İçeriğe geç

5. sınıf · Matematik · 6. hafta (19-23 Ekim 2026)

Çokgenler ve Çember: Çokgenlerin Kenar ve Açı Özellikleri

Geometrik Şekiller teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçen hafta çokgenleri, düzlemde ardışık kesişen en az üç doğrunun oluşturduğu kapalı şekiller olarak tanıdın; köşelerini, kenarlarını ve açılarını adlandırıp çokgenleri kenar sayısına göre isimlendirdin. Bu hafta önceki sınıflardan tanıdığın üçgen, kare ve dikdörtgen gibi çokgenlerle ilgili deneyimlerini gözden geçirecek, cetvel ve açıölçerle ölçüm yaparak çokgenlerin kenar ve açı özellikleri üzerine çıkarımlar kuracak, kurduğun çıkarımları farklı örneklerle sınayacaksın.

Deneyimlerini gözden geçir

Çokgenlerle ilk kez karşılaşmıyorsun. Önceki sınıflarda kareyi, dikdörtgeni ve üçgeni çizdin; kenarlarını ve köşelerini adlandırdın; kareli kâğıtta şekiller oluşturdun. Bu hafta o deneyimleri bir araya getirip “Bu şekillerin kenarları ve açıları hakkında kesin olarak ne biliyorum?” sorusunu soracaksın. Bildiklerini gözden geçirmek, yeni çıkarımların başlangıç noktasıdır.

Araçların hazır: Cetvelle kenar uzunluklarını, açıölçerle açı ölçülerini bulabilirsin. İki kenarın uzunluğu eşitse bunlara eş kenarlar, iki açının ölçüsü eşitse bunlara eş açılar dersin. Çizimlerde eş kenarların üzerine aynı sayıda küçük çizgi, eş açılara aynı yay işareti konur; böylece ölçüleri yazmadan hangi kenarların ve açıların eş olduğunu gösterirsin.

Gözden geçirirken sorular sorarak ilerle: Kare ile dikdörtgen neden birbirine benziyor, neden farklı? Her üçgenin açıları birbirine eş mi? Bir dörtgenin bütün kenarları eşken açıları farklı olabilir mi? Bu soruların yanıtlarını önce tahmin et, sonra ölçerek sına; yanıtların bu haftanın çıkarımlarını oluşturacak.

Çıkarım nasıl yapılır? Ölç, karşılaştır, genelle

Çıkarım, gözlemlerinden yola çıkarak ulaştığın genel bir sonuçtur. Örneğin boyutları farklı üç kare çizip kenarlarını cetvelle, açılarını açıölçerle ölç. Birinci karede kenarlar 3 cm, ikincide 5 cm, üçüncüde 7 cm çıksın; üçünde de dört kenar kendi aralarında eş, dört açının her biri 90° olur. Bu gözlemlerden şu çıkarımı yaparsın: Karenin bütün kenarları eş, bütün açıları diktir.

Çıkarım yaparken tek bir örnekle yetinme; birkaç farklı örnekte aynı sonucu görmelisin. Sonra çıkarımını farklı örnekler üzerinden değerlendir: Büyük bir kare, eğik duran bir kare, boş kâğıda çizilmiş bir kare... Hepsinde aynı özellik görülüyorsa çıkarımına güvenin artar. Tek bir örnek bile çıkarımına uymuyorsa buna karşı örnek denir ve çıkarımını düzeltmen gerekir.

Çıkarımın yönüne dikkat et. “Karenin bütün kenarları eştir.” doğru bir çıkarımdır; ama bunu tersine çevirip “Bütün kenarları eş olan her dörtgen karedir.” dersen yanılırsın. Kenarları eş olup açıları dik olmayan dörtgenler vardır; bunları bu hafta göreceksin.

Çizilen kareKenar uzunluklarıAçı ölçüleriGözlem
1. kare3 cm, 3 cm, 3 cm, 3 cm90°, 90°, 90°, 90°4 eş kenar, 4 dik açı
2. kare5 cm, 5 cm, 5 cm, 5 cm90°, 90°, 90°, 90°4 eş kenar, 4 dik açı
3. kare7 cm, 7 cm, 7 cm, 7 cm90°, 90°, 90°, 90°4 eş kenar, 4 dik açı

Dörtgenlerin kenar ve açı özellikleri

Dikdörtgen biçimli bir defter sayfasının kenarlarını ölç: Uzun kenarlar birbirine eş, kısa kenarlar birbirine eş çıkar; dört açının her biri 90° ölçülür. Farklı boyutlarda üç dikdörtgen daha ölçersen aynı sonucu bulursun. Çıkarım: Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eş, dört açısı diktir. Kare de dört dik açılıdır; üstelik dört kenarı birden eştir. Bu yüzden kare, bütün kenarları eş olan özel bir dikdörtgendir.

