İçeriğe geç

12. sınıf · Fizik · 11. hafta (30 Kasım-4 Aralık 2026)

Yay Sarkacı ve Basit Sarkaç Periyot Bağıntıları, Seri ve Paralel Bağlı Yaylar ile Asansör İçindeki Sarkaç Uygulamaları (12.2.1)

2. ÜNİTE: BASİT HARMONİK HAREKET teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Esnek bir yayın ucuna bağlanan kütlenin veya esnemeyen bir ipin ucuna asılan cismin denge konumu etrafında gerçekleştirdiği periyodik salınımlar, basit harmonik hareketin en temel iki fiziksel modelidir. Mekanik duvar saatlerinden sismograflara, gökdelenlerdeki deprem sönümleyicilerden yer çekimi ivmesinin hassas ölçümüne kadar pek çok mühendislik uygulaması yay sarkacı ve basit sarkacın periyot bağıntılarına dayanır.

Esnek Yay Sarkacı ve Yayların Bağlanması

Yay sabiti k olan esnek ve ağırlıksız bir yayın ucuna m kütleli bir cisim bağlanarak denge konumundan çekilip bırakıldığında sistem basit harmonik hareket yapar. Yay sarkacının periyodu T = 2π· bağıntısıyla hesaplanır (Kök içindeki m/k oranı kütlenin yay sabitinin kareköküyle ilişkisini gösterir). Yay sarkacının periyodu cismin kütlesinin kareköküyle doğru, yay sabitinin kareköküyle ters orantılıdır; ortamın çekim ivmesine (g), hareketin genliğine (r) ve düzlemin eğim açısına bağlı değildir.

Birden fazla yayın uç uca bağlanmasıyla oluşturulan seri bağlı sistemde her yayda oluşan gerilme kuvveti eşittir ve eşdeğer yay sabiti 1k_eş = 1k_1 + 1k_2 (iki yay için k_eş = k_1·k_2k_1 + k_2) bağıntısıyla bulunur; seri bağlamada sistem yumuşar, eşdeğer yay sabiti küçülür ve periyot artar. Yayların cisme yan yana veya iki taraftan bağlandığı paralel bağlı sistemde ise uzama miktarları eşittir ve eşdeğer yay sabiti k_eş = k_1 + k_2 toplamına eşittir; paralel bağlamada sistem sertleşir, k_eş büyür ve periyot azalır.

Yay sabiti k ve boyu L olan homojen bir yay, n eşit parçaya bölündüğünde yayın boyu kısaldığı için sertliği artar ve her bir parçanın yeni yay sabiti k' = n·k olur.

YAY SARKACI PERİYODU VE YAYLARIN BAĞLANMASI Yay Sarkacı Periyot Bağıntısı T = 2π · kök(m / k) • m: Salınım yapan cismin kütlesi (kg) • k: Esnek yayın yay sabiti (N/m) • Çekim ivmesine (g), eğik düzlem açısına ve genliğe (r) BAĞLI DEĞİLDİR! • Yay n eşit parçaya bölünürse her parçanın sabiti n·k olur. Eşdeğer Yay Sabiti (k_eş) 1. Seri Bağlı Yaylar (Uç Uca) 1 / k_eş = 1 / k₁ + 1 / k₂ → k_eş = (k₁·k₂)/(k₁+k₂) Eşdeğer yay sabiti küçülür, periyot (T) artar. 2. Paralel Bağlı Yaylar (Yan Yana / İki Yandan) k_eş = k₁ + k₂ Eşdeğer yay sabiti büyür, periyot (T) azalır.
🔍 Büyütmek için dokunun

Basit Sarkaç ve Çivili Sarkaç Düzenekleri

Ağırlığı önemsiz ve esnemeyen L uzunluğundaki bir ipin ucuna asılan m kütleli noktasal cismin, düşeyle yaptığı açı 10°'den küçük olmak koşuluyla yaptığı salınım hareketine basit sarkaç denir. Basit sarkacın periyodu T = 2π· bağıntısıyla bulunur; burada L ipin metre cinsinden boyu, g ise ortamın yer çekimi ivmesidir.

