İçeriğe geç

12. sınıf · Fizik · 10. hafta (23-27 Kasım 2026)

Basit Harmonik Harekette Konum, Hız, İvme ve Geri Çağırıcı Kuvvet Denklemleri ile Yay Sarkacı ve Basit Sarkaç Periyodu (12.2.1)

2. ÜNİTE: BASİT HARMONİK HAREKET teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Sabit iki nokta arasında periyodik olarak salınan sistemlerin hareketi incelendiğinde, bir yayın ucuna bağlanan kütlenin titreşimi ile bir ipin ucunda salınan basit sarkacın hareketinin aynı matematiksel yasalara uyduğu görülür. Konum, hız ve ivme denklemleriyle birlikte yay sarkacı ve basit sarkacın periyot bağıntılarının anlaşılması, sismograflardan mekanik saatlere ve binaların deprem izolatörlerine kadar pek çok mühendislik uygulamasının temelini oluşturur.

Basit Harmonik Harekette Konum, Hız, İvme ve Kuvvet Denklemleri

Yarıçapı r olan çembersel bir yörüngede sabit ω açısal hızıyla dolanan bir cismin izdüşümü, denge noktasından harekete başladığında t süresi sonunda taradığı açı θ = ω · t olur. Bu durumda cismin herhangi bir t anındaki uzanım (konum) denklemi x(t) = r · sin(ωt) (veya uç noktadan başlarsa x(t) = r · cos(ωt)) bağıntısıyla ifade edilir. Burada açısal frekans ω = 2πT = 2πf değerindedir.

Basit harmonik hareket yapan cismin denge noktasındaki maksimum hızı v_max = ω · r iken, denge noktasından x kadar uzaktaki herhangi bir noktadan geçerken sahip olduğu anlık hız büyüklüğü v = ω ·  formülüyle hesaplanır.

Cisme etki eden anlık geri çağırıcı kuvvet ve ivme büyüklükleri ise uzanım (x) ile doğru orantılıdır: a = ω² · x ve F = m · ω² · x. Kuvvet ve ivme vektörlerinin yönü her zaman denge noktasına (O) doğru olduğu için vektörel gösterimde F = -m · ω² · x ve a = -ω² · x şeklinde eksi işareti alır; genlik (uç) noktalarında ise a_max = ω² · r ve F_max = m · ω² · r değerine ulaşır.

BASİT HARMONİK HAREKETTE TEMEL DENKLEMLER VE GRAFİKLER Konuma ve Zamana Bağlı Bağıntılar • Uzanım: x = r · sin(ω · t) [ω = 2π / T] • Maksimum Hız (O'da): v_max = ω · r • Herhangi bir x'te Hız: v = ω · kök(r² - x²) • Anlık İvme: a = -ω² · x | a_max = ω² · r • Çağırıcı Kuvvet: F = -m · ω² · x F ve a daima denge noktasına (O) yöneliktir! Kuvvet - Uzanım (F - x) Grafiği +x +F -r +r +F_max -F_max Eğim: tan(α) = F / x = -m · ω² = -k
🔍 Büyütmek için dokunun

Esnek Yay Sarkacı ve Yayların Bağlanması

Esneklik sabiti (yay sabiti) k olan kütlesi önemsiz bir yayın ucuna m kütleli bir cisim bağlanarak denge konumundan çekilip bırakıldığında oluşan sisteme yay sarkacı denir. Hooke Yasası gereği yaydaki geri çağırıcı kuvvet F = -k · x büyüklüğündedir. Bu ifade F = -m · ω² · x ile eşitlendiğinde yay sarkacının periyot bağıntısı T = 2π ·  olarak elde edilir.

Yay sarkacının periyodu (T); yalnızca yay ucuna bağlanan cismin kütlesine (m) ve yayın esneklik sabitine (k) bağlıdır. Yay sarkacının periyodu yer çekimi ivmesine (g), düzlemin eğim açısına (yatay, düşey veya eğik düzlem olmasına), hareketin genliğine (r) ve asansörün ivmesine bağlı değildir.

