Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri: Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları, Referans Fonksiyonların Karşılaştırılması ve Genlik-Periyot Dönüşümleri

Birim çember üzerinde x radyanlık yayın bitim noktası P(cos x, sin x) olsun. cos x ≠ 0 olan her x için tan x = sin xcos x, sin x ≠ 0 olan her x için cot x = cos xsin x olarak tanımlanır. Bu oranların geometrik anlamı vardır: Çembere A(1, 0) noktasında teğet olan x = 1 doğrusuna tanjant ekseni denir. O ve P noktalarından geçen doğru bu ekseni T noktasında keser ve T'nin ordinatı tan x'tir; yani T(1, tan x). Bunun nedeni benzer üçgenlerdir: P'den x eksenine inilen dikmenin oluşturduğu üçgen ile OAT üçgeni benzer olduğundan sin xcos x = |AT|1 olur. Benzer biçimde çembere B(0, 1) noktasında teğet olan y = 1 doğrusu kotanjant eksenidir; OP doğrusu bu ekseni K(cot x, 1) noktasında keser.

Tanımsızlık durumları da birim çemberden doğrudan görülür. x = π2 + kπ olduğunda P noktası y ekseni üzerindedir, cos x = 0 olur ve OP doğrusu x = 1 doğrusuna paralel kalır; kesişim olmadığından tan x tanımsızdır. x = kπ olduğunda ise P noktası x ekseni üzerindedir, sin x = 0 olur ve OP doğrusu y = 1 doğrusuna paralel kalır; bu yüzden cot x tanımsızdır. İkisinin de tanımlı olduğu her x için tan x · cot x = 1 olduğundan tanjant ve kotanjantın işaretleri her zaman aynıdır: I. ve III. bölgede ikisi de pozitif, II. ve IV. bölgede ikisi de negatiftir.

x ve x + π yayları birim çemberde orijine göre simetrik iki noktaya karşılık gelir. Bu iki nokta aynı doğru üzerinde bulunduğundan OP doğrusu değişmez; sinüs ve kosinüs birlikte işaret değiştirir ama oranları aynı kalır. Bu nedenle her k ∈ ℤ için tan(x + kπ) = tan x ve cot(x + kπ) = cot x olur. Sinüs ve kosinüste 2π'nin katlarını atıyorduk; tanjant ve kotanjantta π'nin katlarını atmak yeterlidir. Örneğin 13π3 = 4π + π3 olduğundan tan(13π3) = tan(π3) = 3 bulunur.

f(x) = tan x fonksiyonunun tanım kümesi, x ≠ π2 + kπ (k ∈ ℤ) koşulunu sağlayan tüm reel sayılardır. P noktası y eksenine yaklaştıkça T noktası tanjant ekseni üzerinde sınırsız biçimde yukarı ya da aşağı kaçar; bu yüzden grafik x = π2 + kπ doğrularına yaklaşır ama onları hiç kesmez. Bu doğrulara düşey asimptot denir. T noktası tanjant ekseni üzerinde her yüksekliğe ulaşabildiğinden görüntü kümesi ℝ'dir; dolayısıyla tanım kümesinden ℝ'ye tanımlı tanjant fonksiyonu örtendir. Grafiğin hiçbir yerde en yüksek ya da en alçak noktası olmadığından maksimum ve minimum değeri yoktur.

Sıfırlar sin x = 0 olan noktalardır: tan x = 0 ⇔ x = kπ. Grafik orijinden ve …, −π, π, 2π, … noktalarından geçer. (−π2, π2) aralığında x artarken T noktası tanjant ekseninde sürekli yukarı tırmanır; bu yüzden tanjant bu aralıkta artandır. Periyot π olduğundan aynı durum (−π2 + kπ, π2 + kπ) biçimindeki her aralıkta tekrarlanır. İşaret incelemesinde tan x, (kπ, π2 + kπ) aralıklarında pozitif, (−π2 + kπ, kπ) aralıklarında negatiftir; [0, 2π) aralığında bu, I. ve III. bölgede pozitif, II. ve IV. bölgede negatif demektir.

x ve −x yaylarının bitim noktaları x eksenine göre simetrik olduğundan sinüsler ters işaretli, kosinüsler eşittir; oran ters işaret alır: tan(−x) = −tan x. Tanjant bir tek fonksiyondur ve grafiği orijine göre simetriktir. Esas periyodu T = π'dir; çünkü tan(x + π) = tan x eşitliğini sağlayan en küçük pozitif sayı π'dir. Yatay doğru testi uygulandığında y = 1 doğrusu grafiği x = π4 + kπ noktalarının her birinde keser; bu yüzden tanjant tanım kümesinde bire bir değildir. Tanım kümesi (−π2, π2) aralığına kısıtlanırsa fonksiyon artan ve bire bir olur.

f(x) = cot x fonksiyonunun tanım kümesi, x ≠ kπ (k ∈ ℤ) koşulunu sağlayan tüm reel sayılardır. P noktası x eksenine yaklaştığında K noktası kotanjant ekseni üzerinde sınırsız biçimde sağa ya da sola kaçar; bu yüzden grafiğin düşey asimptotları x = kπ doğrularıdır. Özellikle y ekseni (x = 0) de bir asimptottur ve kotanjant grafiği y eksenini hiç kesmez. K noktası kotanjant ekseninin her yerine ulaşabildiği için görüntü kümesi ℝ'dir, fonksiyon ℝ'ye örtendir ve maksimum-minimum değeri yoktur.

