İçeriğe geç

12. sınıf · Fizik · 12. hafta (7-11 Aralık 2026)

Basit Harmonik Harekette Geri Çağırıcı Kuvvet, Hız ve İvmenin Konuma Göre Değişimi İle İlgili Hesaplamalar ve Enerji Korunumu (12.2.1.3)

2. ÜNİTE: BASİT HARMONİK HAREKET teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Basit harmonik hareket yapan bir sarkaç veya yay-kütle sistemi incelendiğinde, cismin hızının, ivmesinin ve üzerine etki eden net kuvvetin sabit kalmadığı, konuma bağlı olarak sürekli değiştiği görülür. Cismi her an denge noktasına doğru çeken geri çağırıcı kuvvet ve ivme genlik uçlarında en büyük değerine ulaşırken, hız ve kinetik enerji tam denge konumundan geçerken maksimuma çıkar.

Geri Çağırıcı Kuvvet ve İvmenin Konuma Göre Değişimi

Basit harmonik hareket (BHH), sürtünmesiz yatay düzlemde iki uç nokta (−r ve +r) arasında salınan bir cismin veya düzgün çembersel hareket yapan bir cismin çap üzerindeki izdüşümünün hareketidir. Cismin herhangi bir anda denge konumuna (O noktası, x = 0) olan yönlü uzaklığına uzanım (x), denge konumuna olan en büyük uzaklığına ise genlik (r) adı verilir. Uzanım vektörü (x) her zaman denge noktasından cismin bulunduğu konuma (dışarıya) doğru çizilir.

Harmonik hareketin devam etmesini sağlayan ve cismi daima denge konumuna (O noktasına) doğru çeken net kuvvete geri çağırıcı kuvvet denir. Çembersel hareketteki merkezcil kuvvetin izdüşümü alınarak veya yaylarda Hooke yasası kullanılarak geri çağırıcı kuvvet F = −m·ω2·x = −k·x bağıntısıyla hesaplanır. Newton'un ikinci hareket yasasına (F = m·a) göre cismin herhangi bir x uzanımındaki anlık ivmesi ise a = −ω2·x formülüyle bulunur.

Formüllerdeki eksi (−) işareti, geri çağırıcı kuvvet (F) ve ivme (a) vektörlerinin yönünün her zaman uzanım (x) vektörüne zıt yönlü (yani daima denge merkezi O'ya doğru) olduğunu gösterir. Cismin denge konumundan (x = 0) geçerken anlık ivmesi ve net kuvveti sıfırdır (F = 0, a = 0). Genlik uçlarında (x = ∓r) ise kuvvet ve ivme maksimum büyüklüğe ulaşır: F_max = m·ω2·r ve a_max = ω2·r.

BASİT HARMONİK HAREKETTE KUVVET, İVME VE HIZIN KONUMA GÖRE DEĞİŞİMİ K (−r) O (x = 0 Denge) L (+r) Uzanım (x) F ve a daima O'ya doğru! Sol Genlik Noktası (K: −r) • Hız: v = 0 (Anlık durur) • İvme: a_max = ω²·r (+x yönlü) • Kuvvet: F_max = m·ω²·r (+x) Uzanım maksimum: |x| = r Denge Konumu (O: x = 0) • Hız: v_max = ω·r (Maksimum) • İvme: a = 0 (Minimum) • Kuvvet: F = 0 (Net kuvvet 0) Herhangi x'te: v = ω·kök(r² − x²) Sağ Genlik Noktası (L: +r) • Hız: v = 0 (Anlık durur) • İvme: a_max = ω²·r (−x yönlü) • Kuvvet: F_max = m·ω²·r (−x) Genel bağıntı: a = −ω²·x
🔍 Büyütmek için dokunun

Hızın Konuma Göre Değişimi ve Hesaplamalar

Basit harmonik hareket yapan bir cisim genlik uçlarından (K ve L noktalarından) geri dönerken anlık olarak durur; bu nedenle x = −r ve x = +r uç noktalarında cismin çizgisel hızı sıfırdır (v = 0). Cisim uç noktalardan denge konumuna (O noktasına) doğru yaklaştıkça geri çağırıcı kuvvetle aynı yönde hareket ettiği için hızlanır ve tam denge konumundan (x = 0) geçerken hızı maksimum değerine ulaşır: v_max = ω·r = 2π·rT.