Yaylar seri bağlandığında sistem daha yumuşak hâle gelir ve eşdeğer yay sabiti küçülür: 1k_eş = 1k_1 + 1k_2. Yaylar paralel bağlandığında ise sistem sertleşir ve eşdeğer yay sabiti toplanarak büyür: k_eş = k_1 + k_2. Ayrıca yay sabiti k olan homojen bir yay n eşit parçaya bölünürse her bir parçanın yay sabiti n · k olur.

YAY SARKACI PERİYODU (T = 2π · kök(m / k)) VE YAY BAĞLANTILARI Yay Sarkacı Özellikleri T = 2π · kök(m / k) • Kütle (m) artarsa T artar. • Yay sabiti (k) artarsa T azalır. • Çekim ivmesine (g) bağlı değil! • Ay'da ve Dünya'da T aynıdır. Kodlama: T = 2π · kök(m / k) Seri Bağlı Yaylar 1 / k_eş = 1 / k₁ + 1 / k₂ • Özdeş iki yay: k_eş = k / 2 • Yay sistemi yumuşar. • Her yaydaki kuvvet aynıdır. • Periyot (T) büyür. k_eş = (k₁ · k₂) / (k₁ + k₂) Paralel Bağlı Yaylar k_eş = k₁ + k₂ • Özdeş iki yay: k_eş = 2k • Yay sistemi sertleşir. • Uzama miktarları eşittir. • Periyot (T) küçülür. Yay n parçaya bölünürse: n·k
🔍 Büyütmek için dokunun

Basit Sarkaç ve İvmeli Sistemlerde Periyot

Esnek olmayan ve kütlesi önemsiz L uzunluğundaki bir ipin ucuna asılan noktasal m kütleli cismin, düşey doğrultuyla küçük açılar (α ≤ 5°) yapacak şekilde düşey düzlemde salınmasıyla oluşturulan düzeneğe basit sarkaç denir. Basit sarkaçta geri çağırıcı kuvvet, cismin ağırlığının yörüngeye teğet bileşeni olan F = m · g · sin(α) kuvvetidir.

Küçük açılarda basit harmonik hareket yapan basit sarkacın periyodu T = 2π ·  bağıntısıyla hesaplanır. Basit sarkacın periyodu yalnızca ipin boyuna (L) ve ortamın yer çekimi ivmesine (g) bağlıdır; sarkacın ucuna asılan cismin kütlesine (m) ve küçük açılardaki salınım genliğine bağlı değildir.

Basit sarkaç düşey doğrultuda a ivmesiyle hareket eden bir asansörün içine konulduğunda formüldeki g yerine etkin çekim ivmesi (g_etkin) yazılır: Asansör yukarı yönde hızlanıyor veya aşağı yönde yavaşlıyorsa (net ivme yukarı yönlü ise) g_etkin = g + a olur ve periyot azalır; asansör aşağı yönde hızlanıyor veya yukarı yönde yavaşlıyorsa (net ivme aşağı yönlü ise) g_etkin = g - a olur ve periyot artar.

BASİT SARKAÇ PERİYODU (T = 2π · kök(L / g)) VE ETKİN İVME Basit Sarkaç Bağıntısı T = 2π · kök(L / g) (α <= 5°) • İp boyu (L) artarsa periyot (T) artar. • Çekim ivmesi (g) artarsa periyot (T) azalır. • Cismin kütlesine (m) bağlı değildir! • Ay'a götürülen sarkacın g'si azalır, T'si artar. Kodlama: TOLGA (T = 2π · kök(L / g)) Asansör İçinde Sarkaç (g_etkin) • Sabit hızlı asansör (a = 0): g_etkin = g → T değişmez. • Yukarı hızlanan / Aşağı yavaşlayan: g_etkin = g + a → Periyot (T) azalır. • Aşağı hızlanan / Yukarı yavaşlayan: g_etkin = g - a → Periyot (T) artar. Çivilere takılan sarkaçta: T_ort = (T₁ + T₂) / 2
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım denklemi SI birim sisteminde x(t) = 0,4 · sin(5π · t) metre olarak verilmiştir. Buna göre hareketin genliğini, frekansını ve maksimum hızını hesaplayınız. (π = 3 alınız)

