İçeriğe geç

12. sınıf · Fizik · 9. hafta (9-13 Kasım 2026)

Kepler Kanunları Uygulamaları ve Basit Harmonik Harekete Giriş: Uzanım, Genlik, Periyot, Frekans ve Geri Çağırıcı Kuvvet (12.1.5 & 12.2.1)

1. ÜNİTE: ÇEMBERSEL HAREKET & 2. ÜNİTE: BASİT HARMONİK HAREKET teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Evrendeki gezegenlerin Güneş etrafındaki eliptik dolanımlarından, bir duvar saatinin sarkacına veya esnek bir yayın ucundaki kütlenin titreşimine kadar doğadaki pek çok olay periyodik hareket yasalarına uyar. Gök mekaniğinin temelini oluşturan Kepler kanunlarının ardından, sabit iki nokta arasında değişken ivmeyle tekrarlanan basit harmonik hareketin incelenmesi, dalga mekaniği ve modern fiziğin anlaşılması için kilit öneme sahiptir.

Gök Bilimi Çalışmaları ve Kepler Kanunları Uygulamaları

Gök cisimlerinin hareketlerini açıklamada Türk-İslam bilginleri Uluğ Bey ve Ali Kuşçu önemli çalışmalar yapmıştır. Semerkant'ta büyük bir rasathane kuran Uluğ Bey, yıldızların konumlarını ve yıl uzunluğunu büyük bir hassasiyetle içeren Zîc-i Uluğ Bey kataloğunu hazırlamış; öğrencisi Ali Kuşçu ise Ay'ın ilk haritasını çıkarmış ve Dünya'nın dönme hareketine dair kanıtlar sunmuştur. Avrupa'da Kopernik Güneş merkezli evren modelini önermiş, Galileo Galilei teleskopla Jüpiter'in uydularını gözlemlemiş, Johannes Kepler ise gezegenlerin hareket yasalarını matematiksel olarak ortaya koymuştur.

Kepler'in Yörüngeler Kanunu'na göre her gezegen, odaklarından birinde Güneş bulunan elips biçimli yörüngelerde dolanır. Alanlar Kanunu'na göre gezegeni Güneş'e birleştiren yarıçap vektörü eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar (ΔA_1Δt_1 = ΔA_2Δt_2). Gezegenin üzerine dış tork etki etmediğinden açısal momentumu (L) ve toplam mekanik enerjisi korunur; gezegen Güneş'e yaklaştıkça çizgisel hızı ve kinetik enerjisi artarken kütle çekim potansiyel enerjisi azalır.

Kepler'in Periyotlar Kanunu'na göre ise aynı merkezî gök cismi (Güneş) etrafında dolanan gezegenler için ortalama yörünge yarıçapının küpünün, dolanım periyodunun karesine oranı sabittir: R_1³ / T_1² = R_2³ / T_2² = sabit. Dolayısıyla Güneş'ten uzaklaşan gezegenlerin dolanım periyodu büyür ve ortalama dolanım hızı küçülür.

KEPLER KANUNLARI VE GEZEGEN HAREKETİNDE ENERJİ-MOMENTUM Güneş K (r_min) L (r_max) K'den L'ye giderken: v_K > v_L | E_k(K) > E_k(L) L_K = L_L (Açısal momentum korunur, τ_net = 0) Kepler Bağıntıları ve Gök Bilimi • 1. Yörüngeler: Odaklardan birinde Güneş • 2. Alanlar: Eşit sürede eşit alan (ΔA₁ = ΔA₂) • 3. Periyotlar: R₁³ / T₁² = R₂³ / T₂² = Sabit Türk-İslam ve Batı Gök Bilimcileri • Uluğ Bey: Semerkant Rasathanesi, Zîc-i Uluğ Bey • Ali Kuşçu: İlk Ay haritası, astronomi risaleleri • Galileo: Teleskopla Jüpiter uyduları gözlemi
🔍 Büyütmek için dokunun

Basit Harmonik Hareket: Düzgün Çembersel Hareketin İzdüşümü

Sürtünmesiz bir ortamda, sabit iki uç nokta (K ve L) arasında, büyüklüğü denge noktasına olan uzaklıkla doğru orantılı bir geri çağırıcı kuvvet etkisinde kendini eşit zaman aralıklarıyla tekrarlayan titreşim hareketine basit harmonik hareket (BHH) denir. Salıncak, sarkaçlı duvar saati ve yay ucundaki kütle hareketi günlük hayattaki temel örneklerdir.

