Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu ve Alanı

Geçen hafta birim karelerle kaplanmış dikdörtgenlerde şunu gözlemledik: Her sırada uzun kenar kadar kare vardır ve kısa kenar kadar sıra oluşur. Bu yüzden birim kare sayısı sıra sayısı × bir sıradaki kare sayısı işlemiyle, yani Alan = a × b bağıntısıyla bulunur. Bir bağıntıya güvenmek için onu farklı durumlarda sınamak gerekir. Kısa kenarı 3, uzun kenarı 5 birim olan dikdörtgeni kaplayıp saydığımızda 15 kare buluruz; 3 × 5 = 15 işlemi de aynı sonucu verir. Kare biçimli 4 × 4 dikdörtgende 16 kare sayarız; 4 × 4 = 16 yine tutar. Bağıntı her denemede sayma sonucuyla aynı çıktığı için genel bir yargı olarak kullanılabilir.

Bağıntının ne dediğini anlamak, kenarlar değiştiğinde alanın nasıl değişeceğini hesaplamadan önce tahmin etmemizi sağlar. 3 × 5 dikdörtgeninin kısa kenarını 2 katına çıkarıp 6 yaparsak sıra sayısı 3'ten 6'ya çıkar; her sırada yine 5 kare olduğundan alan da 15'ten 30'a, yani 2 katına çıkar. İki kenarı birden 2 katına çıkarırsak (6 × 10) alan 60 olur; bu 15'in 4 katıdır, çünkü hem sıra sayısı hem bir sıradaki kare sayısı 2 katına çıkmıştır. Kısa kenara yalnız 1 birim eklersek (4 × 5) dikdörtgene bir sıra eklenmiş olur ve alan bir sıradaki kare sayısı kadar, yani 5 birimkare artarak 20 olur.

Bağıntı iki yönlü de kullanılabilir. Kenarlar biliniyorsa alan çarpmayla bulunur; alan ve bir kenar biliniyorsa diğer kenar bölmeyle bulunur, çünkü çarpma ile bölme birbirinin tersidir. Alanı 40 cm² ve bir kenarı 5 cm olan dikdörtgenin diğer kenarı 40 ÷ 5 = 8 cm'dir; kontrol için 5 × 8 = 40 işlemine bakarız. Bu düşünce, haftanın geri kalanında alanı verilen dikdörtgenleri incelerken temel aracımız olacak. Unutmayalım: Kenarlar aynı birimle ölçülmeli, sonuç birim kare olarak (cm², m², birimkare) söylenmelidir.

Çevresi verilen dikdörtgenlerde kenar çiftlerinin toplamı yarı çevreye eşit olmak zorundaydı. Alanı verilen dikdörtgenlerde ise kenar çiftlerinin çarpımı alana eşit olmak zorundadır. Örneğin alanı 12 birimkare olan bir dikdörtgen için 12 kareyi düzgün sıralara dizmeye çalışırız: 1 sırada 12 kare, 2 sırada 6'şar kare ya da 3 sırada 4'er kare dizilebilir. 5 sıraya eşit biçimde dizmeye çalışırsak kareler yetmez ya da artar; çünkü 12 sayısı 5'e kalansız bölünmez. Demek ki alanı 12 birimkare olan ve kenarları doğal sayı olan dikdörtgenler 1 × 12, 2 × 6 ve 3 × 4 boyutlarındadır.

Hiçbir dikdörtgeni atlamamak için yine sistemli listeleme yaparız: Kısa kenara 1'den başlayarak sırayla 1, 2, 3, ... değerlerini veririz. Her değer için alanın bu sayıya kalansız bölünüp bölünmediğine bakarız. Kalansız bölünüyorsa bölüm uzun kenardır; kalan varsa o değeri atlarız. Kısa kenarın kendisiyle çarpımı alanı geçtiği anda dururuz, çünkü bundan sonra bulunacak çiftler öncekilerin döndürülmüş hâlidir. Alanı 36 birimkare için 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 ve 6 × 6 çiftlerini buluruz; 5 değeri atlanır, 7 × 7 = 49 alanı geçtiği için 6'da durulur.

Bu listelerden ilginç sonuçlar da çıkar. Alanı 7, 13 veya 17 birimkare gibi yalnız 1'e ve kendisine bölünen bir sayı olan dikdörtgenler için tek bir dikdörtgen vardır: 1 × 7, 1 × 13, 1 × 17. Alan 16, 25 veya 36 gibi bir sayının kendisiyle çarpımına eşitse listede bir kare de bulunur. Ayrıca alan bilgisinin yanında bir kenar da verilirse dikdörtgen tek olarak belirlenir: Alanı 36 birimkare ve bir kenarı 4 birim olan dikdörtgenin diğer kenarı 36 ÷ 4 = 9 birimdir.

