İçeriğe geç

12. sınıf · Fizik · 3. hafta (28 Eylül - 2 Ekim 2026)

Dönerek Öteleme Hareketi, Eylemsizlik Momenti ve Dönme Kinetik Enerjisi

1. ÜNİTE: ÇEMBERSEL HAREKET teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Bir otomobil yolda ilerlerken şasisinin hareketi saf öteleme, sabit bir mil etrafında dönen vantilatör pervanesinin hareketi saf dönme, yolda kaymadan yuvarlanan otomobil tekerleğinin hareketi ise hem dönme hem ötelemeyi birleştiren dönerek öteleme hareketidir. Bu hafta kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan bir tekerlek üzerindeki noktaların anlık hız analizini, dönme hareketine karşı direncin ölçüsü olan eylemsizlik momentini (I) ve dönme kinetik enerjisi ile toplam kinetik enerji hesaplamalarını ayrıntılı olarak öğreneceğiz.

1. Öteleme, Dönme ve Kaymadan Dönerek Öteleme Hareketi

Katı (rijit) bir cismin uzaydaki hareketi üç temel biçimde incelenir: • 1. Öteleme Hareketi: Cismi oluşturan bütün parçacıkların aynı sürede, aynı yönde ve eşit miktarda yer değiştirdiği harekettir (Örn: Doğrusal rayda ilerleyen tren vagonunun gövdesi). • 2. Dönme Hareketi: Cismin kütle merkezinin yeri değişmeden, sabit bir eksen etrafında tüm noktalarının eşit açısal hızla (ω) dolandığı harekettir (Örn: Rüzgâr türbini kanatları veya lunapark dönme dolabı). • 3. Dönerek Öteleme (Yuvarlanma) Hareketi: Cismin hem sabit bir eksen etrafında döndüğü hem de kütle merkezinin yer değiştirerek ilerlediği birleşik harekettir (Örn: Yolda ilerleyen bisiklet tekerleği veya bovling topu).

Kaymadan Dönerek Öteleme Şartı: Yarıçapı r olan bir tekerlek yatay zeminde kaymadan (patinaj yapmadan) 1 tam tur döndüğünde, kütle merkezi yatayda tekerleğin çevresi kadar yani Δx = 2πr kadar ilerler; N tur döndüğünde ise Δx = N · 2πr yol alır. Bu hareket bir periyotluk (T) sürede gerçekleştiğinden, kütle merkezinin öteleme sürati (v_öteleme) tekerleğin dış yüzeyindeki bir noktanın çizgisel dönme süratine (v_dönme) büyüklükçe tam eşittir: v_öteleme = v_dönme = 2πrT = ω · r

KAYMADAN DÖNEREK ÖTELEME: ÖTELEME + DÖNME = ANLIK YERE GÖRE HIZ1. SAF ÖTELEME HIZI• Tekerlek üzerindeki her noktanın öteleme hızı kütle merkezinin hızına (v) yön ve büyüklükçe EŞİTTİR:• v_K = v_O = v_L = v_M = v (Hepsi sağa doğru +x yönünde)2. SAF DÖNME HIZI• Merkezde (O) dönme hızı: 0• Çember üzerindeki noktalarda yarıçapa dik ve büyüklüğü v:• Üstte (K): sağa doğru (+v)• Altta (M): sola doğru (-v)• Yanda (L, N): düşey yönde (v)3. YERE GÖRE ANLIK HIZ(Vektörel Toplam: v_öt + v_dön)• En Üst Nokta (K): v_K = 2v• Kütle Merkezi (O): v_O = v• Yan Noktalar (L, N): v·kök(2)• Yere Değme Noktası (M): v_M = 0• Genel Formül: v_X = ω · d_M

