İçeriğe geç

8. sınıf · Matematik · 8. hafta (2-6 Kasım 2026)

Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemleri ile Paydayı Rasyonel Yapma (M.8.1.3.4 & M.8.1.3.5)

Sayılar ve İşlemler teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Kareköklü ifadeleri `a` biçiminde yazmayı ve katsayıyı kök içine almayı öğrendikten sonra, şimdi bu ifadelerle dört işlem yapma aşamasına geçiyoruz. Geometrik şekillerin alanlarını bulurken kullandığımız çarpma ve bölme kurallarını, kesirlerin paydasını kökten kurtarma (rasyonel yapma) tekniğini ve çevre hesaplamalarında vazgeçilmez olan toplama-çıkarma işlemlerini adım adım inceliyoruz.

Kareköklü İfadelerde Çarpma İşlemi ve Doğal Sayı Yapan Çarpanlar

Kareköklü ifadelerde çarpma işlemi yapılırken katsayılar kendi arasında çarpılarak sonuca katsayı olarak, kök içindeki sayılar ise kendi arasında çarpılarak ortak kök içine yazılır: `a · b = (a · b)`. Örneğin `3 · 4 = (3 · 4) = 12` bulunur.

Çarpma işleminin sonucunda kök içindeki sayıda tam kare bir çarpan oluşursa bu çarpan kök dışına çıkarılır. Örneğin `2 · 5 = 10 = 10 · 3 = 30` olur.

Aynı iki kareköklü ifadenin çarpımı daima bir doğal sayıdır: ` ·  = = a`. Bir kareköklü ifadeyi doğal sayı yapan çarpanı bulmak için ifade önce `a` şeklinde yazılır; kök içinde kalan `` ifadesi (veya `k` katları) aranan çarpandır. Örneğin ` = 2` ifadesini `` ile çarparsak `2 ·  = 2 · 6 = 12` doğal sayısı elde edilir.

KAREKÖKLÜ İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ KURALLARI Temel Çarpma Kuralı a·kök(x) · b·kök(y) = (a · b)·kök(x · y) • Katsayılar kendi arasında çarpılır, katsayı yazılır. • Kök içleri kendi arasında çarpılır, kök içine yazılır. Örnek: 3·kök(2) · 4·kök(5) = 12·kök(10) Örnek: 2·kök(3) · 5·kök(6) = 10·kök(18) = 30·kök(2) Doğal Sayı Yapan Çarpan kök(a) · kök(a) = kök(a²) = a • İfade önce a·kök(b) biçimine getirilir. • Kök içinde kalan b sayısını tam kare yapan kök(b) veya k·kök(b) ifadeleri doğal sayı yapar. Örnek: kök(24) = 2·kök(6) → Çarpan: kök(6)
🔍 Büyütmek için dokunun

Kareköklü İfadelerde Bölme İşlemi ve Paydayı Rasyonel Yapma

Kareköklü ifadelerde bölme işlemi yapılırken katsayılar kendi arasında bölünerek katsayıya, kök içindeki sayılar ise kendi arasında bölünerek ortak kök içine yazılır: `(a) / (b) = (a / b)` (b ≠ 0 ve y > 0). Örneğin `(15) / (3) = (15 / 3) = 5 = 5 · 2 = 10` olur.

Matematikte kesirli bir ifadenin paydasında kareköklü sayı bırakılmaz; paydadaki kareköklü ifadeyi doğal sayıya dönüştürme işlemine paydayı rasyonel yapma denir.

Paydasında `` bulunan `a / ` kesrinin hem payı hem de paydası `` ile çarpılarak genişletilir: `a / = (a · ) / ( · ) = (a) / b`. Örneğin `12 / = (12) / ( · ) = (12) / 3 = 4` elde edilir.

KAREKÖKLÜ İFADELERDE BÖLME VE PAYDAYI RASYONEL YAPMA Temel Bölme Kuralı [a·kök(x)] / [b·kök(y)] = (a / b)·kök(x / y) • Katsayılar kendi arasında bölünür. • Kök içindeki sayılar ortak kök içinde bölünür. Örnek: [12·kök(15)] / [3·kök(5)] = 4·kök(3) Örnek: kök(75) / kök(3) = kök(25) = 5 Paydayı Rasyonel (Doğal Sayı) Yapma a / kök(b) = [a · kök(b)] / [kök(b) · kök(b)] = [a·kök(b)] / b • Paydadaki köklü ifade ile kesir genişletilir. Örnek 1: 6 / kök(3) = 6·kök(3) / 3 = 2·kök(3) Örnek 2: 10 / kök(5) = 10·kök(5) / 5 = 2·kök(5) Paydada karekök bırakılmaz, sadeleştirilir!
🔍 Büyütmek için dokunun

Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için karekök içindeki sayıların birebir aynı olması şarttır. Kök içleri eşit olan ifadelerde katsayılar toplanır veya çıkarılır, ortak kök aynen yazılır: `a + b - c = (a + b - c)`.