Şimdi bir karşı örnek düşün: Dört kenarı da 4 cm olan, ama açıları 60°, 120°, 60°, 120° ölçülen bir dörtgen. Kenarları eş olduğu hâlde açıları dik değildir; bu şekil kare değildir. Bu dörtgene eşkenar dörtgen denir. Demek ki kenarların eş olması kare için gerekli, ama tek başına yeterli değildir; açıların da dik olması gerekir.

Açıları dik olup kenarları eş olmayan dörtgen ise dikdörtgendir; yani bütün açıların eş olması da kare için tek başına yeterli değildir. Kare, hem bütün kenarları hem bütün açıları eş olan dörtgendir. Herhangi bir dörtgende ise kenarlar da açılar da birbirinden farklı olabilir; ölçmeden hiçbir eşitliği varsayma.

DörtgenKenarlarıAçıları
KareDördü de eşDördü de dik (90°)
DikdörtgenKarşılıklı kenarlar eşDördü de dik (90°)
Eşkenar dörtgenDördü de eşKarşılıklı açılar eş; dik olmak zorunda değil
Herhangi bir dörtgenEş olmak zorunda değilEş olmak zorunda değil

Üçgenlerin kenar ve açı özellikleri

Üçgen en az kenarlı çokgendir: üç kenarı, üç köşesi, üç açısı vardır. Farklı biçimlerde beş altı üçgen çiz ve her birinin kenarlarını cetvelle, açılarını açıölçerle ölç. Bazı üçgenlerde üç kenar da farklı uzunlukta, bazılarında iki kenar eş, bazılarında üç kenar birden eş çıkar. Kenar uzunluklarına göre üçgen çeşitlerini önceki sınıflardan hatırlıyorsun; gelecek hafta bunları pergelle kuracaksın.

Ölçümler açılar hakkında da bir şey söyler. Üç kenarı eş olan üçgende üç açı da eş çıkar; her biri 60° ölçülür. İki kenarı eş olan üçgende ise eş kenarların karşısındaki iki açı eş ölçülür. Birkaç farklı üçgende aynı sonucu bulduğunda çıkarımını yaz: Bir üçgende eş kenarların karşısındaki açılar eştir.

Üçgenlerin açı türlerine de bak. Üç açısı da dar olan üçgenler çizebilirsin; bir açısı dik ya da bir açısı geniş olan üçgenler de. Peki iki dik açılı bir üçgen çizmeyi dene: Bir kenarın iki ucunda da dik açı yaptığında öbür iki kenar birbirine paralel kalır ve üçüncü köşede buluşamaz. İki geniş açı için de aynı şey olur; kenarlar birbirinden uzaklaşır. Çıkarım: Bir üçgende en fazla bir dik açı ya da en fazla bir geniş açı bulunur.

Düzgün çokgenler

Dörtgenlerde gördüğün gibi bir çokgenin kenarları eş olabilir, açıları eş olabilir ya da ikisi birden eş olabilir. Hem bütün kenarları hem bütün açıları eş olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Üç kenarı ve üç açısı eş olan üçgen düzgün üçgendir; onu eşkenar üçgen adıyla tanıyorsun. Düzgün dörtgen ise karedir.

Bal peteğinin gözlerinden birini ölçersen altı kenarın eş, altı açının da eş (her biri 120°) olduğunu görürsün: düzgün altıgen. Futbol topundaki siyah parçalar düzgün beşgendir; beş kenar eş, beş açının her biri 108° ölçülür. Kenar sayısı kaç olursa olsun kural aynıdır: Düzgün olmak için bütün kenarlar ve bütün açılar eş olmalıdır.

Çıkarımını karşı örneklerle sına. Dikdörtgenin dört açısı eştir ama kenarları eş değildir; eşkenar dörtgenin dört kenarı eştir ama açıları eş değildir. İkisi de düzgün çokgen değildir. Demek ki yalnız kenarlara ya da yalnız açılara bakmak yetmez; iki koşulu birden kontrol etmelisin.