Basit sarkacın periyodu ipin boyunun kareköküyle doğru, çekim ivmesinin kareköküyle ters orantılıdır. Basit sarkacın periyodu cismin kütlesine (m), yapıldığı maddenin cinsine ve 10°'den küçük olmak şartıyla salınım açısına (genliğe) bağlı değildir. Saniyeleri vuran bir basit sarkacın gidişi 1 s, dönüşü 1 s sürdüğü için periyodu T = 2 s'dir.

Düşey doğrultuda bir çivi (engel) bulunan basit sarkaç sisteminde (çivili sarkaç), sarkaç periyodunun yarısını L_1 boyuyla (T_12), diğer yarısını ise çiviye takıldıktan sonra kalan L_2 boyuyla (T_22) tamamlar. Dolayısıyla çivili sarkacın toplam periyodu iki periyodun aritmetik ortalamasına eşittir: T_sistem = T_1 + T_22.

BASİT SARKAÇ PERİYODU VE ÇİVİLİ SARKAÇ UYGULAMASI Basit Sarkaç Periyot Bağıntısı (α ≤ 10°) T = 2π · kök(L / g) • L: İpin boyu (m) · g: Çekim ivmesi (m/s²) • Cismin kütlesine (m) ve küçük açılarda salınım açısına (α) BAĞLI DEĞİLDİR! • Ekvatordan kutuplara gidildikçe g artar, T azalır. • Saniyeleri vuran sarkacın periyodu T = 2 saniyedir. Çivili Sarkaçta Periyot Hesabı Çivi L₁ L₂ T_sistem = (T₁ + T₂) / 2
🔍 Büyütmek için dokunun

İvmeli Sistemlerde (Asansör İçinde) Sarkaç Uygulamaları

Sarkaçlar sabit hızla hareket eden veya durmakta olan bir asansörün içindeyken periyotlarında hiçbir değişiklik olmaz. Asansör a ivmesiyle hızlanan veya yavaşlayan hareket yaptığında ise yay sarkacının periyodu (T = 2π·) çekim ivmesine bağlı olmadığından yine değişmez; ancak basit sarkacın periyodu etkin çekim ivmesi (g_etkin) değiştiği için değişir.

Asansör yukarı yönde a ivmesiyle hızlanıyorsa veya aşağı yönde a ivmesiyle yavaşlıyorsa net ivme yukarı yönlüdür ve etkin çekim ivmesi g_etkin = g + a olur. Bu durumda basit sarkacın periyodu T = 2π· bağıntısına göre azalır (sarkaç daha hızlı salınır).

Asansör aşağı yönde a ivmesiyle hızlanıyorsa veya yukarı yönde a ivmesiyle yavaşlıyorsa net ivme aşağı yönlüdür ve etkin çekim ivmesi g_etkin = g - a olur. Bu durumda basit sarkacın periyodu T = 2π· bağıntısına göre artar. Halatı koparak serbest düşme yapan (a = g) bir asansörde ise g_etkin = 0 olduğundan basit sarkaç salınım yapamaz (periyodu sonsuz olur).

İVMELİ ASANSÖR İÇİNDEKİ SARKAÇLARIN PERİYOT DEĞİŞİMİ 1. Yay Sarkacı (Her Durumda) • T = 2π · kök(m / k) bağıntısında çekim ivmesi (g) yer almaz. • Asansör hızlansa da, yavaşlasa da, Ay'a götürülse de: Periyot (T) DEĞİŞMEZ! 2. Basit Sarkaç: g_etkin = g + a • Yukarı yönde hızlanan veya • Aşağı yönde yavaşlayan asansör → T = 2π · kök(L / (g + a)) Etkin ivme büyür, Periyot (T) AZALIR! 3. Basit Sarkaç: g_etkin = g - a • Aşağı yönde hızlanan veya • Yukarı yönde yavaşlayan asansör → T = 2π · kök(L / (g - a)) Etkin ivme küçülür, Periyot (T) ARTAR!
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Yay sabiti k = 300 N/m olan esnek bir yayın ucuna m = 3 kg kütleli bir cisim bağlanarak basit harmonik hareket yaptırılıyor. Buna göre yay sarkacının periyodu kaç saniyedir? (π = 3 alınız.)

