Çokgenler ve Çember

Çember, düzlemde belirli bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu şekildir. Bu sabit noktaya merkez, merkezi çember üzerindeki herhangi bir noktaya birleştiren doğru parçasına yarıçap denir; yarıçap r harfiyle gösterilir. Merkezi A olan bir çemberin üzerinde K noktası varsa [AK] bir yarıçaptır ve |AK| = r olur. Çemberin iki noktasını merkezden geçerek birleştiren doğru parçasına çap denir; çapın uzunluğu yarıçapın iki katıdır.

Bu haftanın bütün keşifleri tek bir gerçeğe dayanır: Aynı çemberin bütün yarıçapları eşit uzunluktadır. Merkezden çember üzerindeki hangi noktaya gidersen git, yolun uzunluğu değişmez. Pergel bu eşitliği kendiliğinden sağlar; çünkü sivri uç merkezde dururken kalemli uç hep aynı açıklıkta döner. Yani pergelle çizdiğin bir çemberin üzerindeki her nokta, merkeze pergelin açıklığı kadar uzaktadır.

Pergelle çember çizerken önce merkezi küçük bir noktayla işaretle, sonra pergelin açıklığını yarıçap kadar ayarla. Kareli kâğıtta merkezi bir kare köşesine koyup açıklığı kare sayısıyla belirleyebilirsin; çizgisiz kâğıtta ise açıklığı cetvelin üzerinde ayarlar, sonra sivri ucu merkeze taşırsın. Sivri ucu hafifçe bastır, pergeli üst kısmından tutarak kalemli ucu tek hamlede döndür. Çizginin başı ile sonu birleşmiyorsa açıklık çizim sırasında kaymış demektir; aynı merkezden yeniden dene.

İki çemberi aynı düzlemde çizdiğinde ortak noktalarının sayısı, merkezler arasındaki uzaklığa ve yarıçaplara bağlıdır. Merkezleri A ve B olan, yarıçapları 3 cm olan iki çember düşün. |AB| = 7 cm ise merkezler, yarıçapların toplamı olan 6 cm’den daha uzaktadır; çemberler birbirine ulaşamaz ve ortak noktaları olmaz. |AB| = 6 cm ise çemberler yalnız bir noktada birbirine değer. |AB| = 4 cm ise çemberler birbirinin içine girer ve iki noktada kesişir.

Bu haftanın konusu iki noktada kesişen çember çiftidir. Böyle bir çiftte kesişim noktalarını C ve D ile adlandıralım. C noktası her iki çemberin de üzerindedir; yani hem A merkezli çemberin hem de B merkezli çemberin bir noktasıdır. Aynı şey D için de geçerlidir. Kesişim noktaları, merkezleri birleştiren AB doğrusunun iki ayrı yanında, birbirinin ayna görüntüsü gibi durur.

Yarıçapları farklı çemberlerde bir şeye daha dikkat etmelisin. Küçük çember büyük çemberin tamamen içinde kalırsa yine ortak nokta oluşmaz. Örneğin yarıçapları 2 cm ve 6 cm olan çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık 1 cm ise küçük çember büyüğün içinde yüzer ve çizgiler birbirine değmez. İki noktada kesişme için merkezler, çemberlerin birbirine ulaşabileceği kadar yakın ama birinin öbürünü yutmayacağı kadar uzak olmalıdır.

Şimdi çizgeçle (ölçüsüz cetvelle) A merkezini C’ye, C’yi B’ye ve B’yi A’ya birleştir. C noktası AB doğrusunun üzerinde olmadığı için karşına ABC üçgeni çıkar. Bu üçgenin kenarlarını tek tek düşünelim. [AC] kenarı, A merkezli çemberin merkezini çember üzerindeki C noktasına birleştirir; yani birinci çemberin bir yarıçapıdır. [BC] kenarı da B merkezli çemberin bir yarıçapıdır. [AB] kenarı ise iki merkezi birleştirir; uzunluğu merkezler arasındaki uzaklıktır.

Bu gözlem sana hiç ölçmeden üçgenin kenar uzunluklarını söyleme gücü verir. Yarıçapları 3 cm ve 3 cm olan çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık 4 cm ise |AC| = 3 cm, |BC| = 3 cm ve |AB| = 4 cm olur. Çizimi cetvelle ölçerek kontrol edersen aynı sayıları bulursun; milimetrelik küçük sapmalar kalemin kalınlığından ya da pergelin kaymasından kaynaklanır.

