Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu ve Alanı

Bir dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit olduğu için dört kenardan yalnız iki farklı uzunluk vardır: kısa kenar (a) ve uzun kenar (b). Çevre, dört kenarın toplamı olduğundan Çevre = a + b + a + b = 2 × (a + b) yazılır. Bu eşitliği tersinden okursak çevre verildiğinde ilk yapılacak işi buluruz: Çevre uzunluğunu 2'ye bölmek. Elde edilen sayıya yarı çevre diyoruz ve olası her kenar çiftinin toplamı bu sayıya eşit olmak zorundadır.

Olası kenar uzunluklarını hiçbirini atlamadan bulmak için sistemli listeleme yaparız: Kısa kenara 1'den başlayarak sırayla 1, 2, 3, ... değerlerini veririz; her seferinde uzun kenarı yarı çevre − kısa kenar işlemiyle buluruz. Kısa kenar uzun kenarı geçmeye başladığı anda dururuz; çünkü örneğin 3 cm × 7 cm ile 7 cm × 3 cm aynı dikdörtgenin döndürülmüş hâlidir, yeni bir dikdörtgen değildir. Çevresi 20 cm olan dikdörtgenler için yarı çevre 10 cm'dir ve liste (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5) olmak üzere 5 çiftten oluşur.

Bu inceleme bize iki önemli yargı da kazandırır. Birincisi, kenarları doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevresi daima çift sayıdır; çünkü bir doğal sayının 2 katı her zaman çifttir. Çevresi 15 cm veya 27 cm gibi tek sayı olarak verilen bir dikdörtgenin kenarları doğal sayı olamaz. İkincisi, yarı çevre bilindiğinde kaç farklı dikdörtgen çizilebileceğini listelemeden de tahmin edebiliriz: Yarı çevre çiftse yarısı kadar, tekse yarısından küçük en büyük doğal sayı kadar dikdörtgen vardır (yarı çevre 10 ise 5, yarı çevre 11 ise 5 dikdörtgen).

Kenar uzunluklarını listelemek işin bir yarısıdır; diğer yarısı bu dikdörtgenleri somut olarak oluşturmaktır. En kullanışlı araç kareli kâğıttır: Her karenin kenarı 1 birim kabul edilir, dikdörtgenin kenarları ızgara çizgilerinin üzerinden çizilir ve kenar uzunluğu, kenar boyunca kaç kare kenarı olduğu sayılarak bulunur. Çevresi 16 birim olan bir dikdörtgen çizmek isteyen öğrenci önce yarı çevreyi (8 birim) bulur, sonra örneğin 3 birim sağa, 5 birim yukarı, 3 birim sola ve 5 birim aşağı giderek başladığı noktaya döner.

Aynı çalışma geometri tahtasında lastikle, eş uzunlukta çubuklarla (her çubuk 1 birim) veya bir iple de yapılabilir. Örneğin 16 tane eş çubuk verildiğinde bunların hepsini kullanarak oluşturulabilecek dikdörtgenler, çevresi 16 birim olan dikdörtgenlerdir: 1 çubuk-7 çubuk, 2 çubuk-6 çubuk, 3 çubuk-5 çubuk ve 4 çubuk-4 çubuk. Uçları birleştirilmiş 16 cm'lik bir ipi dört parmakla gerip köşeleri dik tuttuğumuzda da hep 16 cm çevreli dikdörtgenler elde ederiz; ip uzamadığı ve kısalmadığı için çevre değişmez.

Oluşturduğumuz dikdörtgeni mutlaka kontrol etmeliyiz: Karşılıklı kenarlar eşit mi, köşeler dik mi ve dört kenarın toplamı istenen çevreyi veriyor mu? Bu kontrol, 3 + 5 + 3 + 5 = 16 gibi bir toplama işlemiyle hemen yapılır. Bir kenarı verilen dikdörtgen istenirse diğer kenar yarı çevre − verilen kenar işlemiyle bulunur; çevresi 18 birim ve bir kenarı 2 birim olan dikdörtgenin diğer kenarı 9 − 2 = 7 birimdir.

