İçeriğe geç

12. sınıf · Fizik · 6. hafta (19-23 Ekim 2026)

Kütle Çekim Kuvveti ve Kütle Çekim İvmesi

12.1. ÇEMBERSEL HAREKET teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Dalından kopan bir elmanın yere düşmesini sağlayan kuvvet ile Ay’ı Dünya etrafındaki yörüngesinde, Dünya’yı ise Güneş etrafındaki yörüngesinde tutan kuvvet aynı doğa yasasının sonucudur. Isaac Newton, doğadaki dört temel kuvvetten biri olan Evrensel Kütle Çekim Kuvvetini formüle ederek gök mekaniği ile yeryüzü fiziğini birleştirmiştir. Bu haftaki dersimizde kütle çekim kuvvetini, kütle çekim ivmesini (g) ve yapay uyduların dolanım hızını inceleyeceğiz.

1. Evrensel Kütle Çekim Kuvveti

Doğadaki dört temel kuvvetten (güçlü nükleer, elektromanyetik, zayıf nükleer ve kütle çekim) menzili sonsuz olan ve en zayıf şiddetli olan kuvvet kütle çekim kuvvetidir. Newton’ın Evrensel Kütle Çekim Yasası’na göre; aralarında d kadar uzaklık bulunan m1 ve m2 kütleli iki cisim birbirini kütle merkezlerini birleştiren doğrultuda şu kuvvetle çeker: • F = G . m1 . m2d2 Burada G ≈ 6,67 . 10-11 N.m2/kg2 değerindeki evrensel çekim sabitidir.

Kütle çekim kuvvetinin temel özellikleri şunlardır: • Daima çekme yönündedir (itme özelliği yoktur). • Cisimlerin kütleleri ne olursa olsun (örneğin kütlesi çok büyük olan Güneş ile Dünya), birbirlerine uyguladıkları çekim kuvvetlerinin büyüklükleri birbirine eşittir (|F_12| = |F_21|), yönleri ise zıttır (F_12 = -F_21). • Kütle merkezleri arasındaki uzaklık (d) 2 katına çıkarsa çekim kuvveti 4’te 1’ine (F4), 3 katına çıkarsa 9’da 1’ine (F9) düşer.

Newton’ın Evrensel Kütle Çekim Yasasım_1m_2F_12F_21d (kütle merkezleri arası uzaklık)Evrensel Kütle Çekim Kuvveti Özellikleri• Bağıntı: F = G . (m_1 . m_2) / d²• G = 6,67 . 10^(-11) N.m²/kg² (Evrensel çekim sabiti)• Kütlelerin çarpımıyla doğru, aradaki uzaklığın karesiyle (d²) ters orantılıdır.• Etki-tepki çiftidir: |F_12| = |F_21| ve F_12 = -F_21

2. Kütle Çekim İvmesi (g) ve Değişim Grafiği

Kütlesi M, yarıçapı R olan bir gezegenin yüzeyinde bulunan m kütleli bir cisme etki eden ağırlık kuvveti (G_ağırlık = m . g), gezegenin cisme uyguladığı kütle çekim kuvvetine eşittir: • m . g = G . M . mR2 => g = G . MR2 Görülüğü gibi çekim ivmesi cismin kütlesine (m) bağlı değildir; yalnızca gezegenin kütlesine (M) ve yarıçapına (R) bağlıdır.

Homojen yoğunluklu (d özkütleli) küresel bir gezegenin merkezinden dış uzaya doğru gidildikçe çekim ivmesi üç bölgede incelenir: 1. Gezegenin Merkezinde (r = 0): Her yönden eşit kütle çekimi uygulandığı için net çekim ivmesi sıfırdır (g = 0). 2. Gezegenin İçinde (0 < r < R): M = d . V = d . 43.π.r3 yerine yazılırsa g_iç = 43 . π . G . d . r (yani K . d . r) elde edilir. Gezegenin içinde merkezden yüzeye doğru gidildikçe çekim ivmesi r ile doğru orantılı olarak artar. 3. Gezegenin Yüzeyinde (r = R) ve Dışında (r > R): Çekim ivmesi yüzeyde maksimum değerini alır (g_max = G.M/R2). Yüzeyden h kadar yükseğe çıkıldığında ise merkezden olan toplam uzaklığın (r = R + h) karesiyle ters orantılı olarak azalır: g(h) = G . M(R + h)2.