Cismin denge noktasından x kadar uzakta bulunan herhangi bir ara konumdaki anlık hız büyüklüğü ise çembersel hareket izdüşümünden ve enerji korunumundan yararlanılarak v = ω· bağıntısıyla hesaplanır. Bu bağıntıya göre uzanım (x) arttıkça kök içindeki değer küçülür ve cismin hızı azalır; ancak hız ile uzanım arasındaki ilişki doğrusal değil eliptiktir.

Örneğin r = 5 m genlikle harmonik hareket yapan bir cismin x = 3 m uzanımındaki hızı v = ω· = ω· = 4ω olurken, x = 4 m uzanımındaki hızı v = ω· = 3ω ve denge noktasındaki (x = 0) maksimum hızı v_max = 5ω değerini alır.

KUVVET-UZANIM, İVME-UZANIM VE HIZ-UZANIM GRAFİKLERİ Kuvvet – Uzanım ve İvme – Uzanım Grafiği +F_max (+a_max) −F_max (−a_max) −r +r F = −m·ω²·x = −k·x ve a = −ω²·x (Doğrusal, Ters İşaretli) Hız – Uzanım Grafiği ve Vektör Yönleri +v_max (ω·r) −v_max −r +r v = ω·kök(r² − x²) · Uzanım vektörü x daima O'dan dışarı!
🔍 Büyütmek için dokunun

Basit Harmonik Harekette Enerji Korunumu

Sürtünmelerin ihmal edildiği bir basit harmonik hareket düzeneğinde (örneğin yatay yay sarkacında) cismin kinetik enerjisi (E_K) ile yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisinin (E_P) toplamı olan toplam mekanik enerji (E_top) hareket boyunca her konumda sabittir: E_top = E_K + E_P = sabit. Yay sabiti k = m·ω2 olduğundan toplam mekanik enerji genlik uçlarındaki maksimum potansiyel enerjiye veya denge noktasındaki maksimum kinetik enerjiye eşittir: E_top = 12·k·r2 = 12·m·ω2·r2.

Cismin denge noktasından x kadar uzaktaki esneklik potansiyel enerjisi E_P = 12·k·x2 bağıntısıyla bulunur. Mekanik enerjinin korunumu gereği aynı x konumundaki kinetik enerji ise E_K = E_top − E_P = 12·k·(r2 − x2) = 12·m·v2 eşitliğiyle hesaplanır.

Cisim K (−r) veya L (+r) uç noktalarındayken hızı sıfır olduğu için kinetik enerjisi sıfırdır (E_K = 0) ve tüm enerji potansiyel enerjidir (E_P = E_top). Cisim O (x = 0) denge konumundan geçerken ise uzanım sıfır olduğu için esneklik potansiyel enerjisi sıfırlanır (E_P = 0) ve tüm enerji kinetik enerjiye dönüşür (E_K = E_top).

BASİT HARMONİK HAREKETTE ENERJİ KORUNUMU VE DÖNÜŞÜMÜ Enerji – Uzanım Parabolleri E_top (Sabit) E_K (Kinetik) E_P (Potansiyel) −r O (0) +r Matematiksel Enerji Bağıntıları Toplam Mekanik Enerji (E_top): E_top = (1/2)·k·r² = (1/2)·m·ω²·r² (Sürtünmesizde Sabit) Esneklik Potansiyel Enerjisi (E_P): E_P = (1/2)·k·x² (Uçlarda maksimum, O'da sıfır) Kinetik Enerji (E_K = E_top − E_P): E_K = (1/2)·m·v² = (1/2)·k·(r² − x²)
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1K ve L noktaları arasında T = 3 s periyotla ve r = 50 cm (0,5 m) genlikle basit harmonik hareket yapan bir cismin denge konumundaki maksimum hızı (v_max) ve uç noktalardaki maksimum ivmesi (a_max) kaçtır? (π = 3 alınız.)

