İçeriğe geç

12. sınıf · Fizik · 5. hafta (12-16 Ekim 2026)

Kütle Çekim Kuvveti, Çekim İvmesi, Uydu Hareketleri, Bağlanma-Kurtulma Enerjisi ve Kepler Yasaları

1. ÜNİTE: ÇEMBERSEL HAREKET teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Ay'ı Dünya etrafındaki yörüngesinde tutan kuvvet ile dalından kopan elmayı yere düşüren kuvvet aynı evrensel yasaya dayanır: Evrensel Kütle Çekim Kuvveti. Çembersel Hareket ünitesinin bu son bölümünde; Isaac Newton'un kütle çekim yasasını, bir gezegenin merkezinden sonsuza uzanan çekim alanı ivmesini, haberleşme uydularının yörünge hızı ile bağlanma-kurtulma enerjilerini ve Johannes Kepler'in gezegenlerin hareketini açıklayan üç temel yasasını inceleyeceğiz.

1. Newton'un Evrensel Kütle Çekim Yasası

Evrende kütlesi olan her cisim, diğer tüm kütlelere çekim kuvveti uygular. Kütleleri m1 ve m2, kütle merkezleri arasındaki uzaklık d olan iki cismin birbirine uyguladığı kütle çekim kuvvetinin büyüklüğü F = G . (m1 . m2) / d² bağıntısıyla hesaplanır. Burada G = 6,67 x 10⁻¹¹ N.m²/kg² evrensel çekim sabitidir.

Kütle çekim kuvveti bir etki-tepki kuvvet çiftidir: Cisimlerin kütleleri ne kadar farklı olursa olsun (örneğin Dünya ile Ay), birbirlerine uyguladıkları çekim kuvvetlerinin büyüklükleri birbirine eşit, yönleri ise zıttır (|F12| = |F21|, vektörel olarak F12 = -F21).

KEPLER YASALARI: GEZEGENLERİN GÜNEŞ ETRAFINDAKİ HAREKETİ1. YÖRÜNGE YASASI• Her gezegen, odaklarından birinde Güneş bulunan ELİPTİK bir yörüngede dolanır.• Yörünge tam çember değil, iki odaklı (F1, F2) elipstir.• Güneş'e uzaklık yıl boyunca değişir.2. ALANLAR YASASI• Gezegeni Güneş'e birleştiren yarıçap vektörü, eşit zaman aralıklarında EŞİT ALANLAR tarar (Delta_t1 = Delta_t2 ise A1 = A2).• Güneş'e yaklaştıkça çizgisel hız ve kinetik enerji ARTAR!• Açısal momentum KORUNUR.3. PERİYOTLAR YASASI• Aynı yıldız etrafında dolanan tüm gezegenler için ortalama yörünge yarıçapının küpünün, dolanım periyodunun karesine oranı SABİTTİR: R^3 / T^2 = Sabit• Güneş'ten uzaklaştıkça periyot (T) büyür.

2. Kütle Çekim Alanı ve Çekim İvmesi (g)

Kütlesi M ve yarıçapı R olan bir gezegenin yüzeyindeki birim kütleye (1 kg) etki eden kütle çekim kuvvetine çekim alanı şiddeti (yer çekimi ivmesi) denir. Gezegen yüzeyinde ağırlık çekim kuvvetine eşitlenirse (m . g = G . M . m / R²) yüzeydeki çekim ivmesi g = G . M / R² bulunur. Eğer gezegenin ortalama özkütlesi d biliniyorsa, küre hacmi yerine yazılarak g = (4/3) . pi . G . d . R (kısaca KADER formülü) elde edilir.

Gezegenin merkezinde (r = 0) çekim ivmesi sıfırdır (g = 0). Merkezden yüzeye doğru çıkıldıkça (r <= R) çekim ivmesi merkeze olan uzaklık r ile doğru orantılı olarak doğrusal artar ve yüzeyde (r = R) en büyük değerine ulaşır. Yüzeyden dışarı doğru uzaklaştıkça (r > R) ise merkeze olan uzaklığın karesiyle ters orantılı (g' = G . M / r²) olarak parabolik biçimde azalır.