    Cevabı göster

    Yay sarkacının periyot bağıntısı T = 2π· şeklindedir. Değerler yerine yazılırsa: T = 2 · 3 ·  = 6 ·  = 6 · 110 = 0,6 saniye bulunur.

  2. Örnek 2Yay sabiti k = 40 N/m olan homojen bir yay dört eşit parçaya bölünüyor. Bu parçalardan ikisi birbirine paralel bağlanarak uçlarına 2 kg kütleli bir cisim asılıyor. Sistemin salınım periyodu kaç saniyedir? (π = 3 alınız.)

    Cevabı göster

    Yay 4 eşit parçaya bölündüğünde her bir parçanın yay sabiti k' = 4 · 40 = 160 N/m olur. Bu parçalardan ikisi paralel bağlandığında eşdeğer yay sabiti k_eş = 160 + 160 = 320 N/m bulunur. Periyot bağıntısından: T = 2π· = 2 · 3 ·  = 6 ·  yerine kütle 5 kg alınırsa T = 6·=6/8; 2 kg için T = 6 ·  s olur (Eğer 4 parçanın tamamı paralel bağlansaydı k_eş = 640 N/m olurdu).

  3. Örnek 3Yer çekimi ivmesinin g = 10 m/s2 olduğu bir ortamda saniyeleri vuran (periyodu 2 s olan) bir basit sarkacın ip uzunluğu kaç santimetredir? (π = 3 alınız.)

    Cevabı göster

    Saniyeleri vuran sarkacın periyodu T = 2 s'dir. T = 2π· bağıntısında değerler yerine yazılırsa: 2 = 2 · 3 ·  → 13 = olur. Her iki tarafın karesi alınırsa 19 = L10 → L = 109 m ≈ 111 cm bulunur.

  4. Örnek 4Boyu L₁ = 160 cm olan bir basit sarkaç, düşey doğrultuda tavandan 120 cm aşağıda bulunan bir çiviye takılarak salınım yapmaktadır. Ortamın çekim ivmesi g = 10 m/s2 olduğuna göre çivili sarkacın periyodu kaç saniyedir? (π = 3 alınız.)

    Cevabı göster

    Sarkacın ilk yarıdaki boyu L₁ = 1,6 m olup T₁ = 2 · 3 ·  = 6 ·  = 6 · 0,4 = 2,4 s'dir. Çivi tavandan 120 cm aşağıda olduğundan kalan ip boyu L₂ = 160 - 120 = 40 cm = 0,4 m'dir. İkinci yarıdaki periyot T₂ = 2 · 3 ·  = 6 ·  = 6 · 0,2 = 1,2 s'dir. Çivili sarkacın periyodu T = T₁ + T₂2 = 2,4 + 1,22 = 1,8 saniye bulunur.

  5. Örnek 5Dünya yüzeyinde periyotları birbirine eşit olan bir yay sarkacı ile bir basit sarkaç, çekim ivmesi Dünya'nınkinin 16'sı kadar olan Ay yüzeyine götürülürse periyotları nasıl değişir?

    Cevabı göster

    Yay sarkacının periyodu T = 2π· olup ortamın çekim ivmesine (g) bağlı değildir; bu nedenle Ay'da yay sarkacının periyodu değişmez. Basit sarkacın periyodu ise T = 2π· olduğundan çekim ivmesi azaldığında periyodu katına çıkarak artar.

  6. Örnek 6İp uzunluğu L = 1,2 m olan bir basit sarkaç, yukarı yönde a = 2 m/s2 ivmeyle hızlanan bir asansörün tavanına asılıdır. Sarkacın asansör içindeki salınım periyodu kaç saniyedir? (g = 10 m/s2, π = 3 alınız.)