Düşey bir düzlemde sabit açısal hızla (ω) düzgün çembersel hareket yapan bir cismin üzerine paralel ışık demeti düşürüldüğünde, cismin yatay veya düşey çap üzerindeki gölgesinin (izdüşümünün) hareketi basit harmonik harekettir. Çembersel yörüngenin merkezi, harmonik hareketin denge noktası (O); yörünge yarıçapı ise genlik (r) değerine karşılık gelir.

Cismin herhangi bir anda denge noktasından olan yönlü uzaklığına uzanım (x) denir ve vektörel bir büyüklüktür. Cismin denge noktasından ayrılabileceği maksimum uzanım değerine genlik (r) adı verilir. Bir tam salınım için geçen süreye periyot (T), birim zamandaki (1 saniyedeki) salınım sayısına ise frekans (f) denir (T · f = 1).

BASİT HARMONİK HAREKETTE TEMEL KAVRAMLAR VE SÜRE PAYLAŞIMI K (-r) M (-r/2) O (Denge = 0) N (+r/2) L (+r) T / 6 T / 12 T / 12 T / 6 Uzanım (x) ve Genlik (r) • Uzanım (x): Herhangi bir andaki yönlü konum • Genlik (r): Maksimum uzanım büyüklüğü Periyot Bölmeleri (K - L Arası = T/2) • K → O veya O → L süresi: T / 4 • Eşit bölmelerde: Uçta T/6, dengeye yakın T/12
🔍 Büyütmek için dokunun

Geri Çağırıcı Kuvvet, İvme ve Hız İlişkileri

Basit harmonik harekette cismi daima denge noktasına (O) doğru çeken net kuvvete geri çağırıcı kuvvet (F) denir. Geri çağırıcı kuvvet ve ivme (a) vektörlerinin yönü her zaman denge noktasına (O) doğrudur ve uzanım vektörü (x) ile zıt yönlüdür: F = -m · ω² · x ve a = -ω² · x (burada ω = 2πT = 2πf açısal frekanstır).

Cisim denge noktasından (O) geçerken uzanım sıfır (x = 0) olduğu için geri çağırıcı kuvvet ve ivme sıfırdır (F = 0, a = 0); ancak cismin hızı maksimum değerine ulaşır (v_max = ω · r).

Cisim genlik (uç) noktalarına (K ve L) ulaştığında ise anlık olarak durup yön değiştirdiği için çizgisel hızı sıfır (v = 0) olur; buna karşılık uzanım maksimum (x = r) olduğundan geri çağırıcı kuvvet ve ivme maksimum değerini alır (F_max = m · ω² · r ve a_max = ω² · r). Herhangi bir x uzanımındaki anlık hız büyüklüğü ise v = ω ·  bağıntısıyla hesaplanır.

KONUMA GÖRE KUVVET, İVME VE HIZ DEĞİŞİM TABLOSU K UÇ NOKTASI (x = -r) • Hız: v = 0 (Minimum) • İvme: a_max = ω² · r (+x yönlü) • Kuvvet: F_max = m·ω²·r • Kuvvet ve ivme O'ya (+x) doğru yönelmiştir. Uzanım: Maksimum (r) O DENGE NOKTASI (x = 0) • Hız: v_max = ω · r • İvme: a = 0 • Kuvvet: F = 0 • Anlık uzanım hızı: v = ω · kök(r² - x²) Uzanım: Sıfır (0) L UÇ NOKTASI (x = +r) • Hız: v = 0 (Minimum) • İvme: a_max = ω² · r (-x yönlü) • Kuvvet: F_max = m·ω²·r • Kuvvet ve ivme O'ya (-x) doğru yönelmiştir. Uzanım: Maksimum (r)
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Aynı yıldız etrafında dolanan X ve Y gezegenlerinin ortalama yörünge yarıçapları sırasıyla R ve 4R'dir. X gezegeninin dolanım periyodu T_X = 2 yıl olduğuna göre Y gezegeninin dolanım periyodu T_Y kaç yıldır?