NEWTON'UN EVRENSEL KÜTLE ÇEKİM YASASI VE ÇEKİM İVMESİ (g)KÜTLE ÇEKİM KUVVETİ (F = G.m1.m2 / d^2)• Evrendeki her iki kütle birbirini kütlelerinin çarpımıyla doğru, merkezleri arasındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı kuvvetle çeker.• Etki-tepki çiftidir: Büyüklükleri EŞİT, yönleri ZITTIR (|F_12| = |F_21|, kütleler farklı olsa bile!).• G = 6,67 x 10^(-11) N.m^2/kg^2 (Evrensel çekim sabiti).ÇEKİM ALANI İVMESİ (g = G.M / R^2)• Gezegenin merkezinden yüzeyine (r <= R) kadar: Çekim ivmesi uzaklıkla DOĞRU orantılı artar (Merkezde r = 0 iken g = 0; yüzeyde g_max = G.M / R^2). Kürede g = (4/3).pi.G.d.r ('KADER' formülü).• Yüzeyden dışarı doğru uzaklaştıkça (r > R): g = G.M / r^2 (Uzaklığın karesiyle TERS orantılı azalır).

3. Uyduların Yörünge Hızı ve Dolanım Periyodu

Kütlesi M olan bir gezegenin merkezinden r uzaklıktaki çembersel yörüngede dolanan m kütleli bir uyduya etki eden kütle çekim kuvveti, uydunun çembersel hareket yapmasını sağlayan merkezcil kuvvet görevini görür: G . M . m / r² = m . v² / r.

Eşitliğin iki yanındaki uydu kütlesi m sadeleştiğinde uydunun yörüngedeki çizgisel dolanım hızı v = Kök(G . M / r) olarak bulunur. Görüldüğü gibi uydunun hızı kendi kütlesine (m) bağlı değildir; yalnız gezegenin kütlesine (M) ve yörünge yarıçapına (r) bağlıdır. Uydu gezegenden daha uzak bir yörüngeye (r artarsa) yerleştirildiğinde çizgisel hızı (v) ve açısal hızı (w) azalır, bir tam tur süresi olan dolanım periyodu (T) ise artar.

UYDULARIN DOLANIM HIZI VE KÜTLE ÇEKİM POTANSİYEL ENERJİSİUYDUNUN ÇİZGİSEL HIZI (v = Kök(G.M / r))• Kütle çekim kuvveti merkezcil kuvvete eşitlenir: G.M.m / r^2 = m.v^2 / r => v = Kök(G.M / r)• DİKKAT: Uydunun yörüngedeki dolanım hızı (v), uydunun kendi kütlesine (m) BAĞLI DEĞİLDİR!• Yörünge yarıçapı (r) arttıkça çizgisel hız (v) ve açısal hız (w) AZALIR, periyot (T) ARTAR.BAĞLANMA VE KURTULMA (KAÇIŞ) ENERJİSİ• Potansiyel Enerji: E_p = - G.M.m / r• Kinetik Enerji: E_k = + G.M.m / (2r)• Toplam Mekanik Enerji: E_top = - G.M.m / (2r)• Bağlanma Enerjisi: E_bağ = + G.M.m / (2r) (Yörüngeden koparmak için gereken enerji).• Kurtulma Enerjisi: E_kurt = + G.M.m / R (Yüzeyden çekim alanından tamamen çıkarmak için gereken enerji).