2. Dönerek Öteleme Yapan Tekerlek Üzerindeki Noktaların Anlık Hız Analizi

Yatay düzlemde sağa (+x yönünde) v hızıyla kaymadan dönerek öteleme yapan bir tekerlek üzerindeki herhangi bir noktanın yere göre anlık hızı (v_yer), o noktanın öteleme hız vektörü ile dönme hız vektörünün vektörel toplamına eşittir: • Öteleme Hızı: Tekerlek üzerindeki tüm noktaların (merkez, tepe, alt, yan) öteleme hızı kütle merkezinin hızına yön ve büyüklük olarak eşittir (hepsi sağa doğru v). • Dönme Hızı: Kütle merkezine d kadar uzaklıktaki bir noktanın dönme hızı yarıçap vektörüne diktir ve büyüklüğü v_dön = ω · d ile bulunur (çember üzerindeki noktalarda d = r olduğundan büyüklüğü v kadardır; ancak yönü her noktada teğet yönündedir).

Buna göre çember üzerindeki özel noktaların yere göre anlık hız büyüklükleri şöyledir: • 1. Yere Değme Noktası (M — En Alt Nokta): Öteleme hızı sağa (+v), dönme hızı sola (-v) olduğundan birbirini sıfırlar: v_M = v - v = 0. (Tekerlek kaymadığı için yere değen nokta o an için durgundur ve anlık dönme merkezi gibi davranır!) • 2. Kütle Merkezi (O): Dönme hızı sıfır olduğu için yalnızca öteleme hızına sahiptir: v_O = v. • 3. Yan Noktalar (L ve N — Yatay Çap Uçları): Öteleme hızı (v) yatay, dönme hızı (v) düşey olup aralarındaki açı 90° olduğundan Pisagor bağıntısıyla: v_L = v_N = v · . • 4. En Üst Nokta (K — Tepe Noktası): Hem öteleme hızı (+v) hem de dönme hızı (+v) sağa doğru aynı yönlü olduğundan: v_K = v + v = 2v (Maksimum anlık hız!).

EYLEMSİZLİK MOMENTİ (I): DÖNME HAREKETİNE KARŞI DİRENÇEYLEMSİZLİK MOMENTİ (I) NEDİR?• Cismin dönme hareketindeki değişikliğe karşı gösterdiği direncin ölçüsüdür (Skaler büyüklüktür).• SI Birimi: kg · m² | Temel Bağıntı: I = Σ m · r²• Bağlı Olduğu 3 Değişken: 1) Cismin kütlesi (m), 2) Dönme ekseninin yeri, 3) Kütle dağılımı (eksenden uzaklık r arttıkça I artar!).AYNI m VE r İÇİN EYLEMSİZLİK MOMENTİ SIRALAMASI• İçi Boş Çember / Halka: I = m · r² (En Büyük!)• İçi Dolu Silindir / Disk: I = (1/2) · m · r²• İçi Dolu Küre: I = (2/5) · m · r² (En Küçük!)• İnce Çubuk (Ortasından): I = (1/12) · m · L²• İnce Çubuk (Ucundan): I = (1/3) · m · L²• Kütle merkezden dışa doğru toplandıkça I büyür!

3. Eylemsizlik Momenti (I): Tanımı ve Bağlı Olduğu Değişkenler

Doğrusal (öteleme) hareketinde Newton'un eylemsizlik yasasına göre bir cismin hız değişimine karşı gösterdiği direncin ölçüsü kütle (m) iken; dönme hareketinde açısal hız değişimine karşı gösterilen direncin ölçüsü eylemsizlik momentidir ve I sembolüyle gösterilir. Eylemsizlik momenti skaler bir büyüklüktür ve SI birim sistemindeki birimi kg · m2 dir.