Kök içleri eşit değilse ifadeler önce `a` biçiminde yazılarak kök içleri eşitlenmeye çalışılır. Örneğin ` + - ` işleminde ` = 5`, ` = 3` ve ` = 2` olduğundan işlem `5 + 3 - 2 = (5 + 3 - 2) = 6` olarak sonuçlanır.

Kök önünde yazılmamış katsayı `1` kabul edilir (` = 1`). `a` biçimine getirildiği halde kök içleri eşitlenemeyen ifadeler (`2 + 5` gibi) daha fazla toplanamaz ve olduğu gibi bırakılır.

KAREKÖKLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ Kök İçleri Eşit Olan İfadeler a·kök(x) + b·kök(x) - c·kök(x) = (a + b - c)·kök(x) • Kök içi aynen kalır, katsayılar toplanır/çıkarılır. • 4·kök(7) + 5·kök(7) - 2·kök(7) = 7·kök(7) • Dikkat: kök(a) + kök(b) ≠ kök(a + b) Örn: kök(9) + kök(16) = 3 + 4 = 7 (kök(25)=5 ile karıştırma!) Kök İçlerini Eşitleme Yöntemi • Kök içleri farklıysa önce a·kök(b) biçiminde yazılır. Örnek: kök(12) + kök(27) - kök(3) = 2·kök(3) + 3·kök(3) - 1·kök(3) = (2 + 3 - 1)·kök(3) = 4·kök(3) Kök içleri eşitlenemiyorsa işlem olduğu gibi kalır.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Kısa kenarı 2 cm ve uzun kenarı 5 cm olan bir dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?

    Cevabı göster

    Alan = 2 · 5 = (2 · 5) = 10. = 3 olduğundan Alan = 10 · 3 = 30 cm² bulunur.

  2. Örnek 2 sayısını hangi en küçük pozitif kareköklü ifade ile çarparsak sonuç bir doğal sayı olur?

    Cevabı göster

    = = 3 şeklinde yazılır. Kök içindeki 5 sayısını tam kare yapmak için ifade ile çarpılmalıdır (3 ·  = 15).

  3. Örnek 3(18) / (6) bölme işleminin sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    Katsayılar ve kök içleri kendi arasında bölünür: (18 / 6) = 3. = 2 olduğundan 3 · 2 = 6 bulunur.

  4. Örnek 4Paydasında karekök bulunan 15 / ifadesinin paydasını rasyonel yaparak en sade halini bulunuz.

    Cevabı göster

    Kesir ile genişletilir: (15 · ) / ( · ) = (15) / 5 = 3 elde edilir.

  5. Örnek 5 + - işleminin sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    = 5, = 4 ve = 2 olarak yazılır. İşlem: 5 + 4 - 2 = (5 + 4 - 2) = 7 olur.

  6. Örnek 6Alanı 36 cm² olan bir dikdörtgenin bir kenar uzunluğu 3 cm ise diğer kenar uzunluğu kaç cm'dir?

    Cevabı göster

    Diğer kenar = 36 / (3) = 12 / . Payda ile genişletilirse (12) / 2 = 6 cm bulunur.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Kareköklü ifadelerde 4 · 2 çarpma işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 2 sayısı aşağıdaki kareköklü ifadelerden hangisi ile çarpılırsa sonuç bir doğal sayı olur?

  3. 3Verilen 18 / bölme işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  4. 4 + - işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  5. 5Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Kareköklü ifadelerde çarpma yapılırken katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır.
    • + işleminin sonucu kök içleri toplanarak yani 5 olarak bulunur.
    • ile sayısının çarpımı rasyonel bir doğal sayı olan 5'e eşittir.
    • Paydasında bulunan bir kesri rasyonel yapmak için kesir ile genişletilir.
    • Toplama işleminde 3 + 4 ifadesinin sonucu 7 sayısına eşittir.

  6. 6Kareköklü işlemleri doğru sonuçlarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavram veya sayılarla tamamlayınız.

    1. Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma yapabilmek için kök birbirine eşit olmalıdır.
    2. Paydasında kareköklü bir sayı bulunan kesrin paydasını doğal sayı yapmaya paydayı yapma denir.
    3. Bir kenar uzunluğu 3 cm olan karenin alanı cm²'dir.
    4. sayısını doğal sayı yapan en küçük pozitif çarpan ifadesidir.
    5. Verilen 6 - çıkarma işleminin sonucu sayısına eşittir.

  8. 8Paydayı rasyonel yapma ve kareköklü toplama kurallarını kullanarak '12 / + ' işleminin sonucunu adım adım bulunuz.

Kısaca

  • Çarpma İşlemi: a · b = (a · b) kuralıyla katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır.
  • Doğal Sayı Çarpanı: a biçimindeki bir ifadeyi veya katlarıyla çarpmak sonucu doğal sayı yapar.
  • Bölme İşlemi: (a) / (b) = (a / b) kuralıyla katsayılar ve kök içleri ayrı ayrı bölünür.
  • Paydayı Rasyonel Yapma: a / kesri ile genişletilerek (a) / b biçiminde yazılır.
  • Toplama ve Çıkarma: İfadeler a biçimine getirilip kök içleri eşitlendikten sonra katsayılar toplanır veya çıkarılır.

Bu dersin öteki kaynakları