ÇokgenKenarları eş mi?Açıları eş mi?Düzgün mü?
Eşkenar üçgenEvetEvet (her biri 60°)Evet
KareEvetEvet (her biri 90°)Evet
DikdörtgenHayırEvet (her biri 90°)Hayır
Eşkenar dörtgenEvetHayırHayır
Düzgün altıgenEvetEvet (her biri 120°)Evet

Çıkarımlarını farklı örneklerle değerlendir

Bir çıkarımı yazdıktan sonra işin bitmez; onu farklı örnekler üzerinde değerlendirmen gerekir. Örnekleri bilerek çeşitlendir: büyük ve küçük, düz ve eğik duran, kareli kâğıtta ve boş kâğıtta çizilmiş çokgenler. Çıkarımın hepsinde doğru çıkıyorsa onu kabul edersin; birinde bile bozuluyorsa düzeltir ya da sınırlarsın.

Örneğin “Bütün kenarları eş olan dörtgen karedir.” çıkarımını eşkenar dörtgenle sınadığında bozulduğunu gördün. Düzeltilmiş çıkarım şöyledir: “Bütün kenarları eş ve bütün açıları dik olan dörtgen karedir.” Bu yeni cümle, denediğin her örnekte doğru çıkar. Çıkarımı düzeltmek bir hata değil, matematikçilerin olağan çalışma biçimidir.

Haftanın sonunda deneyimini yansıt: Hangi çokgenleri ölçtün, hangi çıkarımlar ilk denemede doğru çıktı, hangilerini düzelttin? Bunları öğrenme günlüğüne kısa cümlelerle yaz. Böylece yalnız sonucu değil, sonuca nasıl ulaştığını da hatırlarsın; gelecek hafta pergelle üçgen kurarken aynı yöntemi kullanacaksın.

ÇıkarımSınama örneğiSonuç
Bütün kenarları eş olan dörtgen karedir.Eşkenar dörtgenBozuldu; “ve bütün açıları dik olan” eklendi
Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eştir.Boyutları farklı üç dikdörtgenDoğrulandı
Bir üçgende en fazla bir dik açı olur.İki dik açılı üçgen çizme denemesiDoğrulandı; çizim kapanmadı
Bütün açıları eş olan çokgen düzgündür.DikdörtgenBozuldu; kenarların da eş olması gerekir

Örnekler

  1. Örnek 1Bir öğrenci kenar uzunluğu 6 cm olan bir kare çizip ölçüyor ve “Dört kenarı da eş, dört açısı da 90°.” diyor. Bu gözlemden hangi çıkarım yapılabilir? Çıkarımı nasıl sınarsın?

    Cevabı göster

    Gözlemden “Karenin bütün kenarları eş, bütün açıları diktir.” çıkarımı yapılabilir. Fakat tek bir örnek yeterli değildir. Sınamak için boyutları farklı kareler çizersin; örneğin kenarı 3 cm ve 8 cm olan kareler. Her birinde dört kenarın eş, dört açının 90° çıktığını görürsen çıkarım desteklenir. Eğik duran bir kare de aynı sonucu verir; çünkü döndürmek kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini değiştirmez.

  2. Örnek 2Bir dikdörtgenin kısa kenarlarından biri 4 cm, uzun kenarlarından biri 7 cm ölçülüyor. Öbür iki kenarın uzunluğunu ve dört açının ölçüsünü ölçmeden söyle.

    Cevabı göster

    Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eştir. Ölçülen kısa kenarın karşısındaki kenar da 4 cm, ölçülen uzun kenarın karşısındaki kenar da 7 cm'dir. Dikdörtgenin dört açısı da diktir; her biri 90° ölçülür. Kenarlar 4 cm, 7 cm, 4 cm ve 7 cm olduğundan dört kenar eş değildir; bu yüzden şekil kare değil, dikdörtgendir.

  3. Örnek 3Bir dörtgenin dört kenarı da 5 cm ölçülüyor. Bir öğrenci “Öyleyse bu şekil karedir.” diyor. Bu düşünceyi değerlendir.

    Cevabı göster

    Karar vermek için bu bilgi yetersizdir. Kare olmak için kenarların eş olması yanında dört açının da dik olması gerekir. Açılar 90° ölçülürse şekil karedir. Açılar örneğin 70°, 110°, 70°, 110° ölçülürse kenarları eş ama açıları dik olmayan bir eşkenar dörtgendir. Öğrenci açıları da ölçmelidir.

  4. Örnek 4Bir ABC üçgeninde |AB| = |AC| = 6 cm ve |BC| = 4 cm'dir. Açıölçerle m(ABC) = 70° bulunuyor. m(ACB) kaç derecedir? Gerekçesini yaz.

    Cevabı göster

    ABC açısı B köşesindedir ve karşısında [AC] kenarı vardır; ACB açısı C köşesindedir ve karşısında [AB] kenarı vardır. |AB| = |AC| olduğundan bu iki kenar eştir. Bir üçgende eş kenarların karşısındaki açılar eş olduğu için m(ACB) = m(ABC) = 70° olur. Açıölçerle ölçersen aynı sonucu bulursun; küçük sapmalar çizim ve okuma hatasından kaynaklanır.

