İçeriğe geç

8. sınıf · Matematik · 9. hafta (9-13 Kasım 2026)

Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri ile Kareköklü Bir İfadeyi Doğal Sayı Yapan Çarpanlar (M.8.1.3.5 & M.8.1.3.6)

Sayılar ve İşlemler teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Kareköklü ifadelerde dört işlem becerimizi derinleştirdiğimiz bu haftada, iki temel kazanım üzerinde yoğunlaşıyoruz: Birincisi, kök içlerini eşitleyerek kareköklü ifadelerle toplama-çıkarma yapmak ve geometrik şekillerin çevre uzunluklarını hesaplamak; ikincisi ise kareköklü bir ifadeyi kökten kurtarıp doğal sayıya dönüştüren çarpanları tespit etmektir.

Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri (M.8.1.3.5)

Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için terimlerin karekök içindeki sayılarının birebir aynı olması zorunludur. Kök içleri eşit olan ifadelerde kök önündeki katsayılar kendi arasında toplanır veya çıkarılır; ortak karekök ise hiç değiştirilmeden sonuca çarpım olarak yazılır: `a + b - c = (a + b - c)`. Örneğin `7 + 4 - 3 = (7 + 4 - 3) = 8` bulunur.

Karekök içindeki sayılar birbirinden farklıysa terimler doğrudan toplanamaz; önce her bir terim tam kare çarpanları kök dışına çıkarılarak `a` biçiminde yazılır. Örneğin ` - + ` işleminde ` = 7`, ` = 5` ve ` = 2` olarak dönüştürülür; ardından `7 - 5 + 2 = 4` sonucu elde edilir.

Katsayısı yazılmamış olan kareköklü bir ifadenin katsayısı `1` kabul edilir (` = 1`). Eğer ifadeler `a` biçimine getirildiği halde kök içleri eşitlenemiyorsa (`4 + 3` gibi), bu terimler arasında toplama veya çıkarma yapılamaz ve ifade olduğu gibi bırakılır.

KAREKÖKLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ 1. Kök İçleri Aynı Olan İfadeler a·kök(x) + b·kök(x) - c·kök(x) = (a + b - c)·kök(x) • Kök içindeki sayı aynen kalır, değiştirilmez. • Yalnızca kök önündeki katsayılar toplanır/çıkarılır. Örnek: 6·kök(5) + 3·kök(5) - kök(5) = 8·kök(5) Dikkat: kök(a) + kök(b) ≠ kök(a + b) kök(16) + kök(9) = 4 + 3 = 7 (kök(25) = 5 değildir!) 2. Kök İçleri Farklı Olan İfadeler • Terimler önce a·kök(b) biçimine getirilir. • Kök içleri eşitlenen terimler kendi arasında toplanır. Örnek: kök(75) + kök(48) - kök(12) = 5·kök(3) + 4·kök(3) - 2·kök(3) = (5 + 4 - 2)·kök(3) = 7·kök(3) Kök içleri eşitlenemiyorsa işlem aynen bırakılır.
🔍 Büyütmek için dokunun

Geometrik Şekillerde Çevre ve Uzunluk Problemleri

Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri en çok çokgenlerin çevre uzunluğu, tel bükme, şerit kesme ve yan yana dizilen karesel bölgelerin uzunluk problemlerinde karşımıza çıkar. Bir dikdörtgenin çevresi bulunurken kısa ve uzun kenarlar `a` biçimine getirilip toplanır ve sonuç `2` ile çarpılır.

Alanı verilen bir karesel bölgenin bir kenar uzunluğu, alanın kareköküne eşittir (`Alan = A` ise bir kenar `a = ` ve karenin çevresi `4` olur). Örneğin alanı `108 cm²` olan bir karenin bir kenarı ` = 6 cm`, çevresi ise `4 · 6 = 24 cm` olarak hesaplanır.

Toplam uzunluğu verilen bir tel veya tahta parçasından belirli uzunlukta parçalar kesildiğinde kalan parça çıkarma işlemiyle bulunur. Örneğin ` = 10 m` uzunluğundaki bir telden önce ` = 4 m`, sonra ` = 3 m` kesilirse geriye `10 - (4 + 3) = 3 m` tel kalır.

