İçeriğe geç

8. sınıf · Matematik · 13. hafta (14-18 Aralık 2026)

Bir Olayın Olma Olasılığı: Deney, Çıktı, Örnek Uzay, Olay, Eş Olasılıklı Olaylar, Kesin Olay (1) ve İmkânsız Olay (0) Kavramları (M.8.5.1.1 - M.8.5.1.4)

Olasılık teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Günlük yaşamda hava tahminlerinden spor müsabakalarına, çekilişlerden veri analizine kadar pek çok alanda bir durumun gerçekleşme şansını ölçmeye ihtiyaç duyarız. Veri işleme grafik dönüşümlerimizin ardından bu hafta 'Basit Olayların Olma Olasılığı' konusuna geçiyor; deney, çıktı, örnek uzay, eş olasılıklı olaylar ile imkânsız (0) ve kesin (1) olay kavramlarını matematiksel olarak modelliyoruz.

Deney, Çıktı, Örnek Uzay ve Olası Durumlar (M.8.5.1.1 & M.8.5.1.2)

Sonucu önceden bilinmeyen, rastgele yapılan işlemlere (madeni para atma, zar atma, torbadan top çekme, çark çevirme vb.) deney denir. Bir deneyde elde edilebilecek sonuçların her birine çıktı, deneyde gerçekleşebilecek bütün çıktıların (tüm olası durumların) oluşturduğu kümeye ise örnek uzay adı verilir.

Örnek uzayın alt kümelerinden her birine, yani deney sonucunda gerçekleşmesi istenen veya incelenen özel duruma olay denir. Örneğin hilesiz bir zarın atılması deneyinde tüm olası durumlar (örnek uzay) 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olmak üzere 6 tanedir. 'Üst yüze çift sayı gelmesi' bir olaydır ve bu olayın çıktıları (istenen olası durumlar) 2, 4 ve 6 olmak üzere 3 tanedir.

Bir deneyde olası durum sayısı fazla olan olayın gerçekleşme şansı daha fazla olasılıklı, olası durum sayısı az olan olayın şansı daha az olasılıklı, olası durum sayıları birbirine denk olan olaylar ise eşit olasılıklı olarak adlandırılır. Örneğin 4 kırmızı, 4 beyaz ve 2 siyah bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele çekilen bir bilyenin kırmızı veya beyaz olma olasılıkları birbirine eşitken, siyah olma olasılığı daha azdır.

OLASILIK TEMEL KAVRAMLARI: DENEY, ÇIKTI, ÖRNEK UZAY VE OLAY Kavram Tanımları (M.8.5.1.1) • Deney: Sonucu merak edilen rastgele işlem • Çıktı: Deneyde elde edilebilecek her bir sonuç • Örnek Uzay (Tüm Olası Durumlar): Deneydeki bütün çıktıların oluşturduğu küme • Olay: Örnek uzayın içinden gerçekleşmesi istenen belirli durum (İstenen Çıktılar) Eş Olasılıklı: Her çıktının şansı 1/n kadardır. Örnek: Hilesiz Bir Zarın Atılması • Deney: Zarın havaya atılması • Örnek Uzay: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n = 6 olası durum • Olay: Üst yüze asal sayı gelmesi • Olayın Çıktıları: {2, 3, 5} → 3 istenen durum Olasılık = İstenen (3) / Tüm (6) = 3/6 = 1/2 Her bir rakamın tek tek gelme olasılığı = 1/6
🔍 Büyütmek için dokunun

Eşit Şansa Sahip Olaylar (1/n), Kesin (1) ve İmkânsız (0) Olaylar (M.8.5.1.3 & M.8.5.1.4)

Bir deneyde örnek uzayı oluşturan n tane olası durumun her birinin gerçekleşme şansı birbirine eşitse bu çıktılara eşit şansa sahip (eş olasılıklı) çıktılar denir ve her bir çıktının olma olasılığı 1n değerine eşittir. Örneğin hilesiz bir madeni parada yazı ve tura çıktıları eş olasılıklıdır (her biri 12); 1'den 10'a kadar numaralandırılmış özdeş kartlardan her birinin çekilme olasılığı 110'dur.

Her koşulda gerçekleşecek olan ve olası tüm durumları kapsayan olaya kesin olay denir; kesin olayın olma olasılığı 1 (yani %100) değerindedir. Gerçekleşmesi mümkün olmayan (istenen çıktı sayısı 0 olan) olaya ise imkânsız olay denir ve olasılık değeri 0 (%0) olur. Örneğin standart bir zar atıldığında üst yüze 7'den küçük doğal sayı gelmesi kesin olay (olasılığı 66 = 1), 8 gelmesi ise imkânsız olaydır (olasılığı 06 = 0).

Herhangi bir A olayının olma olasılığı her zaman 0 ile 1 arasında (0 ve 1 dahil) bir değer alır: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Dolayısıyla bir olayın olasılığı negatif bir sayı veya 1'den büyük bir bileşik kesir (75 gibi) olamaz. Ayrıca bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı daima 1'e eşittir: P(A) + P(A') = 1.

