İçeriğe geç

8. sınıf · Matematik · 14. hafta (21-25 Aralık 2026)

Basit Olayların Olma Olasılığı: Eşit Şansa Sahip Olaylar, Olasılık Değeri Aralığı ve Olasılık Hesaplama

Olasılık teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Olasılık ünitesinin ilk haftasında bir olaya ait olası durumları belirlemeyi ve daha fazla, eşit, daha az olasılıklı olayları karşılaştırmayı öğrenmiştik. Bu hafta ise eşit şansa sahip olan olaylarda her bir çıktının olasılık değerinin neden 1n olduğunu açıklayacak, olasılık değer aralığını (0 ile 1 arası, imkânsız ve kesin olaylar) ile olma-olmama olasılıkları toplamını inceleyecek ve sayı, tablo, grafik ile geometrik şekil sorularında basit bir olayın olma olasılığını hesaplayacağız.

1. Eşit Şansa Sahip Olan Olaylarda Çıktı Olasılığı

Bir olasılık deneyinde elde edilebilecek tüm çıktıların gerçekleşme şansı birbirine eşitse, bu çıktılara eş olasılıklı (eşit şansa sahip) çıktılar denir. Eğer böyle bir deneyde toplam n tane olası durum (çıktı) varsa, her bir tekil çıktının olma olasılığı birbirine eşittir ve 1n kesriyle ifade edilir. Buradaki n sayısı deneyin örnek uzayındaki toplam çıktı sayısıdır.

Örneğin hilesiz bir madeni para havaya atıldığında 'yazı' ve 'tura' olmak üzere 2 olası durum vardır; her bir çıktının olasılığı 12 olur. Hilesiz bir zar atıldığında 1'den 6'ya kadar 6 olası durum bulunduğundan her bir yüzün üst yüze gelme olasılığı 16 değerindedir. İçinde özdeş 15 bilye bulunan bir torbadan rastgele çekilen her bir tekil bilyenin çekilme şansı da birbirine eşit olup 115 olur.

Olasılık DeneyiOlası Durum Sayısı (n)Her Bir Çıktının Olasılığı
Hilesiz bir madeni paranın atılması2 (Yazı, Tura)12
Hilesiz bir zarın atılması6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)16
8 eş dilime ayrılmış bir çarkın çevrilmesi8 (Her bir eş dilim)18
Alfabemizdeki 29 harften birinin seçilmesi29 (Her bir harf)129
EŞİT ŞANSA SAHİP (EŞ OLASILIKLI) OLAYLAR VE ÇIKTI OLASILIĞI Tanım ve Genel Kural (n Olası Durum) n tane olası durumun bulunduğu bir deneyde her bir çıktının gelme şansı birbirine eşitse bu olaylara EŞ OLASILIKLI OLAYLAR denir. Her Çıktının Olasılığı = 1 n Standart Eş Olasılıklı Deney Örnekleri • Hilesiz Madeni Para (n = 2): 1 2 • Hilesiz Zar Atışı (n = 6): 1 6 • 8 Eş Dilimli Çark (n = 8): 1 8
🔍 Büyütmek için dokunun

2. Daha Fazla, Eşit ve Daha Az Olasılıklı Olayların Karşılaştırılması

Bir torbada veya grupta özdeş nesneler bulunduğunda her bir tekil nesnenin seçilme şansı 1n olsa da, nesneleri renk, tür veya nitelik bakımından gruplandırdığımızda olayların gerçekleşme şansları farklılaşabilir. İstenilen durumu sağlayan çıktı sayısı diğerlerinden çok olan olaya daha fazla olasılıklı, az olan olaya daha az olasılıklı, çıktı sayıları eşit olan olaylara ise eşit olasılıklı olaylar denir.

Örneğin içinde özdeş 6 kırmızı, 4 mavi ve 4 sarı top bulunan bir torbada toplam 6 + 4 + 4 = 14 olası durum vardır. Her bir topun tek başına çekilme şansı 114 iken; çekilen topun kırmızı olma olasılığı (6 durum) mavi olma olasılığından (4 durum) daha fazla olasılıklıdır. Mavi ve sarı top sayıları dörder adet olduğundan mavi gelme olasılığı ile sarı gelme olasılığı eşit olasılıklıdır.