Alanı verilen bir dikdörtgenin çevresini bulmak için önce kenar uzunluklarını bilmemiz gerekir; çünkü çevre kenarların toplamıyla hesaplanır. Bu yüzden iki adımlı çalışırız: 1) Alanı veren kenar çiftlerini sistemli olarak listeleriz. 2) Her çift için Çevre = 2 × (a + b) işlemini yaparız. Alanı 24 birimkare olan dikdörtgenleri ele alalım. Kenar çiftleri (1, 24), (2, 12), (3, 8) ve (4, 6)'dır. Bunların çevreleri sırasıyla 2 × 25 = 50, 2 × 14 = 28, 2 × 11 = 22 ve 2 × 10 = 20 birimdir.

Bu sonuç bize önemli bir şey söyler: Aynı alana sahip dikdörtgenlerin çevre uzunlukları farklı olabilir. Dört dikdörtgenin de içinde tam 24 birim kare vardır; ama 1 × 24 dikdörtgeni ince uzun bir şerit gibi olduğu için sınırı çok uzundur. Aynı 24 kareyi 4 × 6 biçiminde toplu bir düzene sokunca sınır kısalır. 24 kareyi yan yana dizilmiş bir tren gibi düşünün: Kareler tek sırada dizildiğinde birçok kenar dışarıda kalır; sıralar üst üste toplandıkça karelerin kenarları birbirine değer ve dışarıda kalan sınır azalır.

Sorularda yalnız alan verilip «Bu dikdörtgenin çevresi kaçtır?» diye sorulursa tek bir cevap veremeyiz; olası bütün çevreleri yazmamız ya da ek bilgi istememiz gerekir. Örneğin alanı 36 birimkare olan dikdörtgenlerin çevresi 74, 40, 30, 26 veya 24 birim olabilir. Ama alanın yanında bir kenar da verilirse çevre tek olarak bulunur: Alanı 36 birimkare ve kısa kenarı 3 birim olan dikdörtgenin uzun kenarı 36 ÷ 3 = 12 birim, çevresi 2 × (3 + 12) = 30 birimdir.

Şimdi soruyu tersinden soralım: Çevresi bilinen bir dikdörtgenin alanı kaç olabilir? Yine iki adımla çalışırız: 1) Çevreyi 2'ye bölüp yarı çevreyi bulur, toplamı yarı çevreye eşit olan kenar çiftlerini sistemli olarak listeleriz. 2) Her çift için Alan = a × b işlemini yaparız. Çevresi 20 birim olan dikdörtgenlerin yarı çevresi 10 birimdir. Kenar çiftleri (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6) ve (5, 5)'tir; alanları ise sırasıyla 9, 16, 21, 24 ve 25 birimkaredir.

Buradan şu yargıya ulaşırız: Aynı çevre uzunluğuna sahip dikdörtgenlerin alanları farklı olabilir. Geçen hafta kenar aktarmanın (bir kenara eklenip diğerinden çıkarılan eşit uzunluk) çevreyi değiştirmediğini görmüştük. Kenar aktarma çevreyi korur ama alanı değiştirir; çünkü çevre kenarların toplamına, alan ise kenarların çarpımına bağlıdır. 1 × 9'dan 2 × 8'e geçerken toplam 10'da kalır, çarpım ise 9'dan 16'ya çıkar. Uçları birleşik 20 cm'lik bir iple dikdörtgenler oluşturduğumuzu düşünelim: İpin boyu hiç değişmez ama ipin çevirdiği yüzey, şekil ince uzundan kareye doğru açıldıkça genişler.

Alanların nasıl değiştiğine yakından bakalım: 9 → 16 → 21 → 24 → 25. Artış miktarları 7, 5, 3, 1 şeklindedir; alan her adımda artar ama artış giderek küçülür ve kareye ulaşıldığında en büyük değere varılır. Çevresi verilen bir dikdörtgenin alanı sorulduğunda da tek cevap veremeyiz; ek bilgi yoksa olası bütün alanları yazarız. Bir kenar verildiğinde ise alan tek olarak bulunur: Çevresi 20 birim ve kısa kenarı 3 birim olan dikdörtgenin uzun kenarı 10 − 3 = 7 birim, alanı 3 × 7 = 21 birimkaredir.

