İçeriğe geç

8. sınıf · Matematik · 10. hafta (23-27 Kasım 2026)

Ondalık İfadelerin Kareköklerini Belirleme ve Gerçek Sayılar (Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar Kümesi) (M.8.1.3.7 & M.8.1.3.8)

Sayılar ve İşlemler teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Kenar uzunluğu 1,2 metre olan kare şeklindeki bir masanın alanı 1,44 metrekare olurken, alanı bilinen ondalık bir değerden kenar uzunluğuna nasıl geçeriz? Ayrıca karesi 2 olan sayısı veya çemberin çevresinin çapına oranı olan π sayısı rasyonel bir kesir olarak yazılabilir mi? Bu haftaki dersimizde ondalık ifadelerin kareköklerini almayı ve sayı sistemimizi tamamlayan gerçek (reel) sayılar kümesini öğreneceğiz.

Ondalık İfadelerin Kareköklerini Belirleme (M.8.1.3.7)

Kesir olarak ifade edildiğinde payı ve paydası tam kare pozitif tam sayı olan ondalık gösterimlerin karekökü alınırken üç adım izlenir: 1. Adım: Ondalık gösterim, paydası 10'un kuvveti (100, 10000 gibi) olacak biçimde ab rasyonel kesir şeklinde yazılır. 2. Adım: Payın ve paydanın karekökü ayrı ayrı alınır ( = ). 3. Adım: Elde edilen kesir tekrar ondalık gösterime dönüştürülür.

Örneğin ifadesinin değerini bulalım: 0,64 = 64100 olarak yazılır. Pay ve paydanın karekökü alındığında = 810 = 0,8 bulunur. Benzer şekilde = = 1210 = 1,2; = = 1510 = 1,5 ve = = 3100 = 0,03 olur.

Ondalık ifadelerin karekökü alınırken virgülden sonraki basamak sayısı yarıya iner: Karekök içinde virgülden sonra 2 basamak varsa dışarıya 1 basamak olarak (örneğin = 0,5), karekök içinde virgülden sonra 4 basamak varsa dışarıya 2 basamak olarak (örneğin = 0,13) çıkar.

ONDALIK İFADELERİN KAREKÖKLERİNİ BELİRLEME (M.8.1.3.7) 3 Adımda Ondalık Karekök Alma 1. Adım: Ondalık ifadeyi rasyonel kesir olarak yaz 0,36 = 36 / 100 | 1,44 = 144 / 100 2. Adım: Payın ve paydanın ayrı ayrı karekökünü al kök(36 / 100) = kök(36) / kök(100) = 6 / 10 3. Adım: Sonucu tekrar ondalık gösterime çevir 6 / 10 = 0,6 ve 12 / 10 = 1,2 Basamak Sayısı Kuralı ve Örnekler • kök(0,09) = kök(9 / 100) = 3 / 10 = 0,3 • kök(2,25) = kök(225 / 100) = 15 / 10 = 1,5 • kök(0,0121) = kök(121 / 10000) = 11 / 100 = 0,11 DİKKAT: kök(0,9) ≠ 0,3 ! Çünkü 0,9 = 9 / 10 olup paydadaki 10 sayısı tam kare değildir! Virgülden sonra 2 basamak ➔ dışarıda 1 basamak olur.
🔍 Büyütmek için dokunun

Rasyonel Sayılar (Q) ve İrrasyonel Sayılar (I) (M.8.1.3.8)

a ve b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere ab biçiminde (iki tam sayının oranı olarak) yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir ve Q harfi ile gösterilir. Doğal sayılar (0, 4, 15), tam sayılar (-7, -1, 0), kesirler (38, -52), sonlu ondalık gösterimler (0,5; 2,75), kök dışına tam çıkabilen kareköklü ifadeler ( = 6, = 1,1) ve devirli ondalık gösterimler (0,333... = 13) birer rasyonel sayıdır.

İki tam sayının oranı (ab) biçiminde yazılamayan sayılara ise irrasyonel sayılar denir ve I harfi ile gösterilir. İrrasyonel sayıların virgülden sonraki ondalık kısmı belirli bir kurala göre tekrar etmeden (devretmeden) sonsuza kadar düzensiz biçimde devam eder.