    Cevabı göster

    Kepler'in Periyotlar Kanunu'na göre R_X³ / T_X² = R_Y³ / T_Y² bağıntısı yazılır. Değerler yerine konulduğunda R³ / 2² = (4R)³ / T_Y² → 1 / 4 = 64 / T_Y² → T_Y² = 256 elde edilir. Her iki tarafın karekökü alındığında T_Y = = 16 yıl bulunur.

  2. Örnek 2K ve L noktaları arasında 12 saniye periyotla basit harmonik hareket yapan bir cismin yörüngesi 4 eşit bölmeye (K-M-O-N-L) ayrılmıştır. Cisim K uç noktasından harekete başladıktan sonra N noktasına ilk kez kaç saniyede ulaşır?

    Cevabı göster

    Eşit bölmeli yörüngede cisim K'den M'ye T/6 sürede, M'den O'ya T/12 sürede ve O'dan N'ye T/12 sürede gelir. T = 12 s için: t_KM = 12/6 = 2 s, t_MO = 12/12 = 1 s ve t_ON = 12/12 = 1 s'dir. Toplam süre t = 2 + 1 + 1 = 4 saniye olur.

  3. Örnek 3Genliği r = 0,5 m olan bir yörüngede periyodu T = 3 s olacak biçimde basit harmonik hareket yapan 2 kg kütleli bir cisme etki eden maksimum geri çağırıcı kuvvet kaç N'dir? (π = 3 alınız)

    Cevabı göster

    Önce açısal frekans bulunur: ω = 2π / T = (2 · 3) / 3 = 2 rad/s. Maksimum geri çağırıcı kuvvet uç noktalarda oluşur: F_max = m · ω² · r = 2 · 2² · 0,5 = 2 · 4 · 0,5 = 4 N olarak bulunur.

  4. Örnek 4Genliği r = 10 cm olan basit harmonik harekette açısal frekans ω = 4 rad/s'dir. Cismin denge noktasından x = 6 cm uzaklıktaki bir noktadan geçerken anlık hızı kaç cm/s'dir?

    Cevabı göster

    Herhangi bir x uzanımındaki anlık hız v = ω ·  bağıntısıyla hesaplanır. Değerler yerine yazılırsa: v = 4 ·  = 4 ·  = 4 ·  = 4 · 8 = 32 cm/s bulunur.

  5. Örnek 5Güneş etrafında eliptik yörüngede dolanan Dünya, Güneş'e en yakın olduğu günberi konumundan en uzak olduğu günöte konumuna doğru hareket ederken açısal momentumu, çizgisel hızı ve mekanik enerjisi nasıl değişir?

    Cevabı göster

    Kütle çekim kuvveti dönme merkezinden (Güneş'ten) geçtiği için net tork sıfırdır; bu nedenle açısal momentum ve toplam mekanik enerji korunur (değişmez). Güneş'ten uzaklaştıkça eylemsizlik momenti arttığından çizgisel hızı ve kinetik enerjisi azalır, kütle çekim potansiyel enerjisi ise artar.

  6. Örnek 6Basit harmonik hareket yapan bir cisim denge noktasından (O) uç noktaya (L) doğru giderken hız, ivme ve uzanım vektörlerinin büyüklüğü ve yönü nasıl değişir?

    Cevabı göster

    Cisim O'dan L'ye giderken uzanım (x) ve hız (v) vektörleri L'ye doğru, ivme (a) ve geri çağırıcı kuvvet (F) vektörleri ise denge noktası O'ya doğrudur. L'ye yaklaştıkça uzanım ve ivmenin büyüklüğü artarken, hızın büyüklüğü azalır ve L noktasında anlık olarak sıfır olur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Güneş etrafında eliptik bir yörüngede dolanan bir gezegen, Güneş'e yaklaştığı süreçte gezegene ait; I. Çizgisel hız büyüklüğü, II. Güneş'e göre açısal momentumu, III. Kütle çekim potansiyel enerjisi niceliklerinden hangileri artar?