Öbür kesişim noktası olan D’yi seçseydin ne olurdu? ABD üçgeninde |AD| yine birinci çemberin yarıçapı, |BD| yine ikinci çemberin yarıçapıdır; [AB] iki üçgenin ortak kenarıdır. Yani ABC ve ABD üçgenlerinin kenar uzunlukları birebir aynıdır. Hangi kesişim noktasını seçersen seç aynı türde üçgen elde edersin; bu yüzden “kesişim noktalarından biri” demek yeterlidir.

Üçgenleri kenar uzunluklarına göre üç gruba ayırırsın. Üç kenarının uzunluğu da birbirinden farklı olan üçgen çeşitkenar üçgendir. İki kenarının uzunluğu eşit, üçüncü kenarı farklı olan üçgen ikizkenar üçgendir; eşit kenarlara ikiz kenarlar, üçüncü kenara taban denir. Üç kenarının uzunluğu da eşit olan üçgen eşkenar üçgendir.

Bir üçgenin türünü belirlemek için kenarlarını cetvelle ölçebilirsin; ama bu haftanın yöntemiyle ölçmeye gerek kalmaz. Pergelin açıklığını değiştirmeden çizdiğin iki kenar eşittir. Bir kenar bir çemberin yarıçapıysa uzunluğu o çemberin yarıçapı kadardır. Bu yüzden kesişen çemberlerle kurulan üçgenin türüne yalnız yarıçaplara ve merkezler arasındaki uzaklığa bakarak karar verebilirsin.

Kenarları 3 cm, 3 cm ve 4 cm olan ABC üçgenine dön. İki kenarı eşit, üçüncüsü farklı; demek ki ikizkenar üçgendir. İkiz kenarlar [AC] ile [BC], taban ise [AB] kenarıdır. Çemberlerin yarıçapları eşit olduğu sürece, merkezleri ne kadar yaklaştırıp uzaklaştırırsan uzaklaştır, taban değişir ama ikiz kenarlar eşit kalır.

Matematikçiler gibi düşünelim: Önce varsayımda bulun, sonra örneklerle sına. Örneğin “Yarıçapları eşit iki çemberle kurulan üçgen hep eşkenar olur.” diye tahmin edebilirsin. Bunu sınamak için yarıçapları 3 cm olan iki çemberi merkezleri 4 cm aralıkla çiz. Kenarlar 3 cm, 3 cm, 4 cm çıkar; üçgen eşkenar değil ikizkenardır. Tek bir karşı örnek, varsayımın bu hâliyle yanlış olduğunu gösterir. O zaman varsayımı düzeltirsin: “Yarıçapları eşit çemberlerle kurulan üçgenin en az iki kenarı eşittir.”

Peki eşkenar üçgen ne zaman çıkar? |AB| de yarıçapa eşit olmalıdır. Yarıçapları 3 cm olan çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık 3 cm ise kenarlar 3 cm, 3 cm, 3 cm olur. Bu, her çemberin merkezinin öbür çemberin üzerinde durması demektir: A merkezli çemberi çizdikten sonra B noktasını bu çemberin üzerinde seçer ve aynı açıklıkla ikinci çemberi çizersen eşkenar üçgen hazırdır.

Yarıçapları farklı çemberlere geçelim. Yarıçapları 3 cm ve 5 cm, merkezler arasındaki uzaklık 4 cm ise kenarlar 3 cm, 5 cm, 4 cm olur; bu bir çeşitkenar üçgendir. Ama merkezler arasındaki uzaklığı 5 cm yaparsan kenarlar 3 cm, 5 cm, 5 cm çıkar ve üçgen ikizkenar olur. Demek ki yarıçapları farklı çemberlerle de ikizkenar üçgen kurabilirsin; yeter ki merkezler arasındaki uzaklık yarıçaplardan birine eşit olsun. Yarıçaplar farklıyken eşkenar üçgen ise hiç çıkmaz; çünkü |AC| ile |BC| daha baştan farklıdır.

Bulduklarını sınanabilir önermeler olarak yazmak sürecin son adımıdır. Önerme, doğru ya da yanlış olduğuna karar verilebilen bir cümledir. Her önermeyi yeni çizimlerle dener, karşı örnek bulursan düzeltirsin; birçok farklı örnekte doğru çıkıyorsa önermene güvenin artar. Aşağıdaki tablo bu haftanın önermelerini örnekleriyle bir araya getirir.

