Kareköklü İfadeler: Kök Dışına Çıkarma ve Katsayıyı Kök İçine Alma

Bir doğal sayının kendisiyle çarpımına tam kare sayı denir. 1 · 1 = 1, 2 · 2 = 4, 3 · 3 = 9 diye ilerlersen 15’e kadar sayıların karelerini elde edersin: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Bir sayının karekökü, karesi o sayıya eşit olan negatif olmayan sayıdır; 49 = 7’dir, çünkü 7 · 7 = 49. Aynı biçimde 144 = 12 ve 225 = 15 olur.

Tam kare olmayan bir sayının karekökü doğal sayı değildir; ardışık iki doğal sayının arasına düşer. Örneğin 25 < 31 < 36 olduğundan 31, 5 ile 6 arasındadır ve 31 sayısı 36’ya daha yakın olduğu için 31 de 6’ya daha yakındır. Benzer biçimde 49 < 50 < 64 olduğundan 50, 7 ile 8 arasındadır ve 7’ye çok yakındır.

Bu hafta 50 gibi ifadeleri olduğu gibi bırakmak yerine daha sade bir biçimde yazmayı öğreneceksin: 50 = 52. Bu yazılışta kökün dışındaki 5 sayısı katsayıdır; kök içindeki 2 ise 1’den başka tam kare çarpanı olmayan, çok daha küçük bir sayıdır. Böyle bir sadeleştirmeyi hızlı yapabilmek için tam kare sayıları ezbere bilmen gerekir; o yüzden yukarıdaki listeyi birkaç kez tekrar et.

İki sayının çarpımının karekökü, bu sayıların kareköklerinin çarpımına eşittir. Bunu tam kare sayılarla kolayca sınayabilirsin: 36 · 4 = 144 = 12 ve 36 · 4 = 6 · 2 = 12. Başka bir örnek: 9 · 25 = 225 = 15, öte yandan 9 · 25 = 3 · 5 = 15. İki yol da aynı sonucu verir.

Kural, çarpanlardan biri tam kare olmadığında da geçerlidir. 50 = 25 · 2 olduğundan 50 = 25 · 2 = 25 · 2 = 5 · 2 yazılır. Bir sayı ile bir karekökün çarpımı, katsayı kökün önüne yazılarak kısaca gösterilir: 5 · 2 yerine 52 yazarız. Demek ki 50 = 52 olur; iki yazılış aynı sayıyı gösterir ama ikincisi daha sadedir.

ab biçimindeki bir ifadede kökün önündeki a sayısına katsayı, b sayısına ise kök içindeki sayı denir. 52 ifadesinde katsayı 5, kök içindeki sayı 2’dir. Bu ifadeyi 52 sayısıyla karıştırma: 52, “5 çarpı kök 2” demektir ve 50’ye eşittir. Yaklaşık değerle de kontrol edebilirsin: 2 ≈ 1,41 olduğundan 52 ≈ 7,05 bulunur; 50 de 7 ile 8 arasında ve 7’ye yakındır. Sonuçlar tutarlıdır.

Bir kareköklü ifadeyi ab biçiminde yazmak için üç adım izlersin. Önce kök içindeki sayıyı, tam kare bir çarpanla başka bir çarpanın çarpımı olarak yazarsın. Sonra tam kare çarpanın karekökünü alıp kökün önüne katsayı olarak koyarsın. Son olarak kalan çarpanı kökün içinde bırakırsın. Örneğin 72 = 36 · 2 olduğundan 72 = 36 · 2 = 62; 48 = 16 · 3 olduğundan 48 = 16 · 3 = 43 olur.

Tam kare çarpan seçerken en büyüğünü seçmelisin; yoksa sadeleştirme yarım kalır. 72 sayısını 4 · 18 biçiminde de yazabilirsin: 72 = 4 · 18 = 218. Bu eşitlik doğrudur ama 18 = 9 · 2 hâlâ bir tam kare çarpan içerir. Devam edersen 218 = 2 · 9 · 2 = 2 · 32 = 62 bulursun. Sonuç aynıdır; ancak baştan 36 çarpanını görseydin tek adımda bitirirdin.

İki uç durumu da bil. Kök içindeki sayının kendisi tam kareyse sonuç bir doğal sayıdır: 196 = 14. Kök içindeki sayının 1’den başka tam kare çarpanı yoksa ifade zaten en sade biçimdedir; 30 = 2 · 3 · 5, 15 = 3 · 5 ya da 7 gibi sayılar için 30, 15 ve 7 olduğu gibi kalır.

Zaten katsayısı olan bir ifade de sadeleştirilebilir; bu durumda kökten dışarı çıkan sayı ile mevcut katsayı çarpılır. Örneğin 320 ifadesinde 20 = 4 · 5 olduğundan 320 = 3 · 25 = 65 olur. Aşağıdaki tabloda sık karşılaşacağın sayıların sadeleştirilmiş biçimlerini görebilirsin; her satırı kendin de kontrol et.

Birinci yol tam kare listesini kullanmaktır. 72 sayısını hangi tam kareler böler diye bak: 4 böler (72 = 4 · 18), 9 böler (72 = 9 · 8), 16 bölmez, 25 bölmez, 36 böler (72 = 36 · 2), 49 ve 64 bölmez. Bölenlerin en büyüğü 36 olduğundan 72 = 62 olur. Sayılar küçükken bu yol hızlıdır; ancak büyük sayılarda bir tam kare çarpanı gözden kaçırabilirsin.