DAHA FAZLA, EŞİT VE DAHA AZ OLASILIKLI OLAYLARIN KARŞILAŞTIRILMASI Torbadaki Özdeş Toplar (Toplam 10 Top) K K K K K M M Y Y S 5 Kırmızı (K), 2 Mavi (M), 2 Yeşil (Y), 1 Mor (S) Top çekme deneyinde her topun şansı 1/10'dur. Renk Olasılıklarının Karşılaştırılması • Daha Fazla Olasılıklı: Kırmızı gelme olasılığı (5 adet), diğer tüm renklerden DAHA FAZLA olasılıklıdır. • Eşit Olasılıklı: Mavi (2 adet) ve Yeşil (2 adet) EŞİT olasılıklıdır. • Daha Az Olasılıklı: Mor (1 adet) gelme olasılığı DAHA AZ olasılıklıdır.
🔍 Büyütmek için dokunun

3. Olasılık Değer Aralığı: İmkânsız Olay, Kesin Olay ve Tümleyen

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansına ilişkin 0 ile 1 arasında (0 ve 1 dâhil) verilen sayısal bir değerdir. Gerçekleşmesi hiçbir koşulda mümkün olmayan olaylara imkânsız olay denir ve olasılık değeri 0 (%0) ile gösterilir. Örneğin yüzlerinde 1'den 6'ya kadar rakamlar bulunan bir zar atıldığında üst yüze 7 gelmesi veya yalnız sarı topların bulunduğu bir torbadan mavi top çekilmesi imkânsız olaydır.

Deneyin her çıktısında gerçekleşmesi garanti olan olaylara ise kesin olay denir ve olasılık değeri 1 (%100) ile gösterilir. Örneğin hilesiz bir zar atıldığında üst yüze 7'den küçük bir doğal sayı gelmesi kesin olaydır. Ayrıca bir A olayının olma olasılığı P(A) ile olmama olasılığının P(A') toplamı daima 1'e eşittir: P(A) + P(A') = 1. Örneğin bir olayın olma olasılığı 37 ise olmama olasılığı 1 - 37 = 47 olur.

Olay TürüOlasılık DeğeriYüzde KarşılığıÖrnek Durum
İmkânsız Olay0%0Rakamlar kümesinden iki basamaklı bir sayı seçilmesi
Daha Az Olasılıklı0 ile 12 arası%0 - %50 arasıZar atıldığında üst yüze 6 gelmesi (16)
Yarı Yarıya Olasılıklı12 (0,5)%50Zar atıldığında üst yüze tek sayı gelmesi (36 = 12)
Daha Fazla Olasılıklı12 ile 1 arası%50 - %100 arasıZar atıldığında 1'den büyük sayı gelmesi (56)
Kesin Olay1%100Çift asal sayılar arasından 2 sayısının seçilmesi
OLASILIK DEĞER ARALIĞI: İMKÂNSIZ OLAY (0) VE KESİN OLAY (1) 0 (%0) İMKÂNSIZ OLAY (Gerçekleşmesi mümkün değil) 1 2 YARI YARIYA (%50) (0 < P(A) < 1 aralığı) 1 (%100) KESİN OLAY (Her durumda gerçekleşir) TEMEL KURAL: 0 ≤ P(A) ≤ 1 ve P(A) + P(A') = 1 Bir olayın olma olasılığı negatif olamaz ve 1'den (bileşik kesir) büyük olamaz; olma ve olmama olasılıkları toplamı 1'dir.
🔍 Büyütmek için dokunun

4. Basit Bir Olayın Olma Olasılığını Hesaplama

Eşit şansa sahip çıktıları olan bir deneyde basit bir A olayının olma olasılığı hesaplanırken, istenilen olası durumların (olayın çıktılarının) sayısı, deneydeki tüm olası durumların (örnek uzayın) sayısına bölünür: P(A) = İstenilen Olası Durumların SayısıTüm Olası Durumların Sayısı.