Sıfırlar cos x = 0 olan noktalardır: cot x = 0 ⇔ x = π2 + kπ. (0, π) aralığında x arttıkça P noktası (1, 0)'ın yakınından (−1, 0)'ın yakınına doğru ilerler, OP doğrusunun y = 1 doğrusunu kestiği K noktası sağdan sola kayar ve apsisi sürekli küçülür. Bu nedenle kotanjant (0, π) aralığında ve periyot nedeniyle (kπ, π + kπ) biçimindeki her aralıkta azalandır. İşaret açısından cot x, (kπ, π2 + kπ) aralıklarında pozitif, (π2 + kπ, π + kπ) aralıklarında negatiftir; işaret düzeni tanjantla aynıdır.

cot(−x) = cos(−x)sin(−x) = cos x−sin x = −cot x olduğundan kotanjant da bir tek fonksiyondur; grafiği orijine göre simetriktir. Esas periyodu π'dir. Bire bir değildir; tanım kümesi (0, π) aralığına kısıtlanırsa azalan ve bire bir olur. Kotanjantı tanjanttan türetmek de mümkündür: Tümler açılarda cot x = tan(π2 − x) olduğundan kotanjant grafiği, tanjant grafiğinin y eksenine göre yansıtılıp π2 birim kaydırılmış hâli gibi düşünülebilir. Tanjant dalları yukarı tırmanırken kotanjant dallarının aşağı inmesi bu yansımanın sonucudur.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarını yan yana koyduğumuzda iki aile görürüz. Sinüs ve kosinüs birim çemberdeki noktanın koordinatlarından doğrudan geldiği için her reel sayıda tanımlıdır, sınırlıdır ([−1, 1] aralığında kalır), maksimum değeri 1, minimum değeri −1'dir ve periyodu 2π'dir. Tanjant ve kotanjant ise bu koordinatların oranından geldiği için paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır, sınırsızdır (görüntü kümesi ℝ), maksimum-minimum değeri yoktur ve periyodu π'dir. Bu fark rastgele değildir: Oran, karşıt noktalarda (x ile x + π) değişmediği için periyot yarıya iner.

Teklik-çiftlik açısından dört fonksiyonun üçü tektir: sin, tan ve cot fonksiyonlarının grafikleri orijine göre simetriktir. Yalnız kosinüs çifttir, çünkü apsis x eksenine göre yansımada değişmez. Bunun pratik sonucu şudur: Negatif açılı ifadelerde sin, tan ve cot için eksi işareti dışarı çıkar, cos için eksi işareti yok olur. Sıfırlar ve asimptotlar arasında da bir örüntü vardır: sin x'in sıfırları (x = kπ) kotanjantın asimptotlarıdır; cos x'in sıfırları (x = π2 + kπ) tanjantın asimptotlarıdır. Yani bir oranın paydasını sıfır yapan yer asimptot, payını sıfır yapan yer sıfırdır.

Grafikten fonksiyonu tanımak için bu örüntüler birer kontrol listesi gibi kullanılır: Grafik sınırlı ve dalgalıysa sinüs ya da kosinüs ailesindendir; orijinden geçiyorsa sinüs, (0, 1)'den geçiyorsa kosinüs olabilir. Grafik dallardan oluşuyor ve asimptotları varsa tanjant ya da kotanjant ailesindendir; dallar yükseliyorsa tanjant, alçalıyorsa kotanjanttır. Bir varsayım kurduktan sonra birkaç noktada değer hesaplayarak varsayımın grafikle uyumunu kontrol etmek gerekir; örneğin grafiğin (π4, 1) noktasından geçmesi tanjant varsayımını destekler, ama aynı noktadan kotanjant da geçtiği için monotonluk mutlaka incelenmelidir.