Bir önceki bölümde çevresi 16 birim olan dört farklı dikdörtgen oluşturduk. Şimdi bunun nedenini açıklayalım. Çevre yalnız iki kenarın toplamına (yarı çevreye) bağlıdır; iki kenarın tek tek ne olduğuna bağlı değildir. Toplamı 8 olan pek çok doğal sayı çifti bulunduğu için (1 ve 7, 2 ve 6, 3 ve 5, 4 ve 4) çevresi 16 olan birden fazla dikdörtgen vardır. Yani çevre bir dikdörtgeni tek başına belirlemez; aynı çevre, birbirinden farklı görünen dikdörtgenlere ait olabilir.

Bu durumu kenar aktarma düşüncesiyle de açıklayabiliriz. 1 × 7 dikdörtgeninin kısa kenarına 1 birim ekleyip uzun kenarından 1 birim çıkarırsak 2 × 6 dikdörtgenini elde ederiz. Bir kenar ne kadar uzadıysa diğeri o kadar kısaldığı için toplam yine 8, çevre yine 16 olur. Bu aktarmayı kenarlar eşitlenene kadar sürdürebiliriz: 1 × 7 → 2 × 6 → 3 × 5 → 4 × 4. Uçları birleşik ip modelinde de durum aynıdır; ipin biçimini değiştirmek ipin boyunu değiştirmez.

Açıklama yaparken matematiksel gerekçe göstermeliyiz: «Dikdörtgenler farklı çünkü kenar uzunlukları farklı; çevreleri aynı çünkü her birinde bir kısa ve bir uzun kenarın toplamı aynı.» Bu cümle hem benzerliği hem farkı açıklar. Bir arkadaşımız «Çevreleri aynıysa dikdörtgenler de aynıdır» derse, ona 2 × 6 ve 3 × 5 dikdörtgenlerini karşı örnek olarak gösterebiliriz: İkisinin de çevresi 16 birimdir ama biri ince uzun, diğeri kareye daha yakındır.

Çevre bir şeklin sınırının uzunluğudur, alan ise şeklin kapladığı yüzeyin büyüklüğüdür. Uzunluğu bir cetvelle ölçeriz; peki bir yüzeyi neyle ölçeriz? Bir yüzeyi ölçmek için onu kaplayabilecek, birbirinin aynısı (eş) parçalar seçeriz. Bu parçalara ölçüt denir. Dikdörtgen yüzeyleri ölçmek için en uygun ölçüt birim karedir; çünkü kareler boşluk bırakmadan yan yana ve üst üste dizilebilir, dikdörtgenin dik köşelerine tam oturur.

Seçtiğimiz birim karenin büyüklüğü sonucu doğrudan etkiler. Kısa kenarı 4 cm, uzun kenarı 6 cm olan bir kartı kenarı 1 cm olan karelerle kaplarsak 24 kare, kenarı 2 cm olan karelerle kaplarsak 6 kare kullanırız. Kartın yüzeyi değişmedi, yalnız ölçüt değişti. Buradan şu yargıya ulaşırız: Birim kare büyüdükçe kaplamak için gereken kare sayısı azalır, birim kare küçüldükçe artar. Bu nedenle bir alanı söylerken «24» demek yetmez; «kenarı 1 cm olan 24 birim kare» ya da kısaca 24 santimetrekare demeliyiz.

Ölçütü seçerken yüzeyin büyüklüğünü de düşünürüz. Bir defter sayfası için kenarı 1 cm olan kare (santimetrekare), sınıfın tabanı için kenarı 1 m olan kare (metrekare) uygundur. Sınıf tabanını santimetrekarelerle ölçmeye kalkarsak binlerce kare saymamız gerekir; bir silgiyi metrekareyle ölçmeye çalışırsak ölçüt yüzeyden büyük kalır. Herkesin aynı sonucu bulabilmesi için ortak kabul edilen bu birimlere standart birimler denir; yapışkan not kâğıdı, fayans veya kareli kâğıt karesi gibi ölçütler ise standart olmayan ölçütlerdir.