Kütle Çekim İvmesinin (g) Uzaklığa Göre DeğişimiGezegenin İçinde ve Yüzeyinde g• Gezegenin tam merkezinde: g = 0• Merkezden yüzeye doğru (r < R): Uzaklıkla DOĞRU orantılı artar -> g_iç = (4/3).π.G.d.r• Gezegen yüzeyinde (r = R) maksimumdur: g_yüzey = G . M / R²Yüzeyden Uzaklaştıkça (r > R) ve Uydular• Yüzeyden dışarı çıkıldıkça merkezden uzaklığın karesiyle TERS orantılı azalır: g(r) = G . M / r²• Uydu dolanım hızı: F_çekim = F_merkezcil G.M.m / r² = m.v² / r => v = kök(G . M / r)• Uydu hızı uydunun kendi kütlesine (m) bağlı değildir!

3. Çembersel Yörüngede Dolanan Uyduların Hızı

Kütlesi M olan bir gezegenin merkezinden r uzaklıktaki çembersel yörüngede dolanan m kütleli bir uydunun yörüngede kalmasını sağlayan merkezcil kuvvet, doğrudan gezegenin uyduya uyguladığı kütle çekim kuvvetidir: • F_çekim = F_merkezcil => G . M . mr2 = m . v2r

Denklemin her iki tarafındaki uydu kütlesi (m) ve r’lerden biri sadeleştiğinde uydunun çizgisel dolanım hızı: • v = olur. Bu bağıntıya göre aynı yörüngede dolanan farklı kütleli uyduların hızları birbirine eşittir; uydunun yörünge yarıçapı (r) arttıkça (gezegenden uzaklaştıkça) çizgisel hızı azalır, dolanım periyodu (T) ise artar.

Örnekler

  1. Örnek 1Aralarında d uzaklığı bulunan m1 ve m2 kütleli iki cismin birbirine uyguladığı kütle çekim kuvvetinin büyüklüğü F’dir. Cisimlerin kütleleri 2 katına çıkarılıp aralarındaki uzaklık yarıya indirilirse yeni çekim kuvveti kaç F olur?

    Cevabı göster

    İlk durumda F = G . m1 . m2d2’dir. Yeni durumda F’ = G . (2m1) . (2m2)(d/2)2 = G . 4.m1.m2d2/4 = 16 F bulunur.

  2. Örnek 2Dünya’nın yüzeyindeki yer çekimi ivmesi g kadardır. Dünya’nın yarıçapı R olduğuna göre, yer yüzeyinden 2R kadar yükseklikteki bir noktada çekim ivmesi kaç g olur?

    Cevabı göster

    Yüzeyde merkezden uzaklık r1 = R iken g = G.MR2’dir. Yüzeyden 2R kadar yükseklikte merkezden toplam uzaklık r2 = R + 2R = 3R olur. Buradaki çekim ivmesi g’ = G.M(3R)2 = G.M9.R2 = g9 bulunur.

  3. Örnek 3Homojen Dünya’nın yarıçapı R ve yüzeyindeki çekim ivmesi g’dir. Dünya’nın merkezinden R/2 uzaklıktaki (yerkürenin içindeki) bir noktada çekim ivmesi kaç g’dir?

    Cevabı göster

    Gezegenin iç kısmında çekim ivmesi merkezden olan uzaklıkla (r) doğru orantılıdır (g_iç = K . d . r). Yüzeyde (r = R iken) çekim ivmesi g ise, merkezden R2 uzaklıkta çekim ivmesi g2 olur.

  4. Örnek 4Kütlesi Dünya’nın kütlesinin 8 katı, yarıçapı ise Dünya’nın yarıçapının 2 katı olan bir X gezegeninin yüzeyindeki çekim ivmesi Dünya’nın yüzeyindeki çekim ivmesinin (g) kaç katıdır?

    Cevabı göster

    g_Dünya = G . MR2 = g ise, X gezegeni için g_X = G . 8M(2R)2 = G . 8M4.R2 = 2g (2 katı) bulunur.

  5. Örnek 5Dünya etrafında r ve 4r yarıçaplı çembersel yörüngelerde dolanan m ve 2m kütleli X ve Y uydularının çizgisel hızlarının oranı v_X / v_Y kaçtır?

