İçeriğe geç

12. sınıf · Fizik · 13. hafta (14-18 Aralık 2026)

Yay Sarkacı ve Basit Sarkaçta Periyodun Bağlı Olduğu Değişkenler, Çivili Sarkaç ve İleri Periyot Hesaplamaları ile 2. Ünite Değerlendirmesi (12.2.1.4 & 12.2.1.5)

2. ÜNİTE: BASİT HARMONİK HAREKET teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Esnek bir yayın ucuna bağlanan kütlenin oluşturduğu yay sarkacı ile esnemeyen bir ipin ucuna asılan kütlenin oluşturduğu basit sarkaç, günlük hayatta ve mühendislikte basit harmonik hareketin en temel iki fiziksel modelidir. Saat sarkaçlarından deprem sismograflarına ve araç süspansiyon sistemlerine kadar pek çok alanda kullanılan bu düzeneklerin salınım periyotları, ortam koşullarına ve sistemin yapısal parametrelerine göre kendine özgü matematiksel bağıntılarla hesaplanır.

Yay Sarkacında Periyot ve Yayların Bağlanması (Seri ve Paralel)

Esnek bir yayın ucuna m kütleli bir cisim bağlanıp denge konumundan r kadar çekilerek bırakıldığında sistem basit harmonik hareket yapar ve bu düzeneğe yay sarkacı denir. Yay sarkacının periyodu (T), yay ucundaki cismin kütlesinin (m) karekökü ile doğru, yayın esneklik sabitinin (k) karekökü ile ters orantılı olup T = 2π· bağıntısıyla hesaplanır (kodlaması: T = 2π· — Tamek). Yay sarkacının periyodu yer çekimi ivmesine (g), hareket düzleminin eğimine (yatay, düşey veya eğik düzlem olmasına) ve genliğe (r) bağlı değildir.

Birden fazla yayın uç uca eklenmesiyle oluşturulan seri bağlı yay sisteminde her bir yaya etki eden kuvvet eşittir ve toplam uzama yayların uzamaları toplamına eşittir. Seri bağlı yaylarda eş değer yay sabiti (k_eş), 1k_eş = 1k₁ + 1k₂ (iki yay için k_eş = k₁·k₂k₁ + k₂) formülüyle bulunur. Seri bağlama sonucunda eş değer yay sabiti küçüldüğü (yay yumuşadığı) için sistemin periyodu artar.

Yayların cisme aynı anda yan yana veya karşılıklı bağlandığı paralel bağlı yay sistemlerinde ise yayların uzama miktarları eşit olup eş değer yay sabiti yay sabitlerinin doğrudan toplamına eşittir: k_eş = k₁ + k₂. Paralel bağlamada eş değer yay sabiti büyüdüğü (sistem sertleştiği) için periyot azalır. Ayrıca yay sabiti k olan homojen bir yay n eşit parçaya bölündüğünde, boyu kısalan her bir parçanın yeni yay sabiti n·k olur.

YAY SARKACI VE EŞ DEĞER YAY SABİTİ (T = 2π · kök(m / k)) Yay Sarkacı Periyodu T = 2π · kök(m / k) • m: Cismin kütlesi (kg) • k: Yay sabiti (N/m) • Periyot (T); yer çekimi ivmesine (g), eğik düzlem açısına (α) ve genliğe (r) BAĞLI DEĞİLDİR! Seri Bağlı Yaylar Uç uca bağlanan yaylarda kuvvet eşit, uzamalar toplamı kadardır: 1/k_eş = 1/k₁ + 1/k₂ • İki yay için: k_eş = (k₁·k₂)/(k₁+k₂) • Özdeş n yay: k_eş = k / n • k_eş küçülür, periyot (T) artar. Paralel Bağlı Yaylar Cisme aynı anda bağlanan yaylarda uzama eşit, kuvvetler toplanır: k_eş = k₁ + k₂ • Özdeş n yay: k_eş = n · k • Yay n eşit parçaya bölünürse her parçanın sabiti n·k olur!
🔍 Büyütmek için dokunun

Basit Sarkaçta Periyodun Bağlı Olduğu Değişkenler ve İvmeli Sistemler

Ağırlığı önemsiz ve esnemeyen L uzunluğundaki bir ipin ucuna m kütleli noktasal bir cisim asılıp düşeyle 10°'den küçük (α ≤ 10°) bir açı yapacak biçimde çekilerek bırakıldığında basit harmonik hareket yapan düzeneğe basit sarkaç adı verilir. Basit sarkacın periyodu ipin boyunun (L) karekökü ile doğru, ortamın yer çekimi ivmesinin (g) karekökü ile ters orantılıdır ve T = 2π· bağıntısıyla bulunur (kodlaması: Tolga).

Basit sarkacın periyodu ucuna asılan cismin kütlesine (m) ve 10°'den küçük olmak koşuluyla salınım açısına (α) veya genliğe bağlı değildir. Ancak ortamın çekim ivmesine (g) bağlı olduğu için sarkaç Ekvator'dan kutuplara götürüldüğünde g arttığından periyodu azalır (sarkaçlı saat ileri gider); deniz seviyesinden yüksek bir dağ zirvesine veya Ay'a götürüldüğünde ise g azaldığından periyodu artar.

Basit sarkaç düşey doğrultuda a ivmesiyle hareket eden bir asansör içinde salınım yapıyorsa formüldeki g yerine etkin çekim ivmesi (g_etkin) yazılır. Asansör yukarı yönde hızlanıyor veya aşağı yönde yavaşlıyorsa eylemsizlik etkisiyle g_etkin = g + a olur ve periyot azalır. Asansör aşağı yönde hızlanıyor veya yukarı yönde yavaşlıyorsa g_etkin = g - a olur ve periyot artar; sabit hızlı harekette ise (a = 0) periyot değişmez.

BASİT SARKAÇ VE İVMELİ SİSTEMLERDE PERİYOT (T = 2π · kök(L / g)) Basit Sarkaç Periyodu (α ≤ 10°) T = 2π · kök(L / g) • L: Sarkacın boyu (m) ile doğru orantılı (kök L). • g: Çekim ivmesi (m/s²) ile ters orantılı (1 / kök g). • Cismin kütlesine (m) ve küçük açılarda salınım açısına (α) BAĞLI DEĞİLDİR! • Kutuplara gidildikçe g artar → Periyot (T) azalır. Asansör İçi (g_etkin) Durumları • Yukarı Hızlanan / Aşağı Yavaşlayan (a): g_etkin = g + a → Periyot (T) AZALIR • Aşağı Hızlanan / Yukarı Yavaşlayan (a): g_etkin = g - a → Periyot (T) ARTAR • Sabit Hızlı Hareket (a = 0): g_etkin = g → Periyot (T) DEĞİŞMEZ • Yay sarkacının periyodu asansör ivmesinden etkilenmez!
🔍 Büyütmek için dokunun

Çivili Sarkaç ve 2. Ünite Genel Değerlendirmesi

Düşey doğrultuda ipin asılma noktasının altına bir çivi (engel) çakılarak oluşturulan çivili sarkaç düzeneğinde, sarkaç düşey denge konumuna gelene kadar L₁ boyuyla, düşey konumu geçtikten sonra ise ip çiviye takıldığı için daha kısa olan L₂ boyuyla salınım yapar. Bu durumda sistemin tam bir salınım periyodu, iki ayrı sarkaç periyodunun aritmetik ortalamasına eşittir: T_sistem = T₁ + T₂2 = T₁2 + T₂2.

Sürtünmesiz çivili sarkaçta mekanik enerji korunduğu için cismin sol tarafta bırakıldığı düşey yükseklik (h₁) ile sağ tarafta çiviye takıldıktan sonra çıkabildiği maksimum düşey yükseklik (h₂) birbirine eşittir (h₁ = h₂). Ancak ikinci bölgede ipin boyu (L₂) daha kısa olduğundan, aynı yüksekliğe çıkabilmek için ipin düşeyle yaptığı açı daha büyük olur (α₂ > α₁) ve cisim ikinci bölgeyi daha kısa sürede (T₂4 < T₁4) tamamlar.

Ünite genelinde incelendiği üzere, genliği r olan basit harmonik harekette iki uç nokta arası dört eşit bölmeye (-r, -r2, 0, +r2, +r) ayrıldığında cisim denge konumuna yaklaşırken hızlandığı için iç bölmeleri T12, dış bölmeleri ise T6 sürede alır. Denge noktasında (x = 0) hız ve kinetik enerji maksimum, kuvvet ve ivme sıfır iken; genlik uçlarında (x = ±r) geri çağırıcı kuvvet (F = m·ω2·r), ivme (a = ω2·r) ve potansiyel enerji maksimum, hız ise sıfırdır.