Başlıca üç irrasyonel sayı grubu vardır: 1) Kök dışına tam olarak çıkamayan (tam kare olmayan sayıların karekökü olan) ifadeler: , , , -, 2, . 2) Bir çemberin çevresinin çapına oranı olan π (pi) sayısı (π = 3,14159265...). 3) Virgülden sonrası düzensiz sonsuz devam eden ondalık sayılar (örneğin 4,1010010001...).

RASYONEL (Q) VE İRRASYONEL (I) SAYILAR KÜMESİ (M.8.1.3.8) Rasyonel Sayılar (Q) — a / b (b ≠ 0) 1. Doğal Sayılar (N) ve Tam Sayılar (Z): 0, 5, -12, 24 (Paydası 1 olan kesirlerdir) 2. Kesirler ve Sonlu Ondalık Gösterimler: 3 / 4, -7 / 5, 0,25, 1,8 3. Devirli Ondalık Gösterimler: 0,333... = 1 / 3 | 1,2727... = 14 / 11 4. Tam Karelerin Karekökü: kök(49) = 7, kök(0,64) = 0,8 İrrasyonel Sayılar (I) — a / b Yazılamayanlar 1. Tam Kare Olmayan Sayıların Karekökleri: kök(2), kök(3), kök(5), -kök(10), kök(0,9) 2. Pi (π) Sayısı: π = 3,14159265... (Düzensiz ve sonsuz devam eder) 3. Düzensiz Sonsuz Ondalık Gösterimler: 2,1010010001... (Devretmeyen sonsuz açılımlar) Not: 3, 3,14 ve 22/7 değerleri π'nin yaklaşık değeridir!
🔍 Büyütmek için dokunun

Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi (R) ve Küme İlişkileri

Rasyonel sayılar kümesi (Q) ile irrasyonel sayılar kümesinin (I) birleşimine gerçek (reel) sayılar kümesi denir ve R harfi ile gösterilir (R = Q ∪ I). Sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya bir gerçek sayı karşılık gelir; yani gerçek sayılar sayı doğrusunu hiç boşluk kalmayacak şekilde tamamen doldurur.

Sayı kümeleri arasındaki kapsama (alt küme) ilişkisi içten dışa doğru N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R şeklindedir. Buna göre her doğal sayı (N) aynı zamanda bir tam sayı (Z), her tam sayı bir rasyonel sayı (Q) ve her rasyonel sayı bir gerçek sayıdır (R).

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesi birbirinden tamamen ayrıktır; ortak elemanları yoktur (Q ∩ I = ∅). Dolayısıyla bir gerçek sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir; hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı bulunmaz. Ayrıca karekökün içindeki sayı negatif olamayacağı için veya gibi ifadeler gerçek sayı değildir.

GERÇEK (REEL) SAYILAR KÜMESİ ŞEMASI: R = Q ∪ I GERÇEK (REEL) SAYILAR (R) — Sayı Doğrusundaki Tüm Noktalar Rasyonel Sayılar (Q): 3/5, -0,4, 1,222..., kök(1,44) Tam Sayılar (Z): ... -3, -2, -1, -kök(25) Doğal Sayılar (N): 0, 1, 2, kök(16) Alt küme zinciri: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R İrrasyonel Sayılar (I) kök(2), kök(7), -kök(12) π (Pi sayısı) 0,121221222... Q ∩ I = ∅ (Ayrık kümeler)
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1 + - işleminin sonucunu ondalık gösterim olarak bulunuz.

    Cevabı göster

    = = 1310 = 1,3; = = 910 = 0,9 ve = = 210 = 0,2 olur. Buradan 1,3 + 0,9 - 0,2 = 2,2 - 0,2 = 2 bulunur.

  2. Örnek 2Alanı 2,56 m2 olan kare şeklindeki bir panonun çevre uzunluğu kaç metredir?

    Cevabı göster

    Karenin bir kenar uzunluğu alanının kareköküne eşittir: a = = = 1610 = 1,6 metredir. Çevre uzunluğu ise 4 · 1,6 = 6,4 metre olur.

  3. Örnek 3 - işleminin sonucunu bulunuz.

    Cevabı göster

    Paydaki terimler: = 1,2 ve = 0,5 olup farkları 1,2 - 0,5 = 0,7 olur. Paydadaki terim: = = 7100 = 0,07 olur. Bölme işlemi yapıldığında 0,70,07 = 707 = 10 bulunur.

