Açısal Momentum, Açısal İvme, Tork-Açısal Momentum İlişkisi ve Açısal Momentumun Korunumu

Doğrusal bir yörüngede $v$ hızıyla hareket eden $m$ kütleli bir cismin hareket miktarının ölçüsü çizgisel momentumdur ($\vec{P} = m \cdot \vec{v}$). Cisim sabit bir $O$ noktası veya dönme ekseni etrafında $r$ yarıçaplı çembersel bir yörüngede döndüğünde ise, çizgisel momentum vektörünün dönme merkezine göre torku 'açısal momentum' olarak tanımlanır. Açısal momentum $\vec{L}$ sembolü ile gösterilir, vektörel bir büyüklüktür ve vektörel çarpım olarak $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{P}$ şeklinde ifade edilir.

Çembersel harekette konum vektörü ($\vec{r}$) ile çizgisel hız ve çizgisel momentum vektörü ($\vec{P}$) birbirine daima dik ($90^\circ$) olduğundan, noktasal bir cismin açısal momentumunun büyüklüğü: $$L = r \cdot P = m \cdot v \cdot r$$ bağıntısıyla bulunur. Çizgisel hız ile açısal hız arasındaki $v = \omega \cdot r$ ilişkisi bu denklemde yerine yazılırsa: $$L = m \cdot (\omega \cdot r) \cdot r = (m \cdot r^2) \cdot \omega$$ elde edilir. Geçen hafta öğrendiğimiz üzere $m \cdot r^2$ ifadesi cismin dönme eksenine göre eylemsizlik momentidir ($I = m \cdot r^2$). Böylece katı cisimler ve tüm dönen sistemler için geçerli olan genel açısal momentum formülüne ulaşılır: $$\vec{L} = I \cdot \vec{\omega}$$

Uluslararası Birim Sisteminde (SI) açısal momentumun birimi; $L = m \cdot v \cdot r$ bağıntısından $\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ olarak bulunur. Bu birim aynı zamanda $\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}$ veya $\text{Joule}\cdot\text{saniye}$ ($\text{J}\cdot\text{s}$) birimine eşdeğerdir.

Düzgün çembersel harekette cismin açısal hızının büyüklüğü sabittir. Ancak dönen bir tekerleğe veya diske dönme eksenine göre sıfırdan farklı bir net tork ($\vec{\tau}_{\text{net}} \neq 0$) uygulanırsa, cismin açısal hızı zamanla artar veya azalır. Birim zamandaki açısal hız değişimine 'açısal ivme' denir, $\vec{\alpha}$ (alfa) ile gösterilir ve SI birimi $\text{radyan/saniye}^2$ ($\text{rad/s}^2$)dir: $$\vec{\alpha} = \frac{\Delta\vec{\omega}}{\Delta t}$$

Yarıçapı $r$ olan bir yörüngede dönen noktanın teğetsel (çizgisel) ivmesi ($a$) ile açısal ivmesi ($\alpha$) arasında $\Delta v = \Delta\omega \cdot r$ bağıntısından dolayı $a = \alpha \cdot r$ ilişkisi vardır. Newton'un ikinci hareket yasası olan $F_{\text{net}} = m \cdot a$ ifadesinin her iki tarafı $r$ ile çarpılırsa: $$F_{\text{net}} \cdot r = m \cdot (\alpha \cdot r) \cdot r \implies \tau_{\text{net}} = (m \cdot r^2) \cdot \alpha \implies \vec{\tau}_{\text{net}} = I \cdot \vec{\alpha}$$ elde edilir. Bu bağıntı, dönme hareketinin temel dinamik denklemi olup doğrusal hareketteki $\vec{F}_{\text{net}} = m \cdot \vec{a}$ yasasının tam karşılığıdır.