Ölçütü seçtikten sonra sıra ölçmeye gelir. Bir dikdörtgenin alanını birim karelerle ölçmek, dikdörtgenin içini bu karelerle tamamen kaplamak ve kullanılan kareleri saymak demektir. Ölçümün doğru olması için iki kurala mutlaka uyulur: Kareler arasında boşluk bırakılmaz ve kareler üst üste bindirilmez. Boşluk bırakılırsa ölçülmeyen yerler kalır ve alan olduğundan küçük bulunur; kareler üst üste binerse aynı yer iki kez sayılır ve sonuç güvenilmez olur.

Kaplanmış bir dikdörtgendeki kareleri saymanın birkaç yolu vardır. En basiti kareleri tek tek saymaktır; ancak kare sayısı arttıkça bu yol yorucu olur ve sayma hatasına açıktır. Daha düzenli yol sıra sıra saymaktır: Kısa kenarı 3 birim, uzun kenarı 5 birim olan bir dikdörtgende her sırada 5 kare, toplam 3 sıra vardır; 5 + 5 + 5 = 15 birimkare buluruz. Aynı dikdörtgeni sütun sütun da sayabiliriz: 5 sütunun her birinde 3 kare vardır ve 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 eder. İki yolun aynı sonucu vermesi ölçümümüzün doğruluğunu da kontrol eder.

Bazen dikdörtgenin tamamı değil, yalnız bir kısmı kaplanmış olabilir. Örneğin bir duvarın ilk sırasına 8 fayans, ilk sütununa 6 fayans döşenmişse geri kalanını tek tek döşemeden de tüm duvarın kaç fayans tutacağını söyleyebiliriz: 6 sıranın her birinde 8 fayans olacağından 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 48 fayans gerekir. Bu düşünce, birim kare sayısının kenarlarla ilişkisini incelemeye açılan kapıdır.

Birim karelerle kaplanmış bir dikdörtgene dikkatle bakalım. Bir sıradaki kare sayısı, o sıranın uzandığı kenarın uzunluğuna eşittir; çünkü kenar boyunca her 1 birime bir kare düşer. Sıra sayısı da ardışık kenarın uzunluğuna eşittir; çünkü o kenar boyunca her 1 birimde yeni bir sıra başlar. Uzun kenarı 7 birim, kısa kenarı 4 birim olan bir dikdörtgende her sırada 7 kare, toplam 4 sıra bulunur ve birim kare sayısı 7 + 7 + 7 + 7 = 4 × 7 = 28 olur.

Bu gözlemi farklı dikdörtgenlerle denediğimizde her seferinde aynı sonuca ulaşırız: Sayarak bulduğumuz birim kare sayısı, iki ardışık kenarın uzunluklarının çarpımına eşittir; toplamına değil. Örneğin 3 × 4 dikdörtgeninde 12 birim kare vardır; 3 + 4 = 7 bu sayıyı vermez. Böylece genel bir yargıda bulunabiliriz: Dikdörtgenin alanı = kısa kenar × uzun kenar ya da kısaca Alan = a × b. Ardışık kenarlar bir köşede birleşen kenarlardır; karşılıklı iki kenarı çarpmak bir anlam taşımaz.

Bu bağıntı bize büyük bir kolaylık sağlar: Artık her kareyi çizip saymak zorunda değiliz. Kenarları 12 m ve 9 m olan bir sınıf tabanının alanını, tabanı metrekarelik karelere ayırmadan 12 × 9 = 108 m² olarak buluruz. Yine de bağıntının nereden geldiğini unutmamalıyız; a × b, aslında «b birim karelik a tane sıra» demektir. Alan bulunurken iki kenarın aynı birimle verildiğinden emin oluruz; kenarlar cm ise alan cm², m ise alan m² olur.