Hesaplama yapılırken önce tüm olası durumların sayısı hatasız biçimde belirlenir, ardından soruda verilen koşulu (örneğin asal sayı olması, tam kare sayı olması, 3'ün katı olması vb.) sağlayan çıktılar tek tek yazılıp sayılır. Bulunan kesir seçeneklerde genellikle en sade hâliyle, ondalık gösterimle veya yüzde sembolüyle ifade edilir.

BASİT BİR OLAYIN OLMA OLASILIĞININ HESAPLANMASI Bir Olayın Olma Olasılığı P(A) = İstenilen Olası Durumların Sayısı Tüm Olası Durumların Sayısı (Örnek Uzay) Örnek: Hilesiz Bir Zar Atıldığında Üst Yüze Asal Sayı Gelme Olasılığı • Tüm Olası Durumlar: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 eleman) • İstenilen Durumlar (Asal): {2, 3, 5} (3 eleman) P(Asal) = 3 6 = 1 2
🔍 Büyütmek için dokunun

5. Tablo, Sütun ve Daire Grafiği Verileriyle Olasılık Problemleri

Olasılık soruları sıklıkla Veri Analizi konusuyla birleştirilerek iki boyutlu tablolar, sütun grafikleri veya daire grafikleri üzerinden sorulur. Tablo ve sütun grafiği sorularında önce tüm gruplardaki kişi veya nesne sayıları toplanarak tüm olası durumların sayısı bulunur; sonra soruda istenen özelliğe (örneğin 'sarışın kız öğrenci' veya 'keman kursuna giden 8. sınıf öğrencisi') sahip olanların sayısı paya yazılır.

Daire grafiği sorularında ise toplam kişi veya nesne sayısı verilmese dahi olasılık doğrudan merkez açılar üzerinden hesaplanabilir! Çünkü dairenin tamamı 360 derecedir ve her bir dilimin büyüklüğü o grubun eleman sayısıyla doğru orantılıdır: P(Dilim) = Dilimin Merkez Açısı360. Örneğin daire grafiğinde 72 derecelik merkez açı ile gösterilen bir grubun seçilme olasılığı 72360 = 15 (%20) olur.

Merkez AçıOlasılık Kesri (Açı360)En Sade HâliYüzde / Ondalık Gösterimi
36°36360110%10 (0,1)
72°7236015%20 (0,2)
90°9036014%25 (0,25)
120°12036013Yaklaşık %33,3
180°18036012%50 (0,5)
TABLO VE DAİRE GRAFİĞİ VERİLERİYLE OLASILIK HESAPLAMA 1. İki Boyutlu Tablo Soruları Sınıfta 12 Gözlüklü Kız, 8 Gözlüksüz Kız, 6 Gözlüklü Erkek, 10 Gözlüksüz Erkek (Toplam 36): P(Gözlüklü Öğrenci) = 18 36 = 1 2 İstenen hücrelerin toplamı tüm sınıf mevcuduna bölünerek sadeleştirilir. 2. Daire Grafiği (Merkez Açı) Soruları Daire grafiğinde kişi sayısı verilmese bile merkez açı 360 dereceye oranlanır: P(Dilim) = Merkez Açı 360° Örnek: 90° merkez açılı dilimin seçilme olasılığı 90 derecenin 360 dereceye oranıdır (çeyrek).
🔍 Büyütmek için dokunun

6. Geometrik Olasılık ve Hedef Tahtası Uygulamaları

Bir hedef tahtasına veya geometrik bir yüzeye yapılan rastgele atışın tahtaya isabet ettiği bilindiğinde, atışın belirli bir boyalı bölgeye isabet etme olasılığı alanlar oranı ile hesaplanır: P(Bölge) = İstenilen Bölgenin AlanıTüm Hedef Tahtasının Alanı. Kare, dikdörtgen veya eş birim karelere ayrılmış zeminlerde birim kare sayıları ya da kenar uzunluklarının çarpımı kullanılır.

İç içe geçmiş dairelerden oluşan hedef tahtalarında ise dairenin alan formülü (pi sayısı çarpı yarıçapın karesi) kullanılır. Burada en çok dikkat edilmesi gereken nokta, iki daire arasında kalan halka şeklindeki bölgenin alanı bulunurken dış dairenin alanından iç dairenin alanının çıkarılmasıdır. Oranlama yapıldığında pi sayıları birbirini sadeleştirdiği için işlem yarıçapların kareleri üzerinden kolayca tamamlanır.