Referans fonksiyonun çıktısını bir k sayısıyla çarpmak grafiği dikey doğrultuda uzatır ya da kısaltır. g(x) = 2 sin x fonksiyonunda her noktanın ordinatı iki katına çıkar; x eksenini kestiği noktalar yerinde kalır ama tepe 1'den 2'ye, çukur −1'den −2'ye taşınır. Sinüs ve kosinüs için |k| sayısına genlik denir; genlik, en büyük ve en küçük değer farkının yarısıdır. k negatifse grafik ayrıca x eksenine göre yansır: g(x) = −3 cos x fonksiyonunda kosinüsün tepe noktaları çukura, çukurları tepeye dönüşür; bu yüzden maksimum değer 3, x = π + 2kπ noktalarında alınır.

Çıktıya bir s sayısı eklemek grafiği y ekseni boyunca s birim öteler: s > 0 ise yukarı, s < 0 ise aşağı. g(x) = sin x + 1 fonksiyonunda dalga y = 1 doğrusu etrafında salınır; bu doğruya denge doğrusu diyebiliriz. İki dönüşüm birlikte uygulandığında, −1 ≤ sin x ≤ 1 eşitsizliğinin taraflarını |k| ile çarpıp s eklersek g(x) = k · sin x + s ve g(x) = k · cos x + s fonksiyonlarının görüntü kümesinin [s − |k|, s + |k|] olduğunu cebirsel olarak ispatlamış oluruz. Örneğin g(x) = 2 cos x − 1 için görüntü kümesi [−3, 1]'dir. Bu dönüşümler x değerlerine dokunmadığı için periyodu değiştirmez; maksimum ve minimum noktalarının apsisleri de (k > 0 iken) aynı kalır.

Dikey dönüşümler diğer nitel özellikleri de etkiler. k · sin x tek, k · cos x çift kalır; ama s ≠ 0 eklenince g(x) = sin x + s artık tek değildir, çünkü g(0) = s ≠ 0 olur ve tek fonksiyonun grafiği orijinden geçmelidir. Buna karşılık cos x + s çift kalır, çünkü cos(−x) + s = cos x + s'dir. Sıfırlar da değişebilir: k · sin x + s = 0 denkleminin çözümü olması için −sk sayısının [−1, 1] aralığında bulunması gerekir; örneğin sin x + 2 fonksiyonunun hiç sıfırı yoktur. Tanjant ve kotanjantta ise görüntü kümesi zaten ℝ olduğundan k · tan x + s fonksiyonunun görüntü kümesi yine ℝ, asimptotları ve periyodu aynıdır; k yalnız dalların dikliğini, negatifse yönünü değiştirir.

Bu kez değişkeni m ile çarpalım. g(x) = sin 2x fonksiyonunda x, 0'dan π'ye giderken 2x, 0'dan 2π'ye gider; yani sinüs, normalde 2π'de tamamladığı bir tam dalgayı yalnız π uzunluğunda tamamlar. Grafik yatay doğrultuda sıkışır ve periyot yarıya iner. Benzer şekilde g(x) = cos(x2) fonksiyonunda bir tam dalga için x2 sayısının 2π artması, yani x'in 4π artması gerekir; grafik yatayda genişler. Bu dönüşüm y değerlerine dokunmadığı için görüntü kümesi, maksimum ve minimum değerler değişmez; değişen periyot, sıfırların ve tepe noktalarının yeridir.

Örüntüyü listeleyelim: sin x için periyot 2π, sin 2x için π, sin 3x için 2π3, sin(x2) için 4π. Bu listeden varsayım kurarız: sin(mx) ve cos(mx) fonksiyonlarının periyodu 2π|m|'dir. Cebirsel ispat: m > 0 için sin(m · (x + 2πm)) = sin(mx + 2π) = sin(mx) olur; daha küçük pozitif bir sayı bu eşitliği sağlamaz, çünkü sinüsün esas periyodu 2π'dir. m < 0 ise sin(mx) = −sin(|m|x) olduğundan periyot yine 2π|m| çıkar; genellemenin m'nin her işaretinde çalıştığını böylece kontrol etmiş oluruz. Aynı akıl yürütme tanjant ve kotanjant için π|m| sonucunu verir. k ve s periyodu değiştirmediğinden k · sin(mx) + s fonksiyonunun periyodu da 2π|m|'dir.

m, sıfırları ve tanım kümesini de dönüştürür. sin(mx) = 0 ⇔ mx = kπ ⇔ x = kπm; örneğin sin 2x'in sıfırları x = kπ2 noktalarıdır. tan(mx) fonksiyonunda mx ≠ π2 + kπ olmalıdır; tan 2x için asimptotlar x = π4 + kπ2 doğruları olur. Gerçek yaşamda bu genelleme çok kullanışlıdır: Bir modelde değişkenin katsayısı tekrar süresini belirler. Örneğin şebeke gerilimini V(t) = 311 · sin(100πt) biçiminde modellersek periyot 2π100π = 150 saniye olur; yani gerilim saniyede 50 tam salınım yapar. Teklik-çiftlik ise m'den etkilenmez: sin(mx) tek, cos(mx) çift kalır.