İkinci yol, ilk haftada öğrendiğin asal çarpanlara ayırmadır. 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3² yazılır. Karekök alırken aynı asal çarpandan oluşan her çift, kökün dışına o çarpanın bir tanesi olarak çıkar; eşi olmayan çarpan ise kökün içinde kalır. 72’de bir çift 2, bir çift 3 ve eşsiz kalan bir 2 vardır. Çiftlerden 2 ve 3 dışarı çıkar, eşsiz 2 içeride kalır: 72 = 2 · 3 · 2 = 62.

Aynı yolu 180 ve 500 için izle. 180 = 2² · 3² · 5 olduğundan 2 ve 3 çiftleri dışarı çıkar, 5 içeride kalır: 180 = 2 · 3 · 5 = 65. Sağlama: 6 · 6 · 5 = 180. 500 = 2² · 5³ olduğundan bir çift 2 ile bir çift 5 dışarı çıkar, eşsiz 5 içeride kalır: 500 = 2 · 5 · 5 = 105. Sağlama: 10 · 10 · 5 = 500.

Üslü yazılışa bakarak da karar verebilirsin: üssü çift olan asal çarpan tamamen dışarı çıkar, üssü tek olan çarpanın bir tanesi içeride kalır. Örneğin 2³ · 3⁴ ifadesinde 2³ = 2² · 2 olduğundan bir 2 dışarı çıkar, bir 2 içeride kalır; 3⁴ = 9² olduğundan 9 tamamen dışarı çıkar. Sonuç 2 · 9 · 2 = 182 olur. Sağlama: 18 · 18 · 2 = 648 ve 2³ · 3⁴ = 8 · 81 = 648.

Bu kez tersini yapacaksın: ab biçimindeki bir ifadeyi tek bir kök olarak yazacaksın. Pozitif bir sayı, karesinin karekökü olarak yazılabilir: 3 = 9, 5 = 25, 7 = 49. Bu yüzden katsayı, karesi alınarak kökün içine girer. Örneğin 35 = 9 · 5 = 9 · 5 = 45 olur; 27 = 4 · 7 = 28 bulunur.

Kural kısaca şöyledir: ab = a² · b. Katsayının karesi alınır ve kök içindeki sayıyla çarpılır. 52 = 25 · 2 = 50, 43 = 16 · 3 = 48 ve 62 = 36 · 2 = 72 olur. Dikkat edersen bunlar üçüncü bölümdeki işlemlerin tam tersidir: kök dışına çıkarma ile kök içine alma, aynı eşitliğin iki yönüdür.

Katsayıyı kök içine almanın en yararlı yanı, kareköklü sayıları karşılaştırmayı kolaylaştırmasıdır. 35 ile 211 sayılarından hangisi daha büyüktür? Katsayılara bakarak karar veremezsin; ikisini de tek kök olarak yaz: 35 = 45 ve 211 = 44. Kök içindeki sayı büyüdükçe karekök de büyür; 45 > 44 olduğundan 35 > 211 olur. Aynı yöntemle bir ifadenin hangi iki doğal sayı arasında olduğunu da bulursun: 37 = 63 ve 49 < 63 < 64 olduğundan 37, 7 ile 8 arasındadır ve 8’e çok yakındır.

Katsayı negatifse eksi işareti kökün önünde kalır, yalnız sayı kök içine alınır: −32 = −9 · 2 = −18. Çünkü 18 = 32’dir ve bunun negatifi −32 olur. Negatif bir sayının karekökü olmadığından eksi işaretini kökün içine taşıyamazsın.

En yaygın hata, toplamın karekökünü kareköklerin toplamı sanmaktır. 16 + 9 ifadesinde önce toplam hesaplanır: 16 + 9 = 25 = 5. Oysa 16 + 9 = 4 + 3 = 7’dir ve 5 ≠ 7 olur. Tam kare çarpanı kök dışına çıkarma kuralı yalnız çarpım için geçerlidir; kök içinde toplama ya da çıkarma varsa önce o işlemi yapmalısın.

İkinci hata, katsayıyı kök içine alırken karesini almayı unutmaktır: 35 ifadesini 15 diye yazmak yanlıştır, doğrusu 45’tir. Yaklaşık değerlerle fark hemen görülür: 15, 3 ile 4 arasındadır; oysa 5 ≈ 2,24 olduğundan 35 ≈ 6,72’dir. Üçüncü hata, kök içindeki sayıyı tam kare olmayan çarpanlara ayırmaktır: 50 = 10 · 5 çarpımı doğrudur ama 10 da 5 de tam kare olmadığından kökten dışarı hiçbir şey çıkmaz; 25 · 2 çarpımını seçmelisin. Dördüncü hata, sadeleştirmeyi yarım bırakmaktır: 200 = 250 yazıp durmak yerine 102 sonucuna kadar gitmelisin.

Kareköklü ifadelerle en çok karelerin alanında karşılaşırsın. Alanı A olan bir karenin bir kenarı A uzunluğundadır. Alanı 32 cm² olan kare biçimindeki bir fayansın bir kenarı 32 = 16 · 2 = 42 cm’dir; çevresi 4 · 42 = 162 cm olur. 2 ≈ 1,41 alırsan çevre yaklaşık 22,6 cm bulunur. Tersine, kenarı 33 cm olan bir karenin alanını bulmak için katsayıyı kök içine al: 33 = 27 olur; bir sayının karekökünün karesi kendisi olduğundan alan 27 cm² bulunur.