Üslü İfadeler: Tam Sayı Kuvvetleri ve Temel Kurallar

Üs, tabanın kaç kez çarpılacağını söyler; üs 3, 2, 1 gibi pozitif bir sayı olduğunda değeri çarparak bulursun. Üssü sıfır ya da negatif olan ifadelerin anlamını ise bir örüntüden çıkarabilirsin. Önce 5 tabanlı ifadelere bak: 5³ = 125, 5² = 25 ve 5¹ = 5.

Üs her adımda 1 azalırken sayı, tabanla bölünerek küçülür: 125 ÷ 5 = 25, 25 ÷ 5 = 5 ve 5 ÷ 5 = 1. Örüntü sürdüğünde 5⁰ = 1 olur. Taban 0 olmadığı sürece üssü sıfır olan ifadenin değeri 1’dir.

Bölmeyi aynı biçimde sürdürürsen 1 ÷ 5 = 15, 15 ÷ 5 = 125 ve 125 ÷ 5 = 1125 bulursun. Bu değerler üssü −1, −2 ve −3 olan ifadelerin değerleridir: 5⁻¹ = 15, 5⁻² = 125 ve 5⁻³ = 1125. Demek ki negatif üslü ifadede pay ile payda yer değiştirir ve üs pozitife döner.

Negatif üslü bir ifadeyi hesaplarken tabanın çarpma işlemine göre tersini alır, üssü pozitif yazarsın. Örneğin 6⁻² = (16)² = 16² = 136 olur. Kesir tabanlı ifadelerde de aynı yolu izlersin: 45 sayısının tersi 54 olduğundan (45)⁻² = (54)² = 2516 bulunur.

Paydada negatif üslü bir ifade varsa onu paya alırken de üssün işareti değişir: 17⁻² = 7² = 49 ve 110⁻⁵ = 10⁵ = 100 000. Aynı kural iki yönde de çalışır: a⁻ⁿ = 1aⁿ ve 1a⁻ⁿ = aⁿ.

Taban negatifse sonucun işaretini üssün tek ya da çift oluşu belirler. Örneğin (−2)⁻⁴ = 1(−2)⁴ = 116 pozitiftir; 1(−6)⁻³ = (−6)³ = −216 ise negatiftir. Parantezlere de dikkat etmelisin: −6² yazılışında üs yalnız 6’ya aittir ve değer −36’dır; negatif tabanı üslemek için (−6)² = 36 gibi parantez kullanırsın.

İki üslü ifadenin tabanı ortaksa çarpmada üsleri toplar, tabanı olduğu gibi yazarsın. Çünkü a sayısından x tane ile y tane yan yana çarpılınca toplam x + y tane a çarpılmış olur: a^x · a^y = a^{x + y}. Örneğin 6² · 6³ = (6 · 6) · (6 · 6 · 6) = 6⁵ bulunur.

Üsler negatif de olabilir; kural değişmez: 7⁻⁶ · 7⁻² = 7⁻⁸ ve 10⁻³ · 10³ = 10⁰ = 1. Taban negatifse parantez korunur: (−2)³ · (−2)⁴ = (−2)⁷.

Üsleri eşit olan iki üslü ifadeyi çarparken tabanları çarpar, üssü değiştirmeden yazarsın: a^x · b^x = (a · b)^x. Örneğin 4⁵ · 5⁵ = 20⁵ ve 2⁻³ · 5⁻³ = 10⁻³ = 110³ = 11000 olur. Negatif tabanlarda çarpımın işaretine bak: (−2)⁶ · (−3)⁶ = 6⁶ çıkar, çünkü (−2) · (−3) = 6’dır.

Tabanı ortak iki üslü ifadeyi bölerken üslerin farkını alırsın: yeni üs, payın üssü eksi paydanın üssüdür ve taban aynen kalır (a sıfırdan farklı olmalı): a^ba^c = a^{b − c}. Örneğin 7⁶7² = 7^{6 − 2} = 7⁴ olur. Paydanın üssü negatifse çıkarmada işarete dikkat et: 2⁵2⁻³ = 2^{5 − (−3)} = 2⁸.