GEOMETRİK ŞEKİLLERDE ÇEVRE VE UZUNLUK UYGULAMALARI Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu Uzun Kenar = kök(50) = 5·kök(2) cm Kısa Kenar = kök(18) = 3·kök(2) cm • Çevre = 2 · (Kısa Kenar + Uzun Kenar) • Çevre = 2 · (3·kök(2) + 5·kök(2)) • Çevre = 2 · 8·kök(2) = 16·kök(2) cm Alanı Verilen Karesel Bölgeler • Alanı A olan karenin bir kenarı: a = kök(A) • Karenin çevre uzunluğu: Çevre = 4 · a Örnek: Alanları 27 cm² ve 12 cm² olan iki karenin yan yana taban uzunluğu: 1. Kenar = kök(27) = 3·kök(3) cm 2. Kenar = kök(12) = 2·kök(3) cm Toplam = 3·kök(3) + 2·kök(3) = 5·kök(3) cm
🔍 Büyütmek için dokunun

Kareköklü Bir İfadeyi Doğal Sayı Yapan Çarpanlar (M.8.1.3.6)

Tam kare olmayan bir kareköklü ifade uygun bir kareköklü ifadeyle çarpıldığında sonuç bir doğal sayı (rasyonel sayı) olabilir. Bunun temel kuralı, aynı iki karekökün çarpımının kök içindeki sayıya eşit olmasıdır: ` ·  = = b`.

Verilen bir kareköklü ifadeyi doğal sayı yapan çarpanları bulmak için ifade önce en sade `a` biçimine getirilir. Bu ifadeyi doğal sayı yapan en küçük pozitif çarpan `` sayısıdır; ancak ``'nin tüm pozitif tam sayı katları (`2, 3, 4, ...` yani `k`) da bu ifadeyi doğal sayı yapar.

Örneğin `` sayısını inceleyelim: ` = = 3` olarak yazılır. Kök içinde `5` kaldığı için `` sayısını doğal sayı yapan çarpanlar; ``, `2 = `, `3 = `, `4 = ` ve `5 = ` gibi en sade halinde `` barındıran tüm kareköklü ifadelerdir.

KAREKÖKLÜ BİR İFADEYİ DOĞAL SAYI YAPAN ÇARPANLAR (M.8.1.3.6) Temel Kural ve Yöntem 1. Kareköklü ifade önce a·kök(b) biçimine getirilir (b içinde tam kare çarpan kalmaz). 2. Kök içindeki b sayısını kökten kurtarmak için ifade kök(b) veya katları olan k·kök(b) ile çarpılmalıdır: a·kök(b) · k·kök(b) = a · k · b (Doğal Sayı) Örnek: kök(24) İfadesinin Çarpanları • kök(24) = kök(4 · 6) = 2·kök(6) İçinde kök(6) bulunan her çarpan doğal sayı yapar: ✓ 1·kök(6) = kök(6) → 2·kök(6) · kök(6) = 12 ✓ 2·kök(6) = kök(24) → 2·kök(6) · 2·kök(6) = 24 ✓ 3·kök(6) = kök(54) → 2·kök(6) · 3·kök(6) = 36 ✓ 5·kök(6) = kök(150) → 2·kök(6) · 5·kök(6) = 60
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Verilen + - işleminin sonucunu en sade biçimde bulunuz.

    Cevabı göster

    = 6, = 5 ve = 7 olarak a biçimine getirilir. İşlem: 6 + 5 - 7 = (6 + 5 - 7) = 4 bulunur.

  2. Örnek 2Kısa kenarı cm, uzun kenarı cm olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğu kaç cm'dir?

    Cevabı göster

    Kısa kenar = 2 cm ve uzun kenar = 5 cm'dir. Dikdörtgenin çevresi = 2 · (2 + 5) = 2 · 7 = 14 cm olur.

  3. Örnek 3Verilen sayısını çarpıldığında doğal sayı yapan 3 farklı kareköklü çarpan örneği yazınız.