OLASILIK DEĞER ARALIĞI: İMKÂNSIZ OLAY (0) VE KESİN OLAY (1) 0 (%0) İmkânsız Olay 1/2 (0,5 = %50) Yarı Yarıya Şans 1 (%100) Kesin Olay Temel Kural: 0 ≤ P(A) ≤ 1 (M.8.5.1.4) • Bir olayın olma olasılığı negatif olamaz ve 1'den büyük (bileşik kesir) olamaz! • P(Olma) + P(Olmama) = 1 Daha Fazla · Eşit · Daha Az Olasılıklı Torbada: 5 Kırmızı, 5 Mavi, 2 Sarı top varsa; • Kırmızı ve Mavi gelme olasılığı EŞİTTİR. • Sarı gelme olasılığı DAHA AZDIR (2 < 5).
🔍 Büyütmek için dokunun

Basit Olayların Olma Olasılığını Hesaplama ve Grafik Uygulamaları (M.8.5.1.5)

Bir olayın olma olasılığı hesaplanırken İstenen Olası Durumların Sayısı, Tüm Olası Durumların Sayısına (Örnek Uzaya) bölünür: P(Olay) = İstenen Çıktı SayısıTüm Çıktıların Sayısı. Bulunan kesir sadeleştirilerek en sade hâliyle, ondalık gösterimle veya yüzde (%) sembolüyle ifade edilebilir.

Örneğin 1'den 20'ye kadar (1 ve 20 dahil) numaralandırılmış özdeş topların bulunduğu bir kutudan rastgele çekilen bir topun numarasının tam kare sayı olma olasılığını bulalım: Tüm olası durumların sayısı 20'dir. Bu aralıktaki tam kare sayılar 1, 4, 9 ve 16 olmak üzere 4 tanedir. O hâlde olasılık 420 = 15 = 0,20 = %20 olarak bulunur.

Veri analizi (sütun veya daire grafiği) ile olasılık soruları sıkça birleştirilir. Bir grup verinin dağılımı daire grafiğinde gösterilmişse, tamamı 360° olduğu için merkez açısı x° olan bir gruptan rastgele eleman seçilme olasılığı doğrudan x360 oranıyla hesaplanır.

BASİT OLAYLARIN OLMA OLASILIĞI HESAPLAMA VE GRAFİK BAĞLANTISI Olasılık Hesaplama Formülü (M.8.5.1.5) İstenen Olası Durumların Sayısı Tüm Olası Durumların Sayısı (Örnek Uzay) • Sonuç en sade kesir, ondalık gösterim veya yüzde (%) olarak ifade edilebilir. Örnek: 20 kişide 5 gözlüklü → 5/20 = 1/4 = %25 Daire Grafiği ve Olasılık İlişkisi 90° Daire grafiğinde merkez açısı α olan dilimden seçim yapma olasılığı: P = α / 360° Örnek: 90° dilim → 90/360 = 1/4 olasılık
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1İçinde 5 kırmızı, 7 mavi ve 4 sarı özdeş bilye bulunan bir torbadan rastgele bir bilye çekilmesi deneyinde olası durum sayısını belirleyiniz ve hangi rengin çekilme olasılığının daha fazla, hangisinin daha az olduğunu açıklayınız.

    Cevabı göster

    Tüm olası durumların sayısı 5 + 7 + 4 = 16'dır. Torbada en çok mavi bilye (7 adet) bulunduğu için mavi gelme olasılığı 'daha fazla', en az sarı bilye (4 adet) bulunduğu için sarı gelme olasılığı 'daha az'dır.

  2. Örnek 2'KAHRAMANMARAŞ' kelimesinin harfleri özdeş kartlara tek tek yazılarak bir torbaya atılıyor ve rastgele bir kart çekiliyor. Her bir kartın çekilme şansı kaçtır? Hangi harfin gelme olasılığı en yüksektir?

    Cevabı göster

    Kelime 13 harfli olduğu için 13 olası durum vardır ve eş şansa sahip her bir kartın çekilme olasılığı 113'tür. Kelimede 'A' harfi 5 kez tekrar ettiği için 'A' harfinin gelme olasılığı (513) en yüksektir.

  3. Örnek 3Hilesiz bir zar düz bir zemine rastgele atılıyor. Üst yüze gelen sayının; a) Asal sayı olma olasılığını, b) 6'dan büyük bir doğal sayı olma olasılığını, c) En az 1 olma olasılığını bulunuz.

    Cevabı göster

    Örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6} olup 6 elemanlıdır. a) Asal sayılar {2, 3, 5} olmak üzere 3 tanedir; olasılığı 36 = 12. b) 6'dan büyük sayı olmadığı için imkânsız olaydır, olasılığı 06 = 0. c) Zar üzerindeki tüm sayılar en az 1 olduğu için kesin olaydır, olasılığı 66 = 1.

  4. Örnek 4Bir okçunun hedefi vurma olasılığı 58 olduğuna göre, bu okçunun yaptığı bir atışta hedefi vuramama olasılığı kaçtır?

