Çarpanlar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Çarpan nedir?

Bir pozitif tam sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. Örneğin 12; 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 sayılarına kalansız bölünür. Bu altı sayı 12'nin çarpanlarıdır.

Çarpanları eksiksiz bulmanın kolay yolu, sayıyı iki sayının çarpımı olarak yazmaktır. 1'den başlanır, sırayla denenir; çarpım çiftleri tekrar etmeye başlayınca durulur.

Asal sayılar

1'den ve kendisinden başka çarpanı olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. İlk asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için sayı sırayla 2, 3, 5, 7… asal sayılarına bölünür. Böleni bulunmazsa sayı asaldır.

Asal çarpanlara ayırma

Bir sayıyı yalnız asal sayıların çarpımı olarak yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. İki yöntem kullanılır:

Çarpan ağacı: Sayı, iki çarpanın çarpımı olarak yazılır. Asal olmayan her dal yeniden ikiye ayrılır; bütün dallar asal sayılarda bitince yapraklardaki sayılar çarpılır.

Bölme yöntemi: Sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sırayla bölünür; bölüm 1 olunca durulur. Sağ sütundaki bölenler sayının asal çarpanlarıdır.

Üslü ifadelerin çarpımı olarak yazma

Asal çarpanlara ayırmada aynı asal sayı birden çok kez çıkabilir. Bu tekrarlar üslü ifadeyle kısaca yazılır: 2 · 2 · 2 yerine 2³, 3 · 3 yerine 3² yazılır.

Böylece 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3² olur. Asal çarpanlar genellikle küçükten büyüğe sıralanarak yazılır.

Örnekler

1. Örnek 136'nın bütün pozitif çarpanlarını yazınız.

   Cevabı göster

   Çarpım çiftleri: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6. Çarpanlar: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 tane).

2. Örnek 290 sayısını asal çarpanlarına ayırıp üslü ifadelerin çarpımı biçiminde yazınız.

   Cevabı göster

   90 = 2 · 45 = 2 · 3 · 15 = 2 · 3 · 3 · 5. Üslü biçimde: 90 = 2 · 3² · 5.

3. Örnek 32² · 3 · 7 çarpımı hangi sayıyı gösterir?

   Cevabı göster

   2² = 4 olduğundan 4 · 3 · 7 = 84.

4. Örnek 421, 29, 39 ve 51 sayılarından hangisi asaldır?

   Cevabı göster

   29 asaldır. Öbürleri asal değildir: 21 = 3 · 7, 39 = 3 · 13, 51 = 3 · 17.

5. Örnek 5Bir bahçıvan 48 fidanı her sırada eşit sayıda fidan olacak biçimde sıralara dikecek. Her sırada en az 2, en fazla 10 fidan olacaksa bahçıvan fidanları kaç farklı biçimde dizebilir?

   Cevabı göster

   Bir sıradaki fidan sayısı 48'in çarpanı olmalıdır. 48'in çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Bunlardan 2 ile 10 arasındakiler 2, 3, 4, 6 ve 8'dir. Bahçıvan fidanları 5 farklı biçimde dizebilir.

6. Örnek 62^a · 3^b = 108 olduğuna göre a ve b kaçtır?

   Cevabı göster

   108 = 2 · 54 = 2 · 2 · 27 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 2² · 3³. Buna göre a = 2, b = 3.