Noktasal m kütleli bir parçacığın dönme eksenine dik uzaklığı r ise eylemsizlik momenti I = m · r2 olur. Çok sayıda parçacıktan oluşan katı bir cismin toplam eylemsizlik momenti ise: I = m₁·r₁2 + m₂·r₂2 + ... = Σ m · r2 bağıntısıyla bulunur. Bu denklemden açıkça görüldüğü üzere bir cismin eylemsizlik momenti üç temel değişkene bağlıdır: 1. Cismin toplam kütlesine (m): Kütle arttıkça eylemsizlik momenti doğru orantılı artar. 2. Dönme ekseninin yerine ve yönüne: Aynı çubuk ortasından geçen eksen etrafında kolay dönerken (I küçük), ucundan geçen eksen etrafında daha zor döner (I büyük). 3. Cismin geometrik şekline (kütlenin dönme eksenine dağılımına): Kütle dönme ekseninden ne kadar uzağa (r) toplanmışsa eylemsizlik momenti r2 ile orantılı olarak o kadar büyük olur!

DÖNME VE DÖNEREK ÖTELEME KİNETİK ENERJİSİ1. DÖNME KİNETİK ENERJİSİ (E_dönme)• Sabit bir eksen etrafında ω açısal hızıyla dönen cismin sahip olduğu kinetik enerjidir:• E_dönme = (1/2) · I · ω² (Birim: Joule - J)• Öteleme ile Benzerlik: Kütle (m) <-> Eylemsizlik Momenti (I) Çizgisel Hız (v) <-> Açısal Hız (ω)2. TOPLAM KİNETİK ENERJİ (Dönerek Öteleme)• Hem öteleme hem dönme yapan tekerlek/kürenin toplam kinetik enerjisi iki enerjinin toplamıdır:• E_toplam = E_öteleme + E_dönme• E_toplam = (1/2) · m · v² + (1/2) · I · ω²• Kaymadan dönmede v = ω · r yazılabilir.

4. Farklı Geometrik Cisimlerin Eylemsizlik Momentleri ve Cambaz Sırığı Örneği

Kütleleri (m) ve yarıçapları (r) birbirine eşit olan üç farklı cismin merkezlerinden geçen eksene göre eylemsizlik momentlerini karşılaştıralım: • İçi Boş Çember / İnce Halka: Tüm kütle dönme ekseninden en uzakta (r mesafede) toplandığı için eylemsizlik momenti en büyüktür: I_halka = m · r2. • İçi Dolu Silindir / Homojen Disk: Kütle merkezden dışa homojen dağılmıştır: I_disk = 12 · m · r2. • İçi Dolu Küre: Kütle merkeze daha yakın toplandığı için eylemsizlik momenti en küçüktür: I_küre = 25 · m · r2. Dolayısıyla eşit kütle ve yarıçaplı bu üç cisim için daima I_halka > I_disk > I_küre sıralaması geçerlidir (Ezberlemeye gerek yoktur; sınavlarda katsayılar parantez içinde verilir, ancak kütle dışarıda toplandıkça I'nın büyüdüğü yorumu çok önemlidir).

Gündelik Yaşam Örneği (İpte Yürüyen Cambaz): İp üzerinde yürüyen cambazların ellerinde çok uzun bir sırık taşımalarının sebebi, kütleyi dönme ekseninden (ip hizasından) uzağa yayarak eylemsizlik momentini (I) büyütmektir. Eylemsizlik momenti büyüdüğünde cambazın sağa veya sola devrilmeye (dönmeye) karşı direnci artar ve dengesini korumak için çok daha fazla zaman kazanır!

EĞİK DÜZLEMDEN KAYMADAN YUVARLANAN CİSİMLERİN YARIŞIENERJİ KORUNUMU ANALİZİ• h yüksekliğinden serbest bırakılan cisimde: m · g · h = (1/2) · m · v² + (1/2) · I · ω²• Eylemsizlik momenti (I) KÜÇÜK olan cisim, potansiyel enerjisinin daha büyük kısmını ÖTELEME hızına (v) dönüştürür ve yarışı kazanır!BİTİŞ ÇİZGİSİNE VARIŞ SIRALAMASI• Eylemsizlik Momentleri: I_halka > I_disk > I_küre• Tabandaki Öteleme Hızları: v_küre > v_disk > v_halka• İniş Süreleri: t_küre < t_disk < t_halka• Sonuç: Eğik düzlemden aynı anda bırakılan içi dolu KÜRE 1., DİSK (SİLİNDİR) 2., HALKA (ÇEMBER) 3. olur!