    Cevabı göster

    = = 3 olduğundan kök içi 6 olan k biçimindeki tüm ifadeler doğal sayı yapar: 1) , 2) 2 = , 3) 3 = (veya 4 = ).

  4. Örnek 4Alanları sırasıyla 32 cm² ve 72 cm² olan iki kare yan yana getiriliyor. Bu iki karenin birer kenar uzunluklarının toplamı kaç cm'dir?

    Cevabı göster

    Birinci karenin kenarı = 4 cm, ikinci karenin kenarı ise = 6 cm'dir. İki kenarın toplamı = 4 + 6 = 10 cm bulunur.

  5. Örnek 5A = , B = , C = ve D = sayılarından hangi ikisi birbiriyle çarpılırsa sonuç bir doğal sayı olur?

    Cevabı göster

    Sayılar a şeklinde yazılırsa: A = 2, B = 3, C = 3 ve D = 5 olur. Kök içleri aynı olan A ile C (2 · 3 = 18) ve B ile D (3 · 5 = 30) çarpıldığında sonuç doğal sayı olur.

  6. Örnek 6Paydasında kareköklü ifade bulunan (12 / ) + işleminin sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    Önce 12 / kesri ile genişletilir: (12) / 2 = 6. İkinci terim = 4 olarak yazılır. Toplamları: 6 + 4 = 10 bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Kareköklü ifadelerde - + işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 2Verilen sayısı aşağıdaki kareköklü ifadelerden hangisi ile çarpılırsa sonuç bir doğal sayı olur?

  3. 3Alanı 48 cm² olan karesel bir bölgenin çevre uzunluğu kaç cm'dir?

  4. 4Uzunluğu metre olan bir kumaş topundan metrelik bir parça kesilip satılıyor. Geriye kaç metre kumaş kalmıştır?

  5. 5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma yapabilmek için karekök içindeki sayıların eşit olması gerekir.
    • Toplama işleminde + ifadesinin sonucu yani 13 sayısına eşittir.
    • Verilen sayısını doğal sayı yapan en küçük pozitif kareköklü çarpan ifadesidir.
    • Beş kök üç (5) ifadesinden kök üç () çıkarıldığında sonuç 5 doğal sayısına eşit olur.
    • Karekök altındaki sayısı ile sayısının çarpımı bir doğal sayıdır.

  6. 6Kareköklü ifadeleri veya işlemleri karşılık gelen doğru sonuçlarla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun sayı veya ifadelerle tamamlayınız.

    1. Kareköklü ifadelerde toplama işlemi yapılırken ortak kök aynen yazılır, kök önündeki toplanır.
    2. Verilen + toplama işleminin sonucu ifadesine eşittir.
    3. Bir kenar uzunluğu 2 cm olan eşkenar üçgenin çevre uzunluğu cm'dir.
    4. Karekök içindeki ifadesi ile çarpıldığında sonuç doğal sayısına eşit olur.
    5. Kök içinde verilen işleminin sonucu doğal sayısına eşittir.

  8. 8Kenar uzunlukları cm ve cm olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğunu bulup, bu çevre uzunluğunu doğal sayı yapan en küçük pozitif kareköklü çarpanı adım adım belirleyiniz.

Kısaca

  • Toplama ve Çıkarma Kuralı: Kök içleri eşit olan ifadelerde katsayılar toplanır/çıkarılır, ortak kök aynen yazılır: a + b = (a + b).
  • Kök İçlerini Eşitleme: Kök içleri farklıysa terimler önce a biçimine getirilir; kök içleri eşitlenemiyorsa işlem olduğu gibi bırakılır.
  • Temel Uyarı: Ayrı kareköklerin içleri doğrudan toplanmaz veya çıkarılmaz ( + ≠ ).
  • Geometrik Çevre Hesabı: Çokgenlerin çevresi bulunurken tüm kenarlar a biçimine getirilip toplanır; alanı A olan karenin bir kenarı olur.
  • Doğal Sayı Yapan Çarpanlar: En sade hali a olan bir ifadeyi ve k biçimindeki tüm katları çarpıldığında doğal sayı yapar.

Bu dersin öteki kaynakları