Bölünen ile bölenin üsleri eşitse tabanları böler, üssü değiştirmeden yazarsın (b sıfırdan farklı olmalı): a^cb^c = (ab)^c. Örneğin 20⁴5⁴ = 4⁴ olur. Negatif üslerde de aynı yolu izlersin: 10⁻⁴50⁻⁴ = (15)⁻⁴ = 5⁴ bulunur.

Pay ile payda aynı üslü ifadeyse üsler eşittir, fark 0 çıkar ve değer 1 olur: 9⁻³9⁻³ = 9^{−3 − (−3)} = 9⁰ = 1. Sonucun işaretini en sonda, kuvvetin tek ya da çift olmasına bakarak denetle: (−3)⁵(−3)² = (−3)³ = −27.

Bir üslü ifadeyi bir kuvvete yükseltirken üsleri çarparsın: (a^b)^c = a^b · c. Nedenini (4³)³ = 4³ · 4³ · 4³ = 4^{3 + 3 + 3} = 4⁹ yazarak görebilirsin; üç tane 3’ün toplamı 3 · 3’e eşittir. Negatif üsler de çarpılır: (5⁻³)⁻² = 5⁶.

Parantez, işaretin kime ait olduğunu belirler. Örneğin (−2³)⁵ ifadesinde −2³ = −8 negatif bir tam sayıdır; negatif sayının tek kuvveti negatif olduğundan değer −2¹⁵ çıkar. Çift kuvvet alınırsa, örneğin (−3²)⁴ ifadesinde, değer pozitiftir ve 3⁸’e eşit olur.

Tabanları ya da üsleri farklı olan ifadelerle işlem yaparken önce eşitlenebilen olanı eşitlersin. Tabanlar eşitlenebiliyorsa üsler toplanır ya da çıkarılır: 25³ · 125² · 5⁻⁴ işleminde 25 = 5² ve 125 = 5³ olduğundan (5²)³ · (5³)² · 5⁻⁴ = 5⁶ · 5⁶ · 5⁻⁴ = 5⁸ bulunur. Üsler eşitlenebiliyorsa tabanlar çarpılır: 8⁴ · 7¹² işleminde 8 = 2³ olduğundan 8⁴ = 2¹² olur ve 2¹² · 7¹² = 14¹² elde edilir.

Aynı değeri veren farklı yazılışlar birbirine denktir. Üssün üssü kuralıyla bir üslü ifadeden birçok denk ifade üretebilirsin: 3⁶ = (3²)³ = 9³ ve 3⁶ = (3³)² = 27² olur; üçü de 729’a eşittir.

Üslü ifadeler günlük durumlarda da karşına çıkar. Bir yolun başına ve sonuna da gelecek biçimde eşit aralıklarla direk dikiliyorsa direk sayısı aralık sayısından 1 fazladır. Örneğin 5 direk dikilen bir yolda 4 aralık vardır.

Uzunluk üslü ifadeyle verildiğinde aralığın uzunluğunu bölme kuralıyla bulursun. Uzunluğu 6⁴ m olan düz bir kanalın başına ve sonuna da gelecek biçimde 217 direk dikilirse 216 aralık oluşur; 216 = 6³ olduğundan her aralığın uzunluğu 6⁴6³ = 6¹ = 6 m olur.

Sonucu bulduktan sonra denetle: aralık sayısı ile aralık uzunluğunun çarpımı toplam uzunluğu vermelidir. Yukarıdaki durumda 216 · 6 = 1296 ve 6⁴ = 1296 olduğundan sonuç doğrudur. Üslü ifadeleri son adımda sayı olarak da yazmak bu denetimi kolaylaştırır.