları