Cebirsel İfadelerle İşlemler: Benzer Terimler, Tek Terimlilerin Çarpımı, Dağılma Özelliği ve İki Terimlilerin Çarpımı (Modellerle)

Geçen hafta cebirsel ifadenin yapı taşlarını ve benzer terim kavramını tanıdık. Çarpma işlemine geçmeden önce bu bilgiyi işleme dönüştürmemiz gerekir. İki ifade çarpıldığında ortaya çıkan terimlerin bir kısmı benzer terimdir ve sonuç ancak bunlar birleştirildiğinde en sade hâline ulaşır. Benzer terimler toplanırken ya da çıkarılırken yalnızca katsayılar toplanır veya çıkarılır; değişken ve üs olduğu gibi kalır: 3x + 5x = 8x, 4a² − a² = 3a², −2y + 7y = 5y.

Birden fazla değişken içeren ifadelerde önce benzer terimler gruplanır. 3x + 2y + 5x − y ifadesinde x'li terimler 3x ile 5x, y'li terimler 2y ile −y'dir. Gruplar ayrı ayrı toplandığında 8x ve y elde edilir; ifadenin sade biçimi 8x + y olur. Benzer olmayan terimler toplama işaretiyle yan yana yazılır. 8x + y ifadesi '9xy' gibi tek bir terime dönüştürülemez, çünkü x ile y farklı nicelikleri gösterir.

İki cebirsel ifade toplanırken parantezler doğrudan kaldırılır: (2x + 3) + (x − 5) = 2x + 3 + x − 5 = 3x − 2. Çıkarmada ise parantezin önündeki eksi işareti, parantez içindeki her terimin işaretini değiştirir. (5y − 1) − (2y − 4) işleminde ikinci parantez açılınca −2y + 4 olur. İfade 5y − 1 − 2y + 4 = 3y + 3 biçiminde sadeleşir. Parantez önündeki eksi aslında −1 ile çarpmadır; bu fikir sonraki bölümlerde göreceğimiz çarpma işleminin ilk adımıdır.

İki tek terimli çarpılırken katsayılar kendi aralarında, değişkenler kendi aralarında çarpılır. Bunu çarpmanın değişme ve birleşme özellikleri sağlar: 3x · 4x = 3 · x · 4 · x = (3 · 4) · (x · x) = 12x². Aynı harfin çarpımı üslü olarak yazılır (x · x = x²). Farklı harfler ise yan yana yazılarak çarpım gösterilir (a · b = ab). Böylece 2a · 5b = 10ab ve 4x · 3 = 12x olur.

Katsayılar tam sayı olduğundan çarpımda işaret kuralları uygulanır: aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif, farklı işaretli iki sayının çarpımı negatiftir. Buna göre (−3y) · (−2y) = 6y², (−4x) · 5x = −20x² ve 7a · (−b) = −7ab olur. İşlemi üç küçük adıma bölmek hatayı azaltır: önce işaret, sonra katsayı, en son değişkenler belirlenir.

Çarpılan terimlerden biri zaten üslü ise aynı tabanlı üslü ifadelerin çarpım kuralı kullanılır ve üsler toplanır: x² · x = x · x · x = x³, a · ab = a²b, −2a² · 3b = −6a²b. Üsler toplanırken katsayılar çarpılır. '3x · 4x = 7x²' ya da '12x' yazmak katsayı ile üs kurallarını karıştırmaktır. Sonucu kontrol etmek için x yerine küçük bir sayı yazılabilir: x = 2 için 3 · 2 · 4 · 2 = 48 ve 12 · 2² = 48 eşittir.

Cebirsel ifadelerin çarpımını somutlaştırmanın en etkili yolu alan modelidir. Bir dikdörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımıdır. Bu yüzden kenarlara iki cebirsel ifade yazılırsa dikdörtgenin alanı bu iki ifadenin çarpımını verir. Bu modelde cebir karoları kullanılır: kenarları x ve x olan büyük kare x²'yi, kenarları x ve 1 olan uzun dikdörtgen x'i, kenarları 1 ve 1 olan küçük kare 1'i gösterir. Negatif terimler için genellikle farklı renkte (örneğin kırmızı) karolar kullanılır.

x · (x + 3) çarpımını modelleyelim. Dikdörtgenin bir kenarı x, diğer kenarı x + 3 olacaktır; uzun kenar bir x parçası ile üç tane 1 parçasından oluşur. x ile x'in karşılaştığı bölgeye bir x² karosu, x ile her 1'in karşılaştığı bölgeye birer x karosu yerleşir. Dikdörtgen 1 büyük kare ve 3 uzun karo ile dolar, alan x² + 3x olur. Benzer biçimde 2 · (x + 4) modelinde iki sıra oluşur. Her sırada bir x karosu ile dört birim karo bulunur; toplam alan 2x + 8'dir.

Modelin gücü, çarpımdaki her terimin nereden geldiğini göstermesidir. Bir kenardaki her parça diğer kenardaki her parçayla bir kez karşılaşır. Bu karşılaşmaların her biri bir kısmi çarpımdır ve dikdörtgende bir bölge oluşturur. Karolar sayıldıktan sonra aynı türden olanlar bir araya getirilir; bu, benzer terimleri birleştirmenin görsel karşılığıdır. Negatif karo içeren modellerde bir pozitif ve bir negatif x karosu yan yana geldiğinde birbirini götürür, yani x + (−x) = 0 olur.

Bir tek terimliyi parantez içindeki çok terimli bir ifadeyle çarparken çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği kullanılır: a · (b + c) = ab + ac ve a · (b − c) = ab − ac. Parantezin dışındaki terim, parantezin içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır ve sonuçlar işaretleriyle birlikte yazılır. Bu özellik, 3 · (10 + 2) = 30 + 6 = 36 gibi sayısal hesapların cebirsel genellemesidir.

y(3y − 2) işlemini adım adım yapalım. Birinci kısmi çarpım y · 3y = 3y², ikinci kısmi çarpım y · (−2) = −2y'dir. Sonuç 3y² − 2y olur; bu iki terim benzer olmadığından ifade daha fazla sadeleşmez. Dışarıdaki terim negatif olduğunda işaretlere özellikle dikkat edilir. −2x(x − 4) işleminde −2x · x = −2x² ve −2x · (−4) = +8x olduğundan sonuç −2x² + 8x bulunur.

Parantez içinde üç terim olduğunda da yöntem aynıdır, yalnızca kısmi çarpım sayısı üçe çıkar: 3a(2a + b − 1) = 6a² + 3ab − 3a. Çarpan sağda yazılmışsa sonuç değişmez, çünkü çarpmanın değişme özelliği vardır: (x + 5) · 4 = 4x + 20. Alan modelinde bu işlem, kısa kenarı tek terimli, uzun kenarı parçalara ayrılmış çok terimli olan bir dikdörtgene karşılık gelir. Dikdörtgenin her bölgesi bir kısmi çarpımdır; negatif parçalar içeren durumlarda aynı düzen bir çarpım tablosu olarak kullanılır.

İki terimli bir ifade başka bir iki terimliyle çarpılırken dağılma özelliği iki kez uygulanır ve birinci parantezdeki her terim ikinci parantezdeki her terimle çarpılır. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd olduğundan sadeleştirmeden önce dört kısmi çarpım elde edilir. (x + 2)(x + 3) işleminde x · x = x², x · 3 = 3x, 2 · x = 2x ve 2 · 3 = 6 olur. Benzer terimler 3x ile 2x birleştirildiğinde sonuç x² + 5x + 6 bulunur. Karolarla düşünüldüğünde bu, 1 büyük kare, 5 uzun karo ve 6 birim karodan oluşan bir dikdörtgendir.

(2x + 3)(5x − 1) çarpımını tablo yöntemiyle yapalım. Satırlara 2x ve +3, sütunlara 5x ve −1 yazılır ve kutular doldurulur: 2x · 5x = 10x², 2x · (−1) = −2x, 3 · 5x = 15x, 3 · (−1) = −3. Kutulardaki terimler toplanır: 10x² − 2x + 15x − 3. Benzer terimler −2x ile 15x birleşince 13x olur ve sonuç 10x² + 13x − 3 elde edilir.

Negatif terimler arttıkça işaretlere daha da dikkat etmek gerekir. (x − 4)(x + 1) = x² + x − 4x − 4 = x² − 3x − 4 olur. (3a − 2)(a − 5) = 3a² − 15a − 2a + 10 = 3a² − 17a + 10 bulunur; son örnekte (−2) · (−5) = +10 olduğuna dikkat ediniz. Sonucu kontrol etmenin pratik yolu değişkene bir sayı vermektir. x = 2 için (2 · 2 + 3)(5 · 2 − 1) = 7 · 9 = 63 ve 10 · 4 + 13 · 2 − 3 = 63 bulunur; iki değer eşit olduğundan çarpım doğrudur.

Cebirsel ifadelerin çarpımı en çok alan ve hacim hesaplarında karşımıza çıkar. Kenarları (x + 4) m ve (2x − 1) m olan dikdörtgen bir bahçenin alanı (x + 4)(2x − 1) çarpımıdır. Dört kısmi çarpım 2x² − x + 8x − 4 olup sade biçim 2x² + 7x − 4 metrekaredir. x = 3 için kenarlar 7 m ve 5 m, alan 35 metrekaredir; bulunan ifade de 2 · 9 + 7 · 3 − 4 = 18 + 21 − 4 = 35 değerini verir.

Bir şeklin boyutları değiştiğinde yeni alan da çarpımla bulunur. Bir kenarı x cm olan kare bir kartonun bir kenarı 3 cm uzatılıp diğer kenarı 2 cm kısaltılırsa yeni dikdörtgenin alanı (x + 3)(x − 2) = x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6 santimetrekare olur. Bu sonuç alanın ilk kareye göre x − 6 kadar değiştiğini gösterir. x = 10 için kare 100, yeni dikdörtgen 13 · 8 = 104 santimetrekaredir ve fark 104 − 100 = 4 = 10 − 6 olur.

Bazı ifadelerde çarpma ile toplama ve çıkarma bir arada bulunur. Bu durumda önce çarpmalar yapılır, sonra parantezler kaldırılıp benzer terimler birleştirilir: 2x(x + 3) − x(x − 1) = 2x² + 6x − x² + x = x² + 7x. İkinci çarpımın önündeki eksi işareti, o çarpımın sonucundaki tüm terimlere uygulanır. Hacim hesabında üç boyut çarpılır: taban kenarları x ve x, yüksekliği (x + 2) olan kare prizmanın hacmi x²(x + 2) = x³ + 2x² olur.