4. Kütle Çekim Potansiyel Enerjisi, Bağlanma ve Kurtulma Enerjisi

Kütle çekim alanında potansiyel enerjinin sıfır olduğu referans noktası sonsuz kabul edilir. Bu nedenle aralarında r uzaklığı bulunan M ve m kütleli sistemin kütle çekim potansiyel enerjisi negatif işaretlidir: Ep = - G . M . m / r. Yörüngede v = Kök(G.M/r) hızıyla dolanan uydunun kinetik enerjisi ise Ek = (1/2)m.v² = + G . M . m / (2r) olur.

Uydunun yörüngedeki toplam mekanik enerjisi Etop = Ep + Ek = - G . M . m / (2r) değerine eşittir. Yörüngede dolanan bir uyduyu gezegenin çekim alanından koparıp sonsuza göndermek (toplam enerjisini sıfır yapmak) için verilmesi gereken en küçük enerjiye bağlanma enerjisi denir ve Ebağ = |Etop| = + G . M . m / (2r) kadardır. Gezegen yüzeyinde durgun haldeki bir roketi çekim alanından tamamen kurtarmak için verilmesi gereken minimum kinetik enerjiye ise kurtulma (kaçış) enerjisi denir: Ekurt = |Ep(yüzey)| = + G . M . m / R.

5. Kepler Yasaları: Yörüngeler ve Alanlar Yasası

Alman astronom Johannes Kepler, gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketini üç temel yasayla açıklamıştır: 1) Yörüngeler Yasası: Her gezegen, odaklarından birinde Güneş bulunan eliptik (elips biçiminde) bir yörüngede dolanır. Bu nedenle gezegenin Güneş'e olan uzaklığı yıl boyunca sabit kalmaz; bazen yaklaşır (günberi), bazen uzaklaşır (günöte).

2) Alanlar Yasası: Gezegeni Güneş'e birleştiren yarıçap vektörü, eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar (Delta_t1 = Delta_t2 ise A1 = A2). Gezegene etki eden kütle çekim kuvvetinin uzantısı dönme merkezi olan Güneş'ten geçtiği için net tork sıfırdır ve gezegenin açısal momentumu (L = m . v . r) korunur. Dolayısıyla gezegen Güneş'e yaklaştıkça (r azaldıkça) eşit sürede aynı alanı tarayabilmek için çizgisel hızı (v), açısal hızı (w) ve kinetik enerjisi artar; potansiyel enerjisi ve eylemsizlik momenti (I = m.r²) ise azalır.

ELİPTİK YÖRÜNGEDE VE YARIÇAP DEĞİŞİMİNDE BÜYÜKLÜKLERİN DEĞİŞİMİELİPTİK YÖRÜNGEDE GÜNEŞ'E YAKLAŞIRKENÇizgisel hız (v) ve kinetik enerji ARTAR; potansiyel enerji AZALIR; toplam enerji ve açısal momentum (L) DEĞİŞMEZ!ELİPTİK YÖRÜNGEDE EYLEMSİZLİK MOMENTİ (I)Gezegen Güneş'e yaklaştıkça r azaldığı için eylemsizlik momenti (I = m.r^2) AZALIR, açısal hız (w) ARTAR.UYDU DAHA ÜST YÖRÜNGEYE ÇIKARILIRSA (r ARTARSA)Çizgisel hız (v) ve kinetik enerji (E_k) AZALIR; ancak başında eksi (-) olduğu için E_p ve E_top ARTAR!HABERLEŞME UYDULARI (YER SABİT / JEOSENKRON)Dünya ile aynı periyotta (T = 24 saat) dönerler ve yerden bakıldığında gökyüzünde hep aynı noktada sabit görünürler.

6. Kepler'in 3. Yasası: Periyotlar Yasası

3) Periyotlar Yasası: Aynı merkezî gök cismi (örneğin Güneş) etrafında dolanan bütün gezegenler için, ortalama yörünge yarıçapının küpünün (R³) dolanım periyodunun karesine (T²) oranı sabittir: R1³ / T1² = R2³ / T2² = G . M / (4 . pi²) = Sabit.