    Cevabı göster

    Uyduların yörünge hızı kendi kütlelerine (m ve 2m) bağlı değildir; v = formülünden v_Xv_Y = = = = 2 bulunur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Kütlesi M olan Dünya ile kütlesi M/81 olan Ay arasındaki kütle çekim etkileşimi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  2. 2Yarıçapı R olan Dünya’nın yüzeyinde çekim ivmesi g’dir. Dünya’nın yüzeyinden kaç R yükseklikte çekim ivmesi g/16 değerine düşer?

  3. 3Bir gezegenin yüzeyindeki kütle çekim ivmesinin (g) büyüklüğü aşağıdaki niceliklerden hangisine bağlı değildir?

  4. 4Homojen küresel bir gezegenin tam merkezinde (r = 0) çekim ivmesinin değeri nedir?

  5. 5Dünya etrafında çembersel bir yörüngede dolanmakta olan bir haberleşme uydusunun yörünge yarıçapı (r) artırılırsa, uydunun çizgisel hızı (v) ve cisme etki eden kütle çekim kuvveti (F) nasıl değişir?

  6. 6Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Kütle çekim kuvveti doğadaki dört temel kuvvet içinde menzili sonsuz olan ancak şiddeti en zayıf olan kuvvettir.
    • Homojen bir gezegenin merkezinden yüzeyine doğru gidildikçe çekim ivmesi merkezden olan uzaklıkla doğru orantılı olarak artar.
    • Dünya’dan Ay’a götürülen bir cismin hem kütlesi hem de ağırlığı 6’da 1’ine düşer.
    • Aynı gezegen etrafında aynı yörünge yarıçapında dolanan iki uydudan kütlesi büyük olanın dolanım hızı daha büyüktür.
    • Gezegenin çekim ivmesi en büyük değerini gezegenin tam yüzeyinde (r = R) alır.

  7. 7Aşağıdaki fiziksel nicelikleri doğru matematiksel bağıntılarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  8. 8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. İki cisim arasındaki kütle çekim kuvveti, kütle merkezleri arasındaki uzaklığın ile ters orantılıdır.
    2. Bir cisme gezegen tarafından uygulanan kütle çekim kuvvetine o cismin adı verilir.
    3. Bir uydunun gezegen etrafında çembersel yörüngede dolanmasını sağlayan merkezcil kuvvet çekim kuvvetidir.
    4. Dünya’nın kutupları ekvatora göre merkeze biraz daha yakın olduğu için kutuplardaki çekim ivmesi ekvatordakinden daha .
    5. Evrenin her yerinde değişmeyen madde miktarına denir ve eşit kollu terazi ile ölçülür.

  9. 9Yarıçapı R olan homojen Dünya’nın merkezinden R/2 uzaklıktaki K noktası, yüzeyindeki L noktası ve yüzeyinden R kadar yükseklikteki M noktasındaki kütle çekim ivmelerini (g_K, g_L, g_M) hesaplayarak büyükten küçüğe sıralayınız.

Kısaca

  • Evrensel Kütle Çekim Yasası: Evrendeki her kütle birbirini kütlelerinin çarpımıyla doğru, kütle merkezleri arasındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı bir kuvvetle çeker: F = G . m1 . m2d2.
  • Etki-Tepki Özelliği: Kütleleri ne kadar farklı olursa olsun (örneğin Dünya ile Ay), iki cismin birbirine uyguladığı kütle çekim kuvvetleri eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür (F_12 = -F_21).
  • Yüzeydeki Kütle Çekim İvmesi: Kütlesi M, yarıçapı R olan bir gezegenin yüzeyindeki çekim ivmesi g = G . MR2 bağıntısıyla bulunur ve gezegen yüzeyindeki cismin kütlesine (m) bağlı değildir.
  • Gezegenin İçinde ve Dışında g: Gezegenin tam merkezinde g = 0’dır; merkezden yüzeye doğru uzaklıkla doğru orantılı artar (g = 43.π.G.d.r), yüzeyde maksimum olur ve yüzeyden uzaklaştıkça 1r2 ile ters orantılı azalır.
  • Uyduların Yörünge Hızı: Gezegen etrafında r yarıçaplı çembersel yörüngede dolanan uydunun çizgisel hızı v = olup uydunun kendi kütlesinden bağımsızdır.

Bu dersin öteki kaynakları