GEOMETRİK ALAN VE HEDEF TAHTASI OLASILIK UYGULAMALARI Hedef Tahtasında Vurulma Olasılığı Kırmızı Hedef tahtasına isabet eden bir okun belirli bir bölgeyi vurma olasılığı, bölgelerin alanları oranıyla bulunur. Alan Oranı Bağıntısı P(Bölge) = İstenilen Bölgenin Alanı Tüm Hedef Tahtasının Alanı • İç içe dairelerde daire alanı (π · r²) hesaplanır. • Halka bölgesinin alanı için dış daire alanından iç dairenin alanı çıkarılır!
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Verilen 1'den 24'e kadar (1 ve 24 dâhil) numaralandırılmış özdeş 24 kart bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının tam kare bir sayı olma olasılığı ile tam kare olmama olasılığını hesaplayınız.

    Cevabı göster

    Tüm olası durumların sayısı 24'tür. 1'den 24'e kadar olan tam kare sayılar: 1, 4, 9 ve 16 olmak üzere 4 tanedir. Tam kare olma olasılığı P(A) = 424 = 16 olur. Tam kare olmama (tümleyen) olasılığı ise P(A') = 1 - 16 = 56 olarak bulunur.

  2. Örnek 2Bir kutuda özdeş mavi ve kırmızı bilyeler vardır. Kutudan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı 38'dir. Kutuda 15 tane mavi bilye bulunduğuna göre kaç tane kırmızı bilye vardır?

    Cevabı göster

    Mavi olma olasılığı 38 ise kırmızı olma olasılığı 1 - 38 = 58 olur. Mavi bilyelerin oranı 38 = 15Toplam olduğundan (pay 5 katına çıkmıştır), toplam bilye sayısı 8 . 5 = 40 tanedir. Buradan kırmızı bilye sayısı 40 - 15 = 25 olarak bulunur.

  3. Örnek 3Bir okulun 8. sınıf şubelerindeki öğrencilerin dağılımı daire grafiğinde gösterildiğinde 8-A şubesine ait dilimin merkez açısı 108 derece olmaktadır. Bu okulun 8. sınıfları arasından rastgele seçilen bir öğrencinin 8-A şubesinden olma olasılığı yüzde kaçtır?

    Cevabı göster

    Daire grafiğinin tamamı 360 derecedir. 8-A şubesinden seçilme olasılığı P(8A) = 108360 kesriyle bulunur. Pay ve paydayı 36 ile sadeleştirirsek 310 elde edilir. Bunu yüzdeye çevirmek için 10 ile genişlettiğimizde 30100 yani %30 bulunur.

  4. Örnek 4Bir torbada özdeş 7 beyaz, 5 siyah ve 9 turuncu top vardır. Torbadan en az kaç top çıkarılırsa kalan toplar arasından rastgele çekilen bir topun beyaz, siyah veya turuncu gelme olasılıkları birbirine eşit olur?

    Cevabı göster

    Üç rengin de çekilme olasılığının eşit olması için torbadaki beyaz, siyah ve turuncu top sayılarının birbirine eşit olması gerekir. Top çıkararak eşitleyeceğimiz için en az sayıda olan siyah top sayısında (5'te) eşitlenmelidir. Bunun için beyazdan 7 - 5 = 2 top, turuncudan 9 - 5 = 4 top olmak üzere toplam 2 + 4 = 6 top çıkarılmalıdır.

  5. Örnek 5Kenar uzunlukları 6 cm ve 10 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir hedef tahtasının içinde, bir kenarı 3 cm olan kare şeklinde kırmızı bir bölge bulunmaktadır. Hedef tahtasına isabet eden bir okun kırmızı bölgeyi vurma olasılığı kaçtır?

    Cevabı göster

    Tüm hedef tahtasının alanı 6 . 10 = 60 santimetrekaredir. İstenilen kırmızı karenin alanı ise 3 . 3 = 9 santimetrekaredir. Kırmızı bölgeyi vurma olasılığı P(Kırmızı) = 960 olup 3 ile sadeleştirildiğinde 320 bulunur.