Bu yasaya göre Güneş'e yakın olan gezegenlerin (Merkür, Venüs) dolanım periyodu (yıl süresi) kısa, Güneş'ten uzak olan gezegenlerin (Jüpiter, Satürn, Neptün) dolanım periyodu ise çok daha uzundur.

Örnekler

  1. Örnek 1Yarıçapı R olan homojen Dünya'nın yüzeyindeki çekim ivmesi g kadardır. Dünya'nın merkezinden R/2 uzaklıktaki K noktasındaki çekim ivmesinin (gK), Dünya yüzeyinden R kadar yüksekteki L noktasındaki çekim ivmesine (gL) oranı gK / gL kaçtır?

    Cevabı göster

    K noktası gezegenin içinde (rK = R/2) olduğundan çekim ivmesi yarıçapla doğru orantılıdır: gK = g / 2. L noktası ise yüzeyden R kadar yüksekte, yani merkezden toplam rL = R + R = 2R uzaklıktadır; dışarıda çekim ivmesi uzaklığın karesiyle ters orantılı olduğundan gL = g / (2)² = g / 4 olur. Buradan oran gK / gL = (g / 2) / (g / 4) = 2 bulunur.

  2. Örnek 2Dünya etrafında r ve 4r yarıçaplı çembersel yörüngelerde dolanan m ve 2m kütleli X ve Y uydularının çizgisel hızlarının büyüklükleri oranı vX / vY ve dolanım periyotları oranı TX / TY kaçtır?

    Cevabı göster

    Uyduların çizgisel hızı v = Kök(G.M/r) olup uyduların kendi kütlelerine (m ve 2m) bağlı değildir. Yarıçapların kareköküyle ters orantılı olduğundan vX / vY = Kök(4r / r) = 2 bulunur. Kepler'in Periyotlar Yasası'na göre (TX / TY)² = (r / 4r)³ = 1 / 64 olduğundan TX / TY = 1 / 8 elde edilir.

  3. Örnek 3Dünya etrafında çembersel bir yörüngede dolanan bir uydunun kinetik enerjisi Ek = 4 x 10^8 Joule olduğuna göre, bu uydunun kütle çekim potansiyel enerjisi (Ep), toplam mekanik enerjisi (Etop) ve bağlanma enerjisi (Ebağ) kaç Joule'dür?

    Cevabı göster

    Yörüngedeki bir uydu için Ek = +G.M.m/(2r) = 4 x 10^8 J verildiğine göre: 1) Potansiyel enerji: Ep = -2 . Ek = -8 x 10^8 J. 2) Toplam mekanik enerji: Etop = -Ek = -4 x 10^8 J. 3) Bağlanma enerjisi: Ebağ = |Etop| = +Ek = +4 x 10^8 J olur.

  4. Örnek 4Güneş etrafında eliptik yörüngede dolanan Dünya, Güneş'e en uzak konumdan (günöte) en yakın konuma (günberi) gelirken açısal momentumu (L), eylemsizlik momenti (I), çizgisel hızı (v) ve toplam mekanik enerjisi (Etop) nasıl değişir?

    Cevabı göster

    Kütle çekim kuvveti Güneş merkezinden geçtiği için net dış tork sıfırdır; bu yüzden açısal momentum (L) ve toplam mekanik enerji (Etop) değişmez (korunur). Güneş'e yaklaşırken yarıçap r azaldığı için eylemsizlik momenti (I = m.r²) azalır, açısal momentumun korunması için çizgisel hız (v) ve açısal hız (w) artar.

  5. Örnek 5Özkütleleri oranı dX / dY = 2/3 ve yarıçapları oranı RX / RY = 3/2 olan homojen küresel X ve Y gezegenlerinin yüzeylerindeki çekim ivmeleri oranı gX / gY kaçtır?