    Cevabı göster

    Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1'dir. Bu nedenle hedefi vuramama olasılığı 1 - 58 = 38 olur.

  5. Örnek 5Bir sınıftaki 24 öğrenciden 10'u kızdır. Kız öğrencilerin 4'ü, erkek öğrencilerin ise 6'sı gözlüklüdür. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüksüz erkek öğrenci olma olasılığı kaçtır?

    Cevabı göster

    Sınıfta 24 - 10 = 14 erkek öğrenci vardır. Erkeklerin 6'sı gözlüklü olduğuna göre 14 - 6 = 8'i gözlüksüz erkek öğrencidir. Tüm olası durum 24, istenen durum 8 olduğundan olasılık 824 = 13 olur.

  6. Örnek 6Bir kutuda 8 beyaz ve bir miktar siyah top vardır. Kutudan rastgele çekilen bir topun siyah olma olasılığı 35 olduğuna göre kutuda kaç tane siyah top vardır?

    Cevabı göster

    Siyah olma olasılığı 35 ise beyaz olma olasılığı 1 - 35 = 25'tir. Beyaz top sayısı 8 olduğuna göre 25 oranında pay 4 katına çıkmıştır (2 x 4 = 8). O hâlde toplam top sayısı 5 x 4 = 20, siyah top sayısı ise 3 x 4 = 12'dir.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Aşağıda verilen sayılardan hangisi bir olayın olma olasılığının alabileceği değerlerden biri olamaz?

  2. 2Üzerinde 10'dan 25'e kadar (10 ve 25 dahil) doğal sayıların yazılı olduğu özdeş toplar bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele çekilen bir topun üzerinde asal sayı yazma olasılığı kaçtır?

  3. 3İçinde sarı, kırmızı ve mavi bilyelerin bulunduğu bir torbadan rastgele çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı 14, kırmızı olma olasılığı ise 38'dir. Torbada 9 tane mavi bilye bulunduğuna göre toplam bilye sayısı kaçtır?

  4. 4Bir gezi grubundaki turistlerin ülke dağılımı daire grafiğinde gösterildiğinde Alman turistlere ait dilimin merkez açısı 108°, Rus turistlere ait dilimin merkez açısı 144° ve kalanı İngiliz turistlerdir. Gruptan rastgele seçilen bir turistin İngiliz olma olasılığı kaçtır?

  5. 5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Bir deneyde elde edilebilecek tüm olası sonuçların kümesine örnek uzay adı verilir.
    • Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara imkânsız olay denir ve olasılık değeri 0'dır.
    • Eşit şansa sahip n tane çıktısı bulunan bir deneyde her bir çıktının olasılık değeri n tam sayısına eşittir.
    • Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1 tam sayısına eşittir.
    • İçinde 4 mavi ve 8 kırmızı top bulunan bir torbadan mavi top çekilme olasılığı, kırmızı top çekilme olasılığından daha fazladır.

  6. 6Aşağıdaki olasılık kavramlarını karşılık gelen matematiksel ifade veya değerlerle eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Sonucu önceden bilinmeyen rastgele bir işlemde elde edilebilecek her bir sonuca adı verilir.
    2. Her koşulda gerçekleşen ve tüm olası durumları kapsayan olaylara olay denir ve olasılığı 1'dir.
    3. Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara olay denir ve olasılık değeri 0'dır.
    4. Bir torbadaki kırmızı ve beyaz bilye sayıları birbirine denk ise bu iki rengin çekilme şansı olasılıklıdır.
    5. Bir olayın olma olasılığı hesaplanırken istenen olası durumların sayısı olası durumların sayısına bölünür.

  8. 8Bir kutuda 1'den 30'a kadar (1 ve 30 dahil) numaralandırılmış özdeş kartlar bulunmaktadır. Kutudan rastgele çekilen bir kartın; (a) her bir tekil numara olma şansını, (b) hem 2'ye hem 3'e kalansız bölünen bir sayı olma olasılığını, (c) tam kare sayı olmama olasılığını adım adım hesaplayınız.

Kısaca

  • Deney, Çıktı ve Örnek Uzay: Rastgele yapılan işleme deney, her bir sonuca çıktı, tüm olası durumların kümesine ise örnek uzay denir.
  • Olasılık Karşılaştırması: Olası durum sayısı çok olan olay 'daha fazla olasılıklı', az olan 'daha az olasılıklı', eşit olanlar ise 'eşit olasılıklı'dır.
  • Eş Olasılıklı Değer (1/n): Eşit şansa sahip n tane çıktısı olan bir deneyde her bir çıktının gerçekleşme olasılığı 1n değerindedir.
  • Kesin (1) ve İmkânsız (0) Olay: İmkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1'dir; her olayın olasılığı 0 ≤ P(A) ≤ 1 aralığındadır.
  • Olasılık Formülü ve Tümleyen: P(A) = İstenen Durum SayısıTüm Durumların Sayısı formülüyle bulunur ve P(Olma) + P(Olmama) = 1 eşitliği geçerlidir.

Bu dersin öteki kaynakları