    Cevabı göster

    x(t) = r · sin(ω · t) standart denklemiyle karşılaştırıldığında genlik r = 0,4 m ve açısal frekans ω = 5π rad/s bulunur. ω = 2πf = 5π eşitliğinden frekans f = 2,5 Hz (s⁻¹) elde edilir. Maksimum hız ise v_max = ω · r = (5 · 3) · 0,4 = 15 · 0,4 = 6 m/s olarak bulunur.

  2. Örnek 2Esneklik sabiti k = 300 N/m olan bir yayın ucuna m = 3 kg kütleli bir cisim bağlanarak sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yaptırılıyor. Bu yay sarkacının periyodu kaç saniyedir? (π = 3 alınız)

    Cevabı göster

    Yay sarkacının periyodu T = 2π ·  bağıntısıyla bulunur. Değerler yerine konulduğunda T = 2 · 3 ·  = 6 ·  = 6 · (1 / 10) = 0,6 saniye elde edilir.

  3. Örnek 3Yay sabitleri k_1 = 60 N/m ve k_2 = 120 N/m olan iki yay birbirine seri bağlanıp uçlarına m = 2 kg kütleli bir cisim asılıyor. Sistemin salınım periyodu kaç saniyedir? (π = 3 alınız)

    Cevabı göster

    Seri bağlı yaylarda eşdeğer yay sabiti k_eş = (k_1 · k_2) / (k_1 + k_2) = (60 · 120) / (60 + 120) = 7200 / 180 = 40 N/m olur. Periyot ise T = 2π ·  = 2 · 3 ·  = 6 ·  saniye bulunur.

  4. Örnek 4Yer çekimi ivmesinin g = 10 m/s² olduğu bir ortamda, ip uzunluğu L = 1,6 m olan bir basit sarkacın küçük açılarla yaptığı basit harmonik hareketin periyodu kaç saniyedir? (π = 3 alınız)

    Cevabı göster

    Basit sarkacın periyot bağıntısı T = 2π ·  şeklindedir. Değerler yerine yazılırsa T = 2 · 3 ·  = 6 ·  = 6 · 0,4 = 2,4 saniye bulunur.

  5. Örnek 5Durgun hâldeyken periyodu 2 saniye olan bir basit sarkaç, yukarı yönde a = 6 m/s² sabit ivmeyle hızlanan bir asansörün tavanına asılırsa yeni periyodu kaç saniye olur? (g = 10 m/s²)

    Cevabı göster

    Asansör yukarı yönde hızlandığında etkin çekim ivmesi g_etkin = g + a = 10 + 6 = 16 m/s² olur. İp boyu L sabit olduğundan T_1 / T_2 = → 2 / T_2 = bağıntısından yeni periyot T_2 = 2 ·  / 4 = / 2 saniye olarak azalır.

  6. Örnek 6Özdeş iki basit sarkaçtan X sarkacının ucuna m, Y sarkacının ucuna 4m kütleli cisimler asılmıştır. X sarkacının ip boyu L, Y sarkacının ip boyu 9L olduğuna göre aynı ortamdaki periyotları oranı T_X / T_Y kaçtır?

    Cevabı göster

    Basit sarkacın periyodu T = 2π ·  olup ucuna asılan kütleye (m veya 4m) bağlı değildir. Aynı ortamda çekim ivmesi g eşit olduğundan T_X / T_Y = = = = 1 / 3 bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Sürtünmesiz ortamda salınım yapan bir esnek yay sarkacı ile bir basit sarkaç aynı anda Dünya'dan çekim ivmesi daha küçük olan Ay yüzeyine götürülüyor. Yay sarkacının periyodu T_yay ve basit sarkacın periyodu T_basit ilk duruma göre nasıl değişir?