Önceki iki bölümde elde ettiğimiz listeleri yan yana koyunca ortak bir düzen görürüz. Dikdörtgenleri en ince uzun olandan kareye en yakın olana doğru sıraladığımızda: Alan sabitse çevre sürekli azalır; çevre sabitse alan sürekli artar. Alanı 36 birimkare olan dikdörtgenlerde çevreler 74, 40, 30, 26, 24 diye küçülür ve en küçük çevre 6 × 6 karesindedir. Çevresi 24 birim olan dikdörtgenlerde alanlar 11, 20, 27, 32, 35, 36 diye büyür ve en büyük alan yine 6 × 6 karesindedir.

Her listede kare bulunmayabilir. Alanı 20 birimkare olan dikdörtgenler 1 × 20, 2 × 10 ve 4 × 5'tir; 20 bir sayının kendisiyle çarpımı olmadığı için kare yoktur. Bu durumda en küçük çevre kareye en yakın dikdörtgende, yani kenarları arasındaki fark en az olan 4 × 5'te görülür (18 birim). Çevresi 22 birim olan dikdörtgenlerde yarı çevre 11 tek sayı olduğu için kare oluşmaz; en büyük alan kenarları 5 ve 6 olan dikdörtgendedir (30 birimkare). Kenarlar arasındaki farka bakmak, hangi dikdörtgenin kareye daha yakın olduğunu anlamanın kolay bir yoludur.

Bu düzeni bir yargı olarak şöyle ifade edebiliriz: «Kenar uzunlukları doğal sayı olan dikdörtgenler arasında, aynı alana sahip olanların en küçük çevreli olanı, aynı çevreye sahip olanların en büyük alanlı olanı kare ya da kareye en yakın dikdörtgendir.» Bu yargıyı yeni bir sayıyla sınamak her zaman iyi bir alışkanlıktır. Örneğin çevresi 12 birim olan dikdörtgenlerin alanlarını (1 × 5 = 5, 2 × 4 = 8, 3 × 3 = 9) bularak en büyük alanın 3 × 3 karesinde olduğunu kendin doğrulayabilirsin.

Çevre ve alan aynı dikdörtgene ait iki farklı niceliktir: Çevre sınırın uzunluğunu, alan kaplanan yüzeyi ölçer. Pek çok öğrenci, biri büyüyünce diğerinin de büyüyeceğini düşünür. Bu düşünceyi sınayalım: Kenarları 1 ve 9 birim olan A dikdörtgeninin çevresi 20 birim, alanı 9 birimkaredir. Kenarı 4 birim olan B karesinin çevresi 16 birim, alanı 16 birimkaredir. A'nın çevresi daha büyük, ama alanı daha küçüktür. Demek ki çevresi büyük olan dikdörtgenin alanı küçük olabilir; tek bir karşı örnek, «çevre büyükse alan da büyüktür» genellemesini çürütür.

Haftanın bütün çalışmalarını iki temel yargıda toplayabiliriz: 1) Aynı çevre uzunluğuna sahip dikdörtgenlerin alanları farklı olabilir (2 × 8 ve 5 × 5 dikdörtgenlerinin çevresi 20 birim, alanları 16 ve 25 birimkaredir). 2) Aynı alana sahip dikdörtgenlerin çevre uzunlukları farklı olabilir (1 × 24 ve 4 × 6 dikdörtgenlerinin alanı 24 birimkare, çevreleri 50 ve 20 birimdir). Yargıyı kurarken «olabilir» kelimesine dikkat ederiz: Bu, her zaman farklı olacağı anlamına gelmez. Aynı dikdörtgeni döndürdüğümüzde hem çevre hem alan aynı kalır; iki farklı dikdörtgenin çevresi ve alanı aynı anda eşitse aslında kenar uzunlukları da aynıdır.

Bu ilişkiler gündelik yaşamda da karşımıza çıkar; burada amacımız problem çözmek değil, durumları yorumlamaktır. Aynı uzunlukta bir çitle farklı biçimlerde çevrilen bahçelerin içindeki ekim alanı farklı olur. Aynı sayıda eş kare halıyla döşenen iki oda farklı biçimdeyse süpürgelik uzunlukları farklı olur. Bir durumu yorumlarken önce hangi niceliğin sabit tutulduğunu (çit uzunluğu mu, halı sayısı mı) belirler, sonra diğer niceliğin nasıl değişebileceğini kenar çiftlerini listeleyerek gerekçelendiririz. İlginç bir not olarak 4 × 4 karesinde ve 3 × 6 dikdörtgeninde çevre ile alan sayıca eşit çıkar (16 ile 16, 18 ile 18); ancak biri birim, diğeri birimkare olduğu için bu iki nicelik yine de aynı şey değildir.