  5. Örnek 5Bir beşgenin beş kenarı da 4 cm, beş açısı da 108° ölçülüyor. Bir dörtgenin ise dört kenarı 4 cm, açıları 80°, 100°, 80°, 100° ölçülüyor. Bu çokgenlerden hangisi düzgün çokgendir?

    Cevabı göster

    Düzgün çokgenin bütün kenarları eş ve bütün açıları eş olmalıdır. Beşgenin beş kenarı 4 cm ile eş, beş açısı 108° ile eştir; bu beşgen düzgün beşgendir. Dörtgenin kenarları eştir ama açıları eş değildir: 80° ve 100° farklıdır. Bu yüzden dörtgen düzgün çokgen değildir; kenarları eş, açıları dik olmayan bir eşkenar dörtgendir.

  6. Örnek 6Bir öğrenci “Bütün açıları eş olan her çokgen düzgündür.” çıkarımını sunuyor. Bu çıkarımı sına; yanlışsa bir karşı örnek ver ve çıkarımı düzelt.

    Cevabı göster

    Çıkarımı dikdörtgenle sınayalım. Kısa kenarı 3 cm, uzun kenarı 7 cm olan bir dikdörtgenin dört açısı da 90° ile eştir; ama kenarları eş değildir. Düzgün çokgen için bütün kenarların da eş olması gerektiğinden dikdörtgen düzgün değildir. Demek ki dikdörtgen bir karşı örnektir ve çıkarım bu hâliyle yanlıştır. Düzeltilmiş çıkarım: “Bütün açıları eş ve bütün kenarları eş olan çokgen düzgündür.”

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Aşağıdaki çokgenlerden hangisi düzgün çokgendir?

  2. 2Bir dikdörtgenin kenar ve açı özellikleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  3. 3Bir üçgenin açıları için aşağıdakilerden hangisi mümkün değildir?

  4. 4Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin doğru, hangilerinin yanlış olduğunu belirle.

    • Kare, bütün kenarları eş olan özel bir dikdörtgendir.
    • Bütün kenarları eş olan her dörtgen karedir.
    • Üç kenarı eş olan üçgenin üç açısı da eştir.
    • Dikdörtgen bir düzgün çokgendir.

  5. 5Çokgenleri kenar ve açı özellikleriyle eşleştir.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştir. Bir kelime artacak.

    1. Bütün kenarları ve bütün açıları eş olan çokgene çokgen denir.
    2. Bir üçgende eş kenarların karşısındaki eştir.
    3. Gözlem ve ölçümlerden yola çıkarak ulaşılan genel sonuca denir.

  7. 7Ali dört kenarı da 5 cm olan bir dörtgen çizdi ve “Bu bir kare.” dedi. Ayşe ise açıları ölçmeden karar verilemeyeceğini söylüyor. Kim haklı? Ali'nin dörtgeninin kare olmadığı bir örnek verebilir misin?

  8. 8Deniz üç farklı dikdörtgen ölçtü ve her birinde karşılıklı kenarları eş buldu; sonra “Her dörtgenin karşılıklı kenarları eştir.” çıkarımını yazdı. Bu çıkarımı farklı örneklerle değerlendir; gerekiyorsa düzelt.

Kısaca

  • Çokgenlerle ilgili önceki deneyimlerini gözden geçirir, cetvelle kenarları ve açıölçerle açıları ölçerek eş kenarları ve eş açıları belirlersin; birden çok ölçümden genel bir sonuca ulaşmaya çıkarım denir.
  • Karenin dört kenarı eş ve dört açısı diktir; dikdörtgenin karşılıklı kenarları eş ve dört açısı diktir. Kare, bütün kenarları eş olan özel bir dikdörtgendir; eşkenar dörtgenin kenarları eş ama açıları dik değildir.
  • Bir üçgende eş kenarların karşısındaki açılar eştir; üç kenarı eş olan üçgenin üç açısı da eştir. Bir üçgende en fazla bir dik açı ya da en fazla bir geniş açı bulunur.
  • Bütün kenarları ve bütün açıları eş olan çokgene düzgün çokgen denir; eşkenar üçgen ve kare düzgün çokgendir, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen değildir.
  • Her çıkarım farklı örneklerle sınanır; tek bir karşı örnek çıkarımın düzeltilmesini gerektirir. Gözlemini, çıkarımını ve sınama örneklerini öğrenme günlüğüne yazarak deneyimini yansıtırsın.

Bu dersin öteki kaynakları