  6. Örnek 6Eşit şansa sahip olan bir deneyde her bir çıktının olma olasılığı 118 olarak verilmiştir. Bu deneydeki olası durumların sayısı 6 artırılırsa her bir çıktının yeni olma olasılığı kaç olur?

    Cevabı göster

    Başlangıçta her bir çıktının olasılığı 1n = 118 olduğundan deneyde n = 18 olası durum vardır. Olası durum sayısı 6 artırıldığında yeni durum sayısı 18 + 6 = 24 olur. Bu durumda her bir çıktının yeni olma olasılığı 124 olur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Aşağıda verilen sayılardan hangisi bir olayın olma olasılık değeri olamaz?

  2. 2Verilen 10'dan 25'e kadar (10 ve 25 dâhil) doğal sayıların yazılı olduğu özdeş kartlar arasından rastgele çekilen bir kartın üzerinde asal sayı yazma olasılığı kaçtır?

  3. 3Bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı 27'dir. Bu sınıfta gözlüksüz 25 öğrenci bulunduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır?

  4. 4İç içe geçmiş iki daireden oluşan dairesel bir hedef tahtasında içteki küçük dairenin yarıçapı 2 cm, dıştaki büyük dairenin yarıçapı ise 6 cm'dir. Hedef tahtasına isabet eden bir okun içteki küçük dairenin dışında kalan halka bölgeye isabet etme olasılığı kaçtır?

  5. 5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) mi yoksa yanlış (Y) mi olduğunu belirleyiniz.

    • Eşit şansa sahip n tane olası durumun bulunduğu bir deneyde her bir çıktının olma olasılığı 1n değerine eşittir.
    • Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara imkânsız olay denir ve olasılık değeri -1 ile gösterilir.
    • Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1'e eşittir.
    • Bir daire grafiğinde 60 derecelik merkez açıyla gösterilen bir grubun rastgele seçimde gelme olasılığı 16'dır.
    • Hilesiz bir zar havaya atıldığında üst yüze gelen sayının rakam olma olasılığı 16'dır.

  6. 6Hilesiz bir zarın havaya atılması deneyinde aşağıdaki olayları olasılık değerleriyle eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Deneyin her türlü sonucunda gerçekleşmesi garanti olan ve olasılık değeri 1 olan olaya olay denir.
    2. Gerçekleşmesi mümkün olmayan ve olasılık değeri 0 olan olaya olay adı verilir.
    3. Bir olayın gerçekleşme şansına ilişkin 0 ile 1 arasında verilen sayısal ölçüme denir.
    4. Her bir çıktının gerçekleşme şansının 1n olduğu olaylara şansa sahip olaylar denir.
    5. Basit bir olayın olma olasılığı bulunurken istenilen olası durumların sayısı, olası durumların sayısına bölünür.

  8. 8Altmış sayısının tüm pozitif tam sayı çarpanları (bölenleri) eş büyüklükteki kartlara tek tek yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerinde:

Kısaca

  • n tane olası durumun bulunduğu ve her bir çıktının gerçekleşme şansının eşit olduğu deneylerde, her bir çıktının olma olasılığı 1n değerine eşittir.
  • İstenilen çıktı sayısı fazla olan olay 'daha fazla olasılıklı', az olan olay 'daha az olasılıklı', çıktı sayıları birbirine eşit olan olaylar ise 'eşit olasılıklı' olarak adlandırılır.
  • Bir olayın olma olasılığı 0 ile 1 arasındadır (0 ve 1 dâhil); gerçekleşmesi mümkün olmayan imkânsız olayın olasılığı 0, her durumda gerçekleşen kesin olayın olasılığı 1'dir.
  • Bir A olayının olma olasılığı ile olmama (tümleyen) olasılığının toplamı her durumda 1 tamdır: P(A) + P(A') = 1.
  • Basit bir olayın olma olasılığı, İstenilen Olası Durumların SayısıTüm Olası Durumların Sayısı bağıntısıyla hesaplanır.
  • Daire grafiği sorularında bir dilimin seçilme olasılığı Merkez Açı360 oranıyla, hedef tahtası sorularında ise İstenilen AlanTüm Alan oranıyla bulunur.

Bu dersin öteki kaynakları