Kâğıtta her yeni durum için yeni bir çizim gerekir; GeoGebra gibi bir dinamik matematik yazılımında ise tek çizimi sürükleyerek yüzlerce durumu izleyebilirsin. Şu adımları izle: Önce nokta aracıyla A ve B noktalarını işaretle. Sonra merkez ve yarıçapla çember aracını seçip merkezi A, yarıçapı 3 olan çemberi; ardından merkezi B, yarıçapı 3 olan ikinci çemberi çiz. Kesiştir aracıyla iki çemberin kesişim noktaları C ve D’yi oluştur. Çokgen aracıyla A, B, C köşelerine sırayla tıklayıp üçgeni kapat. Son olarak uzaklık veya uzunluk aracıyla üç kenarın uzunluğunu ekrana yazdır.

Şimdi taşı aracını seç ve B noktasını sürükle. Ekrandaki sayıları izle: |AC| ve |BC| hiç değişmez; çünkü bunlar yarıçaptır. Yalnız |AB| değişir. B’yi A’ya yaklaştırdıkça taban kısalır, uzaklaştırdıkça uzar; |AB| tam 3 olduğunda üç kenar eşitlenir ve eşkenar üçgen belirir. B’yi 6 birimden daha uzağa götürürsen çemberler ayrılır; kesişim noktaları ve üçgen ekrandan silinir.

Bir sürgü (kaydırıcı) oluşturup ikinci çemberin yarıçapını bu sürgüye bağlarsan yarıçapları da değiştirebilirsin. Sürgüyü oynattıkça |BC| değişir; yarıçaplar eşitken ikizkenar olan üçgen, yarıçaplar farklılaşınca çeşitkenara dönüşür. Her değişimde önce tahmin et, sonra ekrandaki uzunluklara bak; tahminin tutuyorsa önermen güçlenir, tutmuyorsa önermeni gözden geçirirsin.

Somut araçlarla dijital aracı karşılaştır: Pergel el becerini geliştirir ve çizimin her adımını sana hissettirir; yazılım ise ölçümleri anında verir, yüzlerce durumu saniyeler içinde dener ve çizimi bozmadan değiştirmene izin verir. İkisini birlikte kullanmak en sağlam yoldur.

Pergelle kurduğun üçgenler, cetvelle ölçerek çizdiklerinden daha güvenilirdir. Cetvelle ölçerken milimetrelik okuma hataları olur; pergel ise aynı açıklığı olduğu gibi aktarır. Eşkenar üçgenin özelliklerini incelemek istediğinde çok sayıda tam eşkenar üçgene ihtiyaç duyarsın; bu yöntem onları hızlı ve kusursuz biçimde verir. İkizkenar üçgen için de aynı şey geçerlidir: Yarıçapları eşit iki çember, tabanı istediğin uzunlukta ikizkenar üçgenler sunar.

Kesişen çemberler yalnız matematikte değil, çevrende de karşına çıkar. Olimpiyat Oyunları’nın simgesi birbirini kesen beş halkadır; birçok logo, kesişen iki çemberin ortak bölgesini öne çıkarır. Bir çemberin üzerine, aynı yarıçapla ve merkezleri bu çemberin üzerinde olacak biçimde altı çember daha çizersen “yaşam çiçeği” adı verilen süslemenin çekirdeği belirir; aynı adımları dışa doğru sürdürerek deseni büyütebilirsin. Çemberlerin merkezlerini birleştirdiğinde eşkenar üçgenler ortaya çıkar. Eşkenar üçgen kurma adımlarını yan yana tekrarlayarak kendi süslemeni tasarlayabilir, renklendirip sınıfta sergileyebilirsin.

Bu hafta 29 Ekim Cumhuriyet Bayramı’nı kutluyoruz. Atatürk, 1937’de yayımlanan “Geometri” kitabıyla geometri terimlerinin Türkçeleştirilmesine öncülük etti: üçgen, dörtgen, açı, çember, yarıçap, çap, eşkenar, ikizkenar gibi bugün rahatça kullandığın sözcükler bu kitapta önerilerek dilimize yerleşti. Grup arkadaşlarınla bu kitabı araştırıp hangi terimlerin hangi eski sözcüklerin yerine geçtiğini bulabilir, bulduklarınızı dijital bir sunumda paylaşabilirsiniz.