    Cevabı göster

    Gezegen yüzeyindeki çekim ivmesi özkütle ve yarıçap cinsinden g = (4/3) . pi . G . d . R ('KADER') bağıntısıyla bulunur. Sabitler sadeleştirildiğinde gX / gY = (dX . RX) / (dY . RY) = (2/3) . (3/2) = 1 olarak hesaplanır.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Güneş etrafında eliptik bir yörüngede dolanmakta olan bir gezegen, Güneş'e doğru yaklaşırken gezegene ait aşağıdaki fiziksel büyüklüklerden hangisi azalır?

  2. 2Kütlesi M, yarıçapı R olan Dünya'nın yüzeyinde yer çekimi ivmesinin büyüklüğü g kadardır. Buna göre Dünya yüzeyinden 3R kadar yüksekteki bir noktada çekim ivmesi kaç g olur?

  3. 3Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • Gezegen etrafında r yarıçaplı çembersel yörüngede dolanan bir uydunun çizgisel hızı, uydunun kendi kütlesine bağlı değildir.
    • Dünya'nın kütlesi Ay'ın kütlesinden yaklaşık 81 kat büyük olduğu için Dünya'nın Ay'a uyguladığı çekim kuvveti, Ay'ın Dünya'ya uyguladığı çekim kuvvetinden büyüktür.
    • Homojen küresel bir gezegenin tam merkezinde kütle çekim ivmesi sıfırdır.

  4. 4Kütle çekim ve Kepler yasalarıyla ilgili kavramları matematiksel bağıntılarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  5. 5Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Kepler'in Yasası'na göre gezegeni Güneş'e birleştiren yarıçap vektörü eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar.
    2. Gezegen yüzeyindeki durgun bir cismi gezegenin çekim alanından tamamen koparıp sonsuza göndermek için gereken en küçük enerjiye enerjisi denir.
    3. Bir uydu Dünya'dan daha uzak bir yörüngeye çıkarıldığında çizgisel hızı azalırken toplam mekanik enerjisi .

  6. 6Dünya etrafında r yarıçaplı yörüngede dolanan bir uydu, roket motorları ateşlenerek 2r yarıçaplı daha üst bir yörüngeye çıkarılıyor. Uydunun çizgisel hızı (v), periyodu (T), kinetik enerjisi (Ek), potansiyel enerjisi (Ep) ve toplam enerjisi (Etop) nasıl değişir? Nedenleriyle açıklayınız.

Kısaca

  • Newton'un Evrensel Kütle Çekim Yasası'na göre aralarında d uzaklığı bulunan m1 ve m2 kütleli iki cisim birbirini eşit büyüklükte ve zıt yönlü F = G . m1 . m2 / d² kuvvetiyle çeker.
  • Yarıçapı R ve kütlesi M olan homojen bir gezegenin merkezinde çekim ivmesi sıfırdır (g = 0); merkezden yüzeye kadar r ile doğru orantılı artar, yüzeyde maksimum olur (g = G . M / R²) ve yüzeyden uzaklaştıkça r² ile ters orantılı azalır.
  • Gezegen etrafında r yarıçaplı yörüngede dolanan bir uydunun çizgisel hızı v = Kök(G . M / r) olup uydunun kendi kütlesine (m) bağlı değildir.
  • Yörüngedeki bir uydunun potansiyel enerjisi Ep = -G.M.m/r, kinetik enerjisi Ek = +G.M.m/(2r), toplam enerjisi Etop = -G.M.m/(2r), bağlanma enerjisi Ebağ = +G.M.m/(2r) ve yüzeyden kurtulma (kaçış) enerjisi Ekurt = +G.M.m/R'dir.
  • Kepler Yasaları; Yörüngeler Yasası (odaklarından birinde Güneş bulunan elips), Alanlar Yasası (eşit sürede eşit alanlar tarama ve açısal momentum korunumu) ve Periyotlar Yasası (R³ / T² = Sabit) olmak üzere üç tanedir.

Bu dersin öteki kaynakları