Diğer taraftan doğrusal harekette net kuvvetin birim zamandaki çizgisel momentum değişimine eşit olması ($\vec{F}_{\text{net}} = \Delta\vec{P}/\Delta t$) gibi, dönme hareketinde de sisteme etki eden net dış tork, birim zamandaki açısal momentum değişimine eşittir: $$\vec{\tau}_{\text{net}} = I \cdot \frac{\Delta\vec{\omega}}{\Delta t} = \frac{\Delta(I \cdot \vec{\omega})}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t}$$ Buradan $\vec{\tau}_{\text{net}} \cdot \Delta t = \Delta\vec{L} = \vec{L}_{\text{son}} - \vec{L}_{\text{ilk}}$ sonucuna ulaşılır. Eğer uygulanan net tork açısal hız vektörüyle aynı yönlü ise cismin açısal momentumu artar; zıt yönlü ise (örneğin dönen tekerleğe fren yapıldığında) açısal momentumu azalır.

Tork ile açısal momentum değişimi arasındaki $\vec{\tau}_{\text{net}} = \Delta\vec{L} / \Delta t$ bağıntısında, eğer sisteme dışarıdan etki eden net tork sıfır ise ($\vec{\tau}_{\text{dış}} = 0$), açısal momentumdaki değişim de sıfır olur ($\Delta\vec{L} = 0$). Bu durumda sistemin ilk açısal momentumu ile son açısal momentumu hem büyüklük hem de yön bakımından birbirine eşit kalır. Fizikte bu temel ilkeye 'Açısal Momentumun Korunumu Yasası' denir: $$\vec{\tau}_{\text{dış}} = 0 \implies \vec{L}_{\text{ilk}} = \vec{L}_{\text{son}} \implies I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$$

Bu eşitlik bize çok önemli bir fiziksel sonuç verir: Net dış torkun sıfır olduğu kapalı bir sistemde, sistemin kütle dağılımı değiştirilerek eylemsizlik momenti ($I$) azaltılırsa, açısal momentumun ($L$) sabit kalabilmesi için açısal hız ($\omega$) aynı oranda artar; tersine eylemsizlik momenti ($I$) artırılırsa açısal hız ($\omega$) azalır. Periyot ($T$) ve frekans ($f$) açısından bakıldığında ise $\omega = 2\pi f = 2\pi / T$ olduğundan, $I$ azaldığında dönüş frekansı ($f$) artar ve dönüş periyodu ($T$) kısalır.

Dikkat edilmesi gereken çok önemli bir nokta da açısal momentumun korunduğu süreçte 'dönme kinetik enerjisinin' nasıl değiştiğidir. Dönme kinetik enerjisi $E_d = \frac{1}{2} I \omega^2$ bağıntısında $L = I \cdot \omega$ yazılırsa: $$E_d = \frac{1}{2} (I \cdot \omega) \cdot \omega = \frac{1}{2} L \cdot \omega = \frac{L^2}{2I}$$ elde edilir. Dolayısıyla $L$ sabit iken eylemsizlik momenti ($I$) azaltılırsa ($\omega$ artarsa), sistemin dönme kinetik enerjisi ($E_d$) artar! Bu ekstra enerji yoktan var olmamış; sistem içindeki iç kuvvetlerin (örneğin kollarını kendisine çeken sporcunun kaslarının) yaptığı işten kaynaklanmıştır.

Açısal momentumun korunumu hem sporda hem canlılar dünyasında hem de gök mekaniğinde pek çok olayı açıklar: 1) Buz Patencisi ve Bale Dansçısı: Kolları açıkken dönen patenci, kollarını vücuduna doğru topladığında kütle dönme eksenine yaklaşır ($r$ azalır), eylemsizlik momenti ($I$) küçülür ve açısal hızı ($\omega$) artar. Durmak istediğinde ise kollarını tekrar açarak $I$'yı büyütür ve yavaşlar.

2) Tramplen Atlayıcısı ve Cimnastikçiler: Havada takla atarak suya atlayan bir yüzücü, havadayken ağırlık kuvveti doğrudan kütle merkezinden geçtiği için net tork sıfırdır ($\tau = 0$). Sporcu havada dizlerini karnına çekip top gibi büzüldüğünde $I$ azalır, $\omega$ artar ve kısa sürede birden fazla takla atabilir; suya girmeden hemen önce vücudunu açarak $I$'yı büyütür, dönüşünü yavaşlatır ve suya dikey olarak girer.