    Cevabı göster

    Asansör yukarı yönde hızlandığı için etkin çekim ivmesi g_etkin = g + a = 10 + 2 = 12 m/s2 olur. Basit sarkacın periyodu T = 2π· = 2 · 3 ·  = 6 ·  saniye (eğer L = 3 m olsaydı T = 6· = 3 s) olarak hesaplanır.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yapan bir yay sarkacının periyodunu artırmak için; I. Yaya bağlı cismin kütlesini (m) artırmak, II. Yay sabiti (k) daha büyük olan sert bir yay kullanmak, III. Hareketin genliğini (r) iki katına çıkarmak işlemlerinden hangileri yapılabilir?

  2. 2Özdeş ve yay sabitleri k olan iki yay önce birbirine seri bağlanıp uçlarına m kütleli cisim asılarak T₁ periyoduyla, daha sonra birbirine paralel bağlanıp aynı m kütleli cisim asılarak T₂ periyoduyla salınım yaptırılıyor. Buna göre T₁T₂ oranı kaçtır?

  3. 3Küçük açılarla salınım yapan bir basit sarkacın periyodu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  4. 4Aynı ortamda bulunan K ve L basit sarkaçlarından K'nin ip uzunluğu 9L ve ucundaki kütle m, L'nin ip uzunluğu L ve ucundaki kütle 4m'dir. K ve L sarkaçlarının periyotları oranı T_KT_L kaçtır?

  5. 5

    • Yay sarkacının periyodu ortamın yer çekimi ivmesine ve eğik düzlemin eğim açısına bağlı değildir.
    • Homojen bir yay üç eşit parçaya bölündüğünde her bir parçanın yay sabiti ilk yayın yay sabitinin üç katı olur.
    • Basit sarkaçta ipin ucuna asılan cismin kütlesi artırıldığında sarkacın periyodu da aynı oranda artar.
    • Yukarı yönde hızlanan bir asansörün içindeki basit sarkacın etkin çekim ivmesi g + a olduğu için periyodu azalır.
    • Yayların birbirine paralel bağlanması sonucunda eşdeğer yay sabiti küçülür ve sistemin periyodu artar.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Saniyeleri vuran bir basit sarkacın bir tam salınımı için geçen periyot süresi saniyedir.
    2. Yay sarkacında salınım genliği (r) artırıldığında sarkacın periyodu kalır.
    3. Dünya üzerinde ekvatordan kutuplara doğru gidildikçe çekim ivmesi arttığı için basit sarkacın periyodu gösterir.
    4. İki özdeş yay birbirine bağlandığında eşdeğer yay sabiti bir yayın sabitinin iki katına çıkar.
    5. Halatı koparak serbest düşme yapan bir asansördeki basit sarkacın etkin çekim ivmesi olur.

  8. 8Bir fizik laboratuvarında periyotları eşit olan bir yay sarkacı ile bir basit sarkaç hazırlanıyor. Bu iki düzenek; (1) yukarı yönde sabit a ivmesiyle hızlanan bir asansöre konulduğunda ve (2) sarkaçların uçlarındaki kütleler iki katına çıkarıldığında periyotlarının nasıl değişeceğini gerekçeleriyle karşılaştırınız.

Kısaca

  • Esnek yay sarkacının periyodu T = 2π· bağıntısıyla bulunur; çekim ivmesine (g), genliğe ve eğik düzlem açısına bağlı değildir.
  • Yaylar seri bağlandığında eşdeğer yay sabiti küçülür (1k_eş = 1k₁ + 1k₂), paralel bağlandığında ise büyür (k_eş = k₁ + k₂).
  • Basit sarkacın periyodu küçük açılarda T = 2π· bağıntısıyla hesaplanır; cismin kütlesine (m) ve salınım genliğine bağlı değildir.
  • Çivili sarkaç düzeneklerinde sistemin periyodu, çivi öncesi ve çivi sonrası ip boylarına ait periyotların aritmetik ortalamasına (T = T₁ + T₂2) eşittir.
  • İvmeli asansör içinde yay sarkacının periyodu değişmezken, basit sarkacın periyodu g_etkin = g ± a değerine göre değişir.

Bu dersin öteki kaynakları