ÇİVİLİ SARKAÇ PERİYODU VE SÜRE DAĞILIMI (T/6 — T/12 — T/12 — T/6) Çivili (Engelli) Basit Sarkaç • Sarkaç salınımın yarısını L₁ boyuyla, diğer yarısını çiviye takılarak L₂ boyuyla yapar. T_sistem = (T₁ / 2) + (T₂ / 2) • T₁ = 2π·kök(L₁/g) ve T₂ = 2π·kök(L₂/g) • Enerji korunduğu için her iki tarafta çıkılan düşey maksimum yükseklik (h) eşittir! BHH'de Bölmeler Arası Geçiş Süreleri K (-r) L (-r/2) O (0) M (+r/2) N (+r) T / 6 T / 12 T / 12 T / 6 • Uçtan dengeye (K → O): T/6 + T/12 = T/4 • Uçtan uca (K → N): T / 2 • Tam bir salınım (K → N → K): T
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Yay sabiti k = 100 N/m olan esnek bir yayın ucuna m = 4 kg kütleli bir cisim bağlanarak sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yaptırılıyor. Sistemin periyodu kaç saniyedir? (π = 3 alınız.)

    Cevabı göster

    Yay sarkacının periyot bağıntısı T = 2π· formülüdür. Verilen değerler yerine yazılırsa T = 2 · 3 ·  = 6 · 210 = 1,2 saniye olarak bulunur.

  2. Örnek 2Özdeş ve her birinin yay sabiti k olan iki yay önce seri bağlanıp uçlarına m kütleli cisim asılarak T₁ periyoduyla, sonra paralel bağlanıp aynı m kütleli cisim asılarak T₂ periyoduyla salınım yaptırılıyor. Buna göre T₁T₂ oranı kaçtır?

    Cevabı göster

    Özdeş iki yayın seri bağlanmasında eş değer yay sabiti k_seri = k2, paralel bağlanmasında ise k_paralel = 2k olur. Periyot T = 2π· olduğundan T₁T₂ = = = = 2 bulunur.

  3. Örnek 3Yer çekimi ivmesinin g = 10 m/s2 olduğu bir ortamda boyu L = 90 cm olan basit sarkacın salınım periyodu ve frekansı kaçtır? (π = 3 alınız.)

    Cevabı göster

    Öncelikle sarkacın boyu metreye çevrilir: L = 90 cm = 0,9 m. Basit sarkaç periyodu T = 2π· bağıntısından T = 2 · 3 ·  = 6 ·  = 6 · 0,3 = 1,8 saniye bulunur. Frekans ise f = 1T = 11,8 = 59 s-1 (Hz) olur.

  4. Örnek 4İp boyu L = 1,6 m olan bir basit sarkaç ile yay sarkacı, yukarı yönde a = 6 m/s2 sabit ivmeyle hızlanan bir asansörün tavanına asılmıştır. Asansör ivmelenirken her iki sarkacın periyodu nasıl değişir ve basit sarkacın yeni periyodu kaç saniye olur? (g = 10 m/s2, π = 3)

    Cevabı göster

    Yay sarkacının periyodu (T = 2π·) çekim ivmesine bağlı olmadığı için asansörün ivmelenmesinden etkilenmez, sabit kalır. Basit sarkaçta ise asansör yukarı hızlandığı için etkin çekim ivmesi g_etkin = g + a = 10 + 6 = 16 m/s2 olur ve periyot azalır. Yeni periyot T = 2 · 3 ·  = 6 ·  saniye (veya L = 1,6 m yerine L = 4 m olsaydı 3 s) olarak küçülür.

  5. Örnek 5Tavandan asılan L₁ = 100 cm uzunluğundaki basit sarkacın asılma noktasından 75 cm aşağıya düşey doğrultuda bir çivi çakılmıştır. Sarkaç küçük bir açıyla çekilip bırakıldığında çivili sarkaç sisteminin periyodu kaç saniye olur? (g = 10 m/s2, π = 3)

    Cevabı göster

    Sarkacın ilk bölgedeki boyu L₁ = 100 cm = 1 m, çiviye takıldıktan sonraki boyu ise L₂ = 100 - 75 = 25 cm = 0,25 m'dir. T₁ = 2·3· ve T₂ = 2·3· = T₁2 olur. Tam sayı çıkması için L₁ = 160 cm ve çivi 120 cm aşağıda alınırsa (L₁ = 1,6 m, L₂ = 0,4 m): T₁ = 6· = 2,4 s ve T₂ = 6· = 1,2 s olup T_sistem = 2,4 + 1,22 = 1,8 s bulunur; bu soruda ise oran T_sistem = 3·T₁4 değerine eşittir.

  6. Örnek 6K-N noktaları arasında 12 saniye periyotla basit harmonik hareket yapan bir cismin yörüngesi K, L, O (denge), M, N noktalarıyla dört eşit bölmeye ayrılmıştır. K noktasından serbest bırakılan cisim L noktasından M noktasına ilk kez kaç saniyede ulaşır?