  2. 2K ve L noktaları arasında (O denge noktası olmak üzere) basit harmonik hareket yapan bir cisim için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  3. 3Düzgün doğrusal K-L yolu üzerinde periyodu 24 saniye olan basit harmonik hareket yapan bir cismin yörüngesi 4 eşit parçaya (K-M-O-N-L) bölünmüştür. O denge noktasından +x yönünde (N'ye doğru) geçen cisim, harekete başladıktan 6 saniye sonra hangi noktada bulunur?

  4. 4Genliği 50 cm olan bir yörüngede basit harmonik hareket yapan cismin maksimum hızı 150 cm/s olduğuna göre, cismin maksimum ivmesi kaç m/s²'dir?

  5. 5

    • Semerkant'ta rasathane kuran Uluğ Bey, yıldızların konumlarını içeren Zîc-i Uluğ Bey adlı astronomi kataloğunu hazırlamıştır.
    • Kepler'in Alanlar Kanunu'na göre gezegeni Güneş'e birleştiren yarıçap vektörü eşit zamanlarda eşit alanlar tarar.
    • Basit harmonik harekette geri çağırıcı kuvvetin yönü hareket süresince hız vektörüyle aynı yönlüdür.
    • Basit harmonik hareket yapan bir cismin genliği artırılırsa periyodu da doğru orantılı olarak artar.
    • Cisim denge noktasından geçerken uzanımı ve ivmesi sıfır, çizgisel hızı ise maksimumdur.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Kepler'in birinci kanununa göre her gezegen, odaklarından birinde Güneş bulunan biçimli yörüngede dolanır.
    2. Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin çap üzerindeki izdüşümü hareket yapar.
    3. Basit harmonik harekette birim zamanda (1 saniyede) gerçekleşen tam salınım sayısına adı verilir.
    4. Basit harmonik hareket yapan cismin ivmesi uç noktalarda maksimum, noktasında ise sıfırdır.
    5. Geri çağırıcı kuvvet vektörü ile vektörü hareket süresince birbirine zıt yönlüdür.

  8. 8Sürtünmesiz yatay düzlemde K ve L noktaları arasında r = 0,4 m genlikle ve T = 2 s periyotla basit harmonik hareket yapan m = 0,5 kg kütleli bir cismin; açısal frekansını, maksimum hızını ve maksimum geri çağırıcı kuvvetini adım adım hesaplayınız. (π = 3 alınız)

Kısaca

  • Gök biliminde Uluğ Bey, Ali Kuşçu, Kopernik, Galileo ve Kepler önemli çalışmalar yapmış; Kepler gezegenlerin hareketini Yörüngeler, Alanlar ve Periyotlar (R³ / T² = sabit) kanunlarıyla açıklamıştır.
  • Eliptik yörüngede dolanan gezegenin açısal momentumu ve mekanik enerjisi korunur; gezegen Güneş'e yaklaştıkça çizgisel hızı ve kinetik enerjisi artar.
  • Basit harmonik hareket, sabit iki nokta arasında geri çağırıcı kuvvet etkisinde gerçekleşen periyodik salınım hareketi olup düzgün çembersel hareketin çap üzerindeki izdüşümüdür.
  • K-O-L yolu 4 eşit bölmeye ayrıldığında cisim denge noktasına komşu bölmeleri T/12 sürede, uç noktalara komşu bölmeleri ise T/6 sürede alır.
  • Denge noktasında (x = 0) hız maksimum (v_max = ω·r), kuvvet ve ivme sıfırdır; uç noktalarda (x = r) ise hız sıfır, kuvvet (F_max = m·ω²·r) ve ivme (a_max = ω²·r) maksimumdur.

Bu dersin öteki kaynakları