  4. Örnek 4Verilen sayılardan hangilerinin rasyonel (Q), hangilerinin irrasyonel (I) olduğunu belirleyiniz: -, , 0,454545..., π, .

    Cevabı göster

    - = -6 (rasyonel), 0,454545... devirli ondalık sayı (rasyonel) ve = 1,7 (rasyonel). Buna karşılık = = 4 (paydası kök dışına çıkamadığı için irrasyonel) ve π sayısı (irrasyonel) olur.

  5. Örnek 5a ve b sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere ifadesi bir rasyonel sayı ise a + b toplamının alabileceği değerleri bulunuz.

    Cevabı göster

    = = 10 ifadesinin rasyonel olması için üç basamaklı 1ab sayısının tam kare olması gerekir. 100 ile 199 arasındaki tam kare sayılar 121, 144, 169 ve 196'dır (a ve b sıfırdan farklı olduğu için 100 alınmaz). Buradan a + b toplamı: 2+1=3, 4+4=8, 6+9=15 veya 9+6=15 olabilir.

  6. Örnek 6Devirli ondalık gösterimi 2,777... (7 devrediyor) olan sayının karekökü rasyonel midir? İşlem yaparak gösteriniz.

    Cevabı göster

    Önce devirli ondalık sayıyı kesre çevirelim: 2,777... = 27 - 29 = 259. Şimdi karekökünü alalım: = = 53. İki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için sonuç rasyonel bir sayıdır.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1 + - işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 2Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyonel bir sayıdır?

  3. 3Gerçek (reel) sayılar kümesi ve alt kümeleriyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  4. 4Alanı 3,24 cm2 olan bir karenin bir kenar uzunluğu ile alanı 0,64 cm2 olan başka bir karenin bir kenar uzunluğunun toplamı kaç santimetredir?

  5. 5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • ifadesinin değeri 0,12 rasyonel sayısına eşittir.
    • ifadesinin değeri 0,3 sayısına eşittir.
    • Pi (π) sayısı virgülden sonraki basamakları düzensiz ve sonsuz devam ettiği için irrasyonel bir sayıdır.
    • Karekök içindeki negatif bir sayı olan ifadesi gerçek sayılar kümesinin bir elemanıdır.
    • Doğal sayılar, tam sayılar ve devirli ondalık gösterimler rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir.

  6. 6Aşağıdaki matematiksel ifadeleri karşılık gelen değer veya sayı kümesi özellikleriyle eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavram veya sayılarla tamamlayınız.

    1. Ondalık gösterimi 1,21 olan sayının karekökü alındığında sonuç olarak bulunur.
    2. a ve b birer tam sayı (b ≠ 0) olmak üzere ab biçiminde yazılabilen sayılara sayılar denir.
    3. Tam kare olmayan pozitif tam sayıların karekökleri (, gibi) sayılar kümesinin elemanıdır.
    4. Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine sayılar kümesi adı verilir.
    5. Karekök içinde virgülden sonra dört basamağı bulunan ifadesi kök dışına olarak çıkar.

  8. 8 ifadesi ile ifadesinden hangisinin rasyonel, hangisinin irrasyonel olduğunu kesre çevirme adımlarını göstererek açıklayınız.

Kısaca

  • Ondalık Karekök Alma: Ondalık ifade önce rasyonel kesre çevrilir (ab), pay ve paydanın ayrı ayrı karekökü alınır () ve sonuç tekrar ondalık yazılır.
  • Basamak Kuralı: Karekök içindeki ondalık gösterimde virgülden sonraki basamak sayısı çift olmalı ve kök dışına çıkarken yarıya inmelidir ( = 0,2; = 0,02).
  • Rasyonel Sayılar (Q): İki tam sayının oranı (ab, b ≠ 0) şeklinde yazılabilen doğal sayılar, tam sayılar, kesirler, sonlu ve devirli ondalık gösterimlerdir.
  • İrrasyonel Sayılar (I): ab biçiminde yazılamayan, virgülden sonrası düzensiz sonsuz devam eden sayılar, tam kare olmayan sayıların karekökleri (, ) ve π sayısıdır.
  • Gerçek Sayılar (R): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir (R = Q ∪ I, Q ∩ I = ∅) ve kapsama sıralaması N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R şeklindedir.

Bu dersin öteki kaynakları