  2. 2Yay sabiti k olan türdeş bir yay ortadan iki eşit parçaya bölünüyor. Elde edilen iki parça birbirine paralel bağlanarak uçlarına m kütleli cisim asılıyor. İlk durumda tek yayın m kütlesiyle yaptığı salınımın periyodu T olduğuna göre, yeni sistemin periyodu kaç T olur?

  3. 3Basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım denklemi x = 6 · cos(2t) metre olarak verilmiştir. Buna göre cismin maksimum ivmesi kaç m/s²'dir?

  4. 4Bir basit sarkacın salınım periyodunu artırmak için; I. Sarkacın ip boyunu (L) uzatmak, II. Sarkacın ucundaki cismin kütlesini (m) artırmak, III. Sarkacı aşağı yönde hızlanan bir asansörün içine asmak işlemlerinden hangileri yapılabilir?

  5. 5

    • Yay sarkacının periyodu, düzlemin yatay, düşey veya eğik olmasına bağlı değildir.
    • Özdeş iki yay birbirine paralel bağlandığında eşdeğer yay sabiti yarıya düşer.
    • Basit sarkacın periyodu, ucuna asılan cismin kütlesinden bağımsızdır.
    • Yukarı yönde sabit hızla hareket eden bir asansör içindeki basit sarkacın periyodu durgun hâldeki periyodundan küçüktür.
    • Basit harmonik harekette maksimum ivmenin maksimum hıza oranı açısal frekansa (ω) eşittir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Yay sarkacının periyodu yay sabiti ile ters, cismin karekökü ile doğru orantılıdır.
    2. Yaylar birbirine bağlandığında sistem sertleşir ve eşdeğer yay sabiti artar.
    3. Basit sarkacın periyodu ipin boyunun karekökü ile doğru, ivmesinin karekökü ile ters orantılıdır.
    4. Yukarı yönde hızlanan bir asansör içinde bulunan basit sarkacın salınım periyodu gösterir.
    5. Bir yay iki eşit parçaya bölündüğünde her bir parçanın yay sabiti ilk değerinin katına çıkar.

  8. 8İp uzunluğu L = 1,8 m olan bir basit sarkaç düşey doğrultudan küçük bir açıyla çekilip bırakılıyor. Düşey doğrultuda sarkacın asılma noktasından d = 1,35 m aşağıda sabit bir çivi bulunmaktadır. Yer çekimi ivmesi g = 10 m/s² ve π = 3 olduğuna göre sarkacın çivili sistemdeki tam salınım periyodunu adım adım hesaplayınız.

Kısaca

  • Denge noktasından başlayan basit harmonik harekette uzanım x(t) = r · sin(ωt), herhangi bir x konumundaki anlık hız ise v = ω ·  denklemiyle bulunur.
  • Yay sarkacının periyodu T = 2π ·  bağıntısıyla hesaplanır; çekim ivmesine (g) ve düzlemin eğimine bağlı değildir.
  • Yaylar paralel bağlandığında eşdeğer yay sabiti k_eş = k_1 + k_2 olarak büyür, seri bağlandığında ise 1/k_eş = 1/k_1 + 1/k_2 bağıntısına göre küçülür.
  • Basit sarkacın periyodu T = 2π ·  bağıntısıyla hesaplanır; cismin kütlesine (m) bağlı olmayıp ip boyu (L) ve çekim ivmesine (g) bağlıdır.
  • İvmeli hareket yapan asansör içindeki basit sarkaçta periyot hesabı yapılırken g yerine etkin çekim ivmesi (g_etkin = g ± a) kullanılır.

Bu dersin öteki kaynakları