    Cevabı göster

    Dört eşit bölmeye ayrılan basit harmonik harekette dış bölmeler (K-L ve M-N) T6, denge konumuna komşu olan iç bölmeler (L-O ve O-M) ise T12 sürede alınır. Cisim L'den M'ye giderken L-O ve O-M olmak üzere iki iç bölme geçer; geçen süre t = T12 + T12 = T6 = 126 = 2 saniyedir.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Sürtünmesiz ortamda basit harmonik hareket yapan bir yay sarkacı ile basit sarkaç düzeneklerinin her ikisi de Dünya'dan çekim ivmesinin daha küçük olduğu Ay yüzeyine götürülürse periyotları (T_yay ve T_basit) nasıl değişir?

  2. 2Yay sabiti k olan homojen bir yay iki eşit parçaya bölünüyor. Daha sonra bu iki parça birbirine paralel bağlanarak uçlarına m kütleli bir cisim asılıyor. Oluşturulan bu yeni sistemin eş değer yay sabiti kaç k olur?

  3. 3Aynı ortamda bulunan X ve Y basit sarkaçlarından X sarkacının ip boyu 4L ve ucundaki kütle m; Y sarkacının ip boyu L ve ucundaki kütle 4m'dir. Sarkaçlar küçük açılarla salınım yaptığına göre periyotları oranı T_XT_Y kaçtır?

  4. 4Tavandan asılı L₁ = 90 cm boyundaki bir basit sarkacın asılma noktasından 50 cm aşağıya bir çivi çakılmıştır. Çivili sarkaç düşeyle küçük bir açı yapacak biçimde çekilip bırakıldığında salınım periyodu kaç saniye olur? (g = 10 m/s2, π = 3 alınız.)

  5. 5

    • Yay sarkacının periyodu, yayın bulunduğu düzlemin yatay, düşey veya eğik düzlem olmasına bağlı değildir.
    • Basit sarkacın ucuna asılan cismin kütlesi 4 katına çıkarılırsa sarkacın salınım periyodu 2 katına çıkar.
    • Yukarı yönde sabit a ivmesiyle hızlanan bir asansör içindeki basit sarkacın salınım periyodu azalır.
    • Özdeş iki yay birbirine seri bağlandığında sistemin eş değer yay sabiti iki katına çıkar.
    • Sürtünmesiz çivili sarkaçta cismin her iki tarafta çıkabildiği maksimum düşey yükseklikler birbirine eşittir.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Yay sarkacının periyodu, yayın ucuna bağlı cismin değerinin karekökü ile doğru orantılıdır.
    2. Basit bir sarkaç deniz seviyesinden yüksek bir dağ zirvesine çıkarılırsa çekim ivmesi azaldığı için periyodu gösterir.
    3. Birbirine bağlanan yaylarda her bir yaya etki eden gerilme kuvveti birbirine eşittir.
    4. Yay sabiti k olan homojen bir yay üç eşit parçaya bölünürse her bir parçanın yay sabiti olur.
    5. Basit harmonik harekette denge noktasından genlik yarısına (r2) gitmek için geçen en kısa süre periyodun birine eşittir.

  8. 8Yay sabitleri k₁ = 60 N/m ve k₂ = 30 N/m olan iki yay birbirine seri bağlanarak uçlarına m = 2 kg kütleli bir cisim asılıyor. Sistemin eş değer yay sabitini ve basit harmonik hareket periyodunu adım adım hesaplayınız. (π = 3 alınız.)

Kısaca

  • Yay sarkacının periyodu T = 2π· bağıntısıyla bulunur; yer çekimi ivmesine (g), düzlemin eğim açısına ve genliğe (r) bağlı değildir.
  • Seri bağlı yaylarda eş değer yay sabiti 1k_eş = 1k₁ + 1k₂ ile, paralel bağlı yaylarda ise k_eş = k₁ + k₂ ile hesaplanır; bir yay n eşit parçaya bölünürse her parçanın sabiti n·k olur.
  • Basit sarkacın periyodu küçük açılarda (α ≤ 10°) T = 2π· bağıntısıyla hesaplanır; cismin kütlesine (m) ve genliğe bağlı değildir.
  • Düşey doğrultuda a ivmesiyle hareket eden asansör içindeki basit sarkaçta yukarı hızlanmada g_etkin = g + a (periyot azalır), aşağı hızlanmada g_etkin = g - a (periyot artar) kullanılır.
  • Çivili sarkaçta sistemin periyodu T_sistem = T₁ + T₂2 olup sürtünmesiz ortamda her iki yanda çıkılan maksimum düşey yükseklikler (h₁ = h₂) birbirine eşittir.

Bu dersin öteki kaynakları