    Cevabı göster

    Önce açısal hız bulunur: ω = 2πT = 2·33 = 2 rad/s. Denge konumundaki maksimum hız: v_max = ω·r = 2 · 0,5 = 1 m/s olur. Genlik uçlarındaki maksimum ivme ise: a_max = ω2·r = 22 · 0,5 = 4 · 0,5 = 2 m/s2 olarak bulunur.

  2. Örnek 2Genliği r = 10 cm olan basit harmonik harekette açısal hız ω = 4 rad/s'dir. Cismin denge noktasından x = 6 cm uzaklıktaki bir noktadan geçerken anlık hızı (v) ve ivmesinin büyüklüğü (a) kaçtır?

    Cevabı göster

    Uzanım x = 6 cm = 0,06 m ve genlik r = 10 cm = 0,10 m'dir (veya santimetre cinsinden hesaplanabilir). Anlık hız: v = ω· = 4· = 4· = 4·8 = 32 cm/s = 0,32 m/s'dir. Anlık ivme büyüklüğü ise: a = ω2·x = 42 · 6 = 16 · 6 = 96 cm/s2 = 0,96 m/s2 olur.

  3. Örnek 3Kütlesi m = 2 kg olan bir cisim, periyodu T = 2 s ve genliği r = 0,4 m olan basit harmonik hareket yapmaktadır. Cisme yörüngesi boyunca etki eden maksimum geri çağırıcı kuvvet (F_max) kaç Newton'dur? (π = 3 alınız.)

    Cevabı göster

    Açısal hız ω = 2πT = 2·32 = 3 rad/s'dir. Maksimum geri çağırıcı kuvvet genlik uçlarında (x = r = 0,4 m) etki eder: F_max = m·ω2·r = 2 · 32 · 0,4 = 2 · 9 · 0,4 = 7,2 N olarak hesaplanır.

  4. Örnek 4Basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım (x), hız (v), ivme (a) ve geri çağırıcı kuvvet (F) vektörlerinden hangilerinin yönü hareketin her anında birbirleriyle aynıdır?

    Cevabı göster

    Newton'un temel yasası (F = m·a) gereği geri çağırıcı kuvvet (F) ile ivme (a) vektörleri hareketin her anında aynı yönlüdür ve her ikisi de daima denge konumuna (O noktasına) doğrudur. Uzanım vektörü (x) ise daima O'dan dışarıya doğru olduğu için F ve a vektörlerine her zaman zıt yönlüdür.

  5. Örnek 5Yay sabiti k = 200 N/m olan sürtünmesiz yatay düzlemdeki bir yay sarkacı r = 0,2 m genlikle basit harmonik hareket yapmaktadır. Sistemin toplam mekanik enerjisi kaç Joule'dür ve x = 0,1 m uzanımındaki kinetik enerjisi kaç Joule olur?

    Cevabı göster

    Toplam mekanik enerji: E_top = 12·k·r2 = 12 · 200 · (0,2)2 = 100 · 0,04 = 4 J'dür. Cismin x = 0,1 m konumundaki potansiyel enerjisi E_P = 12·k·x2 = 100 · (0,1)2 = 1 J olduğundan, bu konumdaki kinetik enerjisi E_K = E_top − E_P = 4 − 1 = 3 Joule olur.

  6. Örnek 6Basit harmonik hareket yapan bir cisim denge konumundan (O) sağdaki genlik noktasına (L) doğru hareket ederken hız, ivme ve geri çağırıcı kuvvet büyüklükleri nasıl değişir?