3) Gezegenlerin ve Uyduların Eliptik Yörünge Hareketi: Gezegenler Güneş etrafında elips şeklindeki yörüngelerde dolanır. Güneş'in gezegene uyguladığı kütle çekim kuvveti daima dönme merkezi olan Güneş'ten geçtiği için tork oluşturmaz ($\vec{\tau} = 0$). Bu nedenle gezegenin açısal momentumu ($L = m \cdot v \cdot r$) yörüngenin her noktasında korunur. Gezegen Güneş'e yaklaştığında ($r$ azaldığında) çizgisel hızı ($v$) ve açısal hızı ($\omega$) artar; Güneş'ten uzaklaştığında ($r$ arttığında) hızı azalır.

4) Kedilerin Dört Ayak Üzerine Düşmesi ve Helikopterler: Kediler düşerken kuyruk ve bacaklarının eylemsizlik momentini değiştirerek toplam açısal momentum sıfır kalacak biçimde gövdelerini döndürüp ayakları üzerine inerler. Helikopterlerde ise üstteki büyük pervanenin dönüşüne zıt yönde gövdenin dönmesini (açısal momentum korunumunu) dengelemek için kuyruk pervanesi kullanılır.

12. sınıf çembersel hareket ünitesindeki tüm dinamik formülleri ezberlemek yerine, doğrusal (öteleme) hareket ile dönme hareketi arasındaki birebir benzeşimi (analojiyi) kurmak problem çözümünü son derece kolaylaştırır.

Öteleme hareketinde hız değişimine karşı gösterilen direnç 'kütle' ($m$) iken, dönme hareketinde açısal hız değişimine karşı gösterilen direnç 'eylemsizlik momenti'dir ($I = \sum m \cdot r^2$). Öteleme hareketinde yer değiştirme $\Delta x$, çizgisel hız $v$ ve çizgisel ivme $a$ iken; dönme hareketinde bunların karşılığı açısal yer değiştirme $\Delta\theta$, açısal hız $\omega$ ve açısal ivme $\alpha$'dır.

Kuvvetin ($\vec{F}$) dönmedeki karşılığı tork ($\vec{\tau}$), çizgisel momentumun ($\vec{P} = m\vec{v}$) karşılığı ise açısal momentumdur ($\vec{L} = I\vec{\omega}$). Bu benzeşim sayesinde: • $\vec{F}_{\text{net}} = m \cdot \vec{a} \longleftrightarrow \vec{\tau}_{\text{net}} = I \cdot \vec{\alpha}$ • $\vec{F}_{\text{net}} \cdot \Delta t = \Delta\vec{P} \longleftrightarrow \vec{\tau}_{\text{net}} \cdot \Delta t = \Delta\vec{L}$ • $E_{\text{öteleme}} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{P^2}{2m} \longleftrightarrow E_{\text{dönme}} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{L^2}{2I}$ bağıntıları birbirinden doğrudan türetilebilir.

Açısal momentum problemlerini çözerken şu adımlar izlenmelidir: 1) Öncelikle sistemin noktasal bir cisim mi yoksa belirli bir geometrik şekle sahip katı bir cisim mi (disk, küre, çubuk) olduğu belirlenir. Noktasal cisimlerde $L = m \cdot v \cdot r$, katı cisimlerde ise soruda parantez içinde verilen eylemsizlik momenti formülü kullanılarak $L = I \cdot \omega$ bağıntısı yazılır.

2) Dönen bir tabla veya disk üzerine yukarıdan düşey olarak bir oyun hamuru yapıştığında ya da disk üzerindeki bir çocuk merkeze doğru yürüdüğünde sisteme dönme eksenine göre dışarıdan etki eden net tork sıfırdır ($\tau_{\text{dış}} = 0$). Bu tür sorularda doğrudan $L_{\text{ilk}} = L_{\text{son}}$ yazılarak $(I_{\text{tabla}} + I_{\text{çocuk,ilk}}) \cdot \omega_{\text{ilk}} = (I_{\text{tabla}} + I_{\text{çocuk,son}}) \cdot \omega_{\text{son}}$ denklemi çözülür.

3) Birden fazla cismin farklı yönlerde döndüğü sistemlerde açısal momentumun vektörel olduğu unutulmamalı; saat yönü ve saat yönünün tersi için sağ el kuralıyla $(+)$ ve $(-)$ işaretleri belirlenerek vektörel toplam alınmalıdır.