5. Dönme Kinetik Enerjisi ve Toplam Kinetik Enerji

Doğrusal hareket yapan m kütleli bir cismin v hızıyla sahip olduğu öteleme kinetik enerjisi E_öteleme = 12 · m · v2 dir. Sabit bir eksen etrafında ω açısal hızıyla dönen katı bir cismin sahip olduğu dönme kinetik enerjisi (E_dönme) ise kütle yerine eylemsizlik momenti (I), çizgisel hız yerine açısal hız (ω) yazılarak: E_dönme = 12 · I · ω2 bağıntısıyla hesaplanır (Birimi yine Joule [J] dür). Kayışla veya dişliyle birbirine bağlı kasnaklarda tur sayıları yarıçaplarla ters orantılı olduğu için ω₁ · r₁ = ω₂ · r₂ eşitliğinden açısal hızlar bulunur.

Yatay veya eğik düzlemde dönerek öteleme (yuvarlanma) hareketi yapan bir tekerlek, silindir veya küre aynı anda hem öteleme hem de dönme hareketi yaptığı için toplam kinetik enerjisi (E_toplam) bu iki enerjinin aritmetik toplamına eşittir: E_toplam = E_öteleme + E_dönme = 12 · m · v2 + 12 · I · ω2 Kaymadan yuvarlanan cisimlerde ω = vr veya I · ω2 yerine k · m · v2 yazılarak toplam enerji doğrudan m · v2 cinsinden bulunabilir.

6. Eğik Düzlemden Yuvarlanan Cisimlerde Mekanik Enerji Korunumu

Yerden h yüksekliğindeki bir eğik düzlemin tepesinden ilk hızsız serbest bırakılan ve kaymadan yuvarlanarak tabana inen m kütleli bir cisimde başlangıçtaki yer çekimi potansiyel enerjisi (m · g · h), tabanda hem öteleme hem de dönme kinetik enerjisine dönüşür: m · g · h = 12 · m · v2 + 12 · I · ω2

Bu denklemden iki çok önemli fiziksel sonuç çıkar: • 1. Kaymadan Yuvarlanan Cisim ile Sürtünmesiz Kayan Küpün Karşılaştırması: Sürtünmesiz eğik düzlemde dönmeden yalnızca kayarak inen bir küp tüm potansiyel enerjisini öteleme hızına çevirir (m·g·h = 12·m·v2). Yuvarlanan küre veya silindir ise enerjisinin bir kısmını dönmeye (E_dönme) harcadığı için tabana daha küçük bir öteleme hızıyla (v) ve daha uzun sürede ulaşır! • 2. Küre, Disk ve Çemberin Yarışı: Aynı yükseklikten aynı anda bırakılan içi dolu küre (I = 0,4 mr2), disk (I = 0,5 mr2) ve halka (I = mr2) arasında eylemsizlik momenti en küçük olan küre, dönmeye en az enerji ayırıp ötelemeye en çok enerji aktardığı için tabana en büyük hızla ve en kısa sürede (1. olarak) ulaşır!

Örnekler

  1. Örnek 1Yatay düzlemde kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan r = 0,5 m yarıçaplı bir tekerleğin kütle merkezinin hızı v = 6 m/s'dir. Buna göre; a) Tekerleğin açısal hızı (ω) kaç rad/s'dir? b) Tekerleğin yere değen en alt noktasının (M), yatay çap uçlarındaki yan noktasının (L) ve en üst tepe noktasının (K) yere göre anlık hızlarının büyüklükleri kaç m/s'dir?