    Cevabı göster

    Cisim denge konumundan (O) uç noktaya (L) doğru giderken dengeye olan uzaklığı (uzanım x) artmaktadır. Uzanım arttığı için a = ω2·x ve F = m·ω2·x bağıntılarına göre ivme ve geri çağırıcı kuvvet büyüklüğü artar; buna karşılık v = ω· bağıntısına göre hız büyüklüğü azalarak L noktasında sıfır olur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1K ve L noktaları arasında O noktası denge konumu olacak biçimde basit harmonik hareket yapan bir cisim ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  2. 2Periyodu T = 6 s ve genliği r = 10 m olan basit harmonik hareket yapan bir cismin, denge konumundan x = 8 m uzaklıktaki bir noktadan geçerken hızı kaç m/s'dir? (π = 3 alınız.)

  3. 3Kütlesi 0,5 kg olan bir cisim, açısal hızı ω = 4 rad/s olacak biçimde r = 0,5 m genlikle basit harmonik hareket yapmaktadır. Buna göre cisme genlik uçlarında etki eden maksimum geri çağırıcı kuvvetin büyüklüğü kaç Newton'dur?

  4. 4Sürtünmesiz yatay düzlemde r genliğiyle basit harmonik hareket yapan bir yay sarkacının, denge konumundan x = r2 kadar uzaklıktaki esneklik potansiyel enerjisinin (E_P) aynı noktadaki kinetik enerjisine (E_K) oranı (E_PE_K) kaçtır?

  5. 5

    • Basit harmonik harekette geri çağırıcı kuvvetin ve ivmenin büyüklüğü uzanım (x) ile doğru orantılıdır.
    • Cisim denge konumundan (O) geçerken ivmesi maksimum, genlik noktalarında (K ve L) ise ivmesi sıfırdır.
    • Basit harmonik hareket yapan cismin maksimum hızı v_max = ω·r bağıntısı ile hesaplanır.
    • Cisim genlik noktasından denge konumuna doğru yaklaşırken hız vektörü ile ivme vektörü aynı yönlüdür.
    • Sürtünmesiz yatay yay sarkacında salınım genliği (r) iki katına çıkarılırsa sistemin toplam mekanik enerjisi yarıya düşer.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Basit harmonik harekette cismi daima denge konumuna doğru çeken net kuvvete kuvvet denir.
    2. Harmonik hareket yapan bir cismin hızı konumundan geçerken maksimum değere ulaşır.
    3. Genlik (uç) noktalarında anlık olarak duran cismin kinetik enerjisi değerini alır.
    4. Uzanım vektörü ile ivme vektörü arasındaki açı 180 derece olup bu iki vektör birbirine yönlüdür.
    5. İvme-uzanım (a-x) grafiğinin eğiminin mutlak değeri açısal hızın değerini verir.

  8. 8K ve L noktaları arasında (O noktası denge konumu) basit harmonik hareket yapan bir cismin K'den O'ya ve O'dan L'ye gidişi sırasında uzanım, hız, ivme, kuvvet ve enerji büyüklüklerinin nasıl değiştiğini nedenleriyle açıklayınız.

Kısaca

  • Basit harmonik harekette geri çağırıcı kuvvet (F = −m·ω2·x) ve ivme (a = −ω2·x) uzanımla doğru orantılı ve uzanıma zıt yönlüdür (daima O'ya doğrudur).
  • Denge konumunda (x = 0) kuvvet ve ivme sıfır, çizgisel hız maksimumdur (v_max = ω·r).
  • Genlik uçlarında (x = ∓r) anlık hız sıfır, kuvvet (F_max = m·ω2·r) ve ivme (a_max = ω2·r) maksimum büyüklüktedir.
  • Herhangi bir x uzanımındaki anlık hız büyüklüğü v = ω· bağıntısıyla hesaplanır.
  • Sürtünmesiz ortamda toplam mekanik enerji E_top = 12·k·r2 = E_K + E_P her konumda korunur; uçlarda potansiyel, dengede kinetik enerji maksimumdur.

Bu dersin öteki kaynakları