    Cevabı göster

    a) Kaymadan dönerek ötelemede v = ω · r ⇒ 6 = ω · 0,5 ⇒ ω = 12 rad/s bulunur. b) • En alt (yere değme) noktası (M): v_M = v - v = 0 m/s. • Yan nokta (L): Öteleme ve dönme hızları dik olduğu için v_L = v ·  = 6 m/s. • En üst (tepe) noktası (K): v_K = v + v = 2v = 12 m/s.

  2. Örnek 2Kütlesi m = 4 kg, yarıçapı r = 0,5 m olan homojen bir diskin kütle merkezinden geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti kaç kg·m² dir ve disk ω = 10 rad/s açısal hızla sabit eksen etrafında dönerken dönme kinetik enerjisi kaç Joule olur? (I_disk = 12 · m · r2)

    Cevabı göster

    • Önce eylemsizlik momentini bulalım: I = 12 · m · r2 = 12 · 4 · (0,5)2 = 2 · 0,25 = 0,5 kg·m2. • Dönme kinetik enerjisi: E_dönme = 12 · I · ω2 = 12 · 0,5 · 102 = 0,25 · 100 = 25 Joule bulunur.

  3. Örnek 3Yatay düzlemde v = 10 m/s sabit öteleme hızıyla kaymadan yuvarlanan m = 2 kg kütleli içi dolu bir kürenin; a) Öteleme kinetik enerjisini, b) Dönme kinetik enerjisini, c) Toplam kinetik enerjisini hesaplayınız. (I_küre = 25 · m · r2)

    Cevabı göster

    a) Öteleme kinetik enerjisi: E_öteleme = 12 · m · v2 = 12 · 2 · 102 = 100 J. b) Dönme kinetik enerjisinde I = 25 · m · r2 ve ω = vr yerine yazılırsa (r2 sadeleşir): E_dönme = 12 · (25 · m · r2) · v2r2 = 15 · m · v2 = 15 · 2 · 100 = 40 J. c) Toplam kinetik enerji: E_toplam = E_öteleme + E_dönme = 100 + 40 = 140 J.

  4. Örnek 4Yarıçapları sırasıyla r_X = r ve r_Y = 3r olan X ve Y dişli çarklarının eylemsizlik momentleri arasında I_Y = 3 · I_X ilişkisi vardır. Çarklar birlikte dönerken X çarkının dönme kinetik enerjisi E_X olduğuna göre Y çarkının dönme kinetik enerjisi kaç E_X olur?

    Cevabı göster

    Birbirine bağlı dişlilerin tur sayıları ve açısal hızları yarıçaplarıyla ters orantılıdır: ω_X · r = ω_Y · 3r olduğundan ω_Y = ω dersek ω_X = 3ω olur. • E_X = 12 · I_X · (3ω)2 = 12 · 9 · I_X · ω2 • E_Y = 12 · (3 · I_X) · ω2 = 12 · 3 · I_X · ω2 Taraf tarafa oranlandığında E_YE_X = 39 = 13 ⇒ E_Y = 13 E_X bulunur.

  5. Örnek 5Yerden h = 7 m yükseklikteki eğik düzlemin tepesinden ilk hızsız bırakılan içi dolu bir küre, kaymadan yuvarlanarak eğik düzlemin tabanına indiğinde kütle merkezinin öteleme hızı (v) kaç m/s olur? (g = 10 m/s², I_küre = 25 · m · r2)

    Cevabı göster

    Enerji korunumu denklemini yazalım: m · g · h = 12 · m · v2 + 12 · I · ω2 I = 25 m r2 ve ω = vr yerine yazılıp m'ler sadeleştirilirse: g · h = 12 v2 + 15 v2 = 710 v2 Verilenleri yerine koyalım (g = 10, h = 7): 10 · 7 = 710 · v2 ⇒ 70 = 710 · v2 ⇒ v2 = 100 ⇒ v = 10 m/s bulunur.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Yatay bir yolda sabit v öteleme süratiyle kaymadan dönerek ilerleyen r yarıçaplı bir bisiklet tekerleğinin en üst (tepe) noktasının yere göre anlık hız büyüklüğü v_üst, yere değdiği en alt noktasının yere göre anlık hız büyüklüğü ise v_alt olduğuna göre (v_üst, v_alt) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 2Bir cismin sabit bir eksen etrafındaki eylemsizlik momenti (I) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi YANLIŞTIR?

  3. 3Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • Yarıçapı r olan bir tekerlek yatay zeminde kaymadan 3 tam tur dönerek ilerlediğinde, tekerleğin kütle merkezi yatayda 6πr kadar yer değiştirir.

  4. 4Aşağıdaki ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz.

    • Bir eğik düzlemin aynı yüksekliğinden aynı anda serbest bırakılan eşit kütle ve yarıçaplı içi boş halka ve içi dolu küreden, eğik düzlemin tabanına önce içi boş halka ulaşır.

  5. 5Kaymadan v hızıyla dönerek öteleme yapan tekerlek üzerindeki noktaları ve kavramları doğru karşılıklarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.

    1. Dönme hareketi yapan bir cismin dönme durumundaki değişikliğe karşı gösterdiği dirence momenti denir ve I harfiyle gösterilir.
    2. İp üzerinde yürüyen bir cambazın elinde uzun bir sırık taşıması, eylemsizlik momentini dengede kalmasını kolaylaştırır.

  7. 7Cümlelerdeki boşlukları uygun kelimelerle tamamlayınız.

    1. Dönerek öteleme hareketi yapan bir cismin toplam kinetik enerjisi, kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin toplamına eşittir.
    2. Eylemsizlik momentinin Uluslararası Birim Sistemindeki (SI) birimi 'dir.

  8. 8Kaymadan dönerek öteleme hareketi ve enerji sorularını çözerken izlenecek 3 temel adımı değerlendiriniz.

Kısaca

  • Bir cismin kütle merkezinin yer değiştirmesiyle birlikte kendi ekseni etrafında dönerek ilerlemesine dönerek öteleme (yuvarlanma) hareketi denir; r yarıçaplı tekerlek kaymadan 1 tam tur döndüğünde kütle merkezi yatayda çemberin çevresi kadar (Δx = 2πr) yol alır.
  • Kaymadan dönerek öteleme yapan tekerleğin kütle merkezinin hızı v ise; tekerlek üzerindeki her noktanın öteleme hızı v (hareket yönünde) ve çember üzerindeki noktaların dönme hızı büyüklüğü v (yarıçapa dik) olur.
  • Herhangi bir noktanın yere göre anlık hızı, o noktanın öteleme hızı ile dönme hızının vektörel toplamıdır: Yere değme noktasında (M) v_M = 0, merkezde (O) v_O = v, yan noktalarda (L, N) v_L = v·, en üst noktada (K) ise v_K = 2v olur (Pratik formül: v_X = ω · d_M).
  • Dönme hareketi yapan bir cismin açısal hızındaki değişime karşı gösterdiği dirence eylemsizlik momenti (I) denir; skalerdir, SI birimi kg · m2 olup I = Σ m · r2 bağıntısıyla ifade edilir.
  • Eylemsizlik momenti; cismin kütlesine (m), dönme ekseninin yerine ve kütlenin dönme eksenine olan uzaklığına (geometrik şekline) bağlıdır; açısal hıza (ω) veya periyoda bağlı değildir.
  • Dönerek öteleme yapan bir cismin toplam kinetik enerjisi, öteleme ve dönme kinetik enerjilerinin toplamına eşittir: E_toplam = E_öteleme + E_dönme = 12 · m · v2 + 12 · I · ω2.

Bu dersin öteki kaynakları