Dönüşümler: Öteleme, Simetri ve Dönme Altında Noktanın ve Doğrunun Görüntüsü

Düzlemdeki her noktayı yine düzlemdeki bir noktaya eşleyen kurala dönüşüm denir. Bir A noktasının dönüşüm sonucunda eşlendiği nokta A′ ile gösterilir ve A′ noktasına A'nın görüntüsü denir. Bu ünite kapsamında üç temel dönüşümü inceliyoruz: öteleme (kaydırma), simetri (yansıma) ve dönme. Bu üç dönüşümün ortak özelliği iki nokta arasındaki uzaklığı ve açıları korumasıdır; bu yüzden bunlara izometri (eş ölçülü dönüşüm) denir. Bir üçgen ötelendiğinde, yansıtıldığında ya da döndürüldüğünde kenar uzunlukları, açıları ve alanı değişmez; yalnızca konumu (ve yansımada yönelişi) değişir.

Öteleme, düzlemdeki bütün noktaları aynı yönde ve aynı miktarda kaydırır. Bu kaydırma bir öteleme vektörü (a, b) ile verilir: a yatay, b düşey kaymadır. Kural çok sadedir: A(x, y) → A′(x + a, y + b). Örneğin A(2, −3) noktası (4, 1) vektörüyle ötelenirse A′(2 + 4, −3 + 1) = A′(6, −2) bulunur. a > 0 sağa, a < 0 sola; b > 0 yukarı, b < 0 aşağı kayma demektir. Bir nokta ile görüntüsü biliniyorsa vektör A′ − A farkıyla bulunur. Art arda yapılan iki öteleme tek bir ötelemeye eşittir: önce (a, b), sonra (c, d) ötelemesi, (a + c, b + d) ötelemesiyle aynı sonucu verir. (a, b) ötelemesini geri alan öteleme ise (−a, −b) ötelemesidir.

Bir doğrunun ötelenmesi de aynı fikre dayanır. Görüntü doğru üzerindeki her (x, y) noktası, ilk doğrudaki (x − a, y − b) noktasından gelmiştir; bu yüzden denklemde x yerine x − a, y yerine y − b yazılır. Örneğin y = 2x + 1 doğrusu (3, −2) vektörüyle ötelenirse y − (−2) = 2(x − 3) + 1, yani y + 2 = 2x − 5 ve y = 2x − 7 elde edilir. Kontrol: (0, 1) noktası ilk doğrudadır; görüntüsü (3, −1) olup 2·3 − 7 = −1 sağlanır. Öteleme doğrunun eğimini değiştirmez; görüntü doğru ilk doğruya paraleldir ya da öteleme vektörü doğrultusundaysa doğru kendisine eşlenir.

Bir A noktasının M noktasına göre simetriği, M'den geçen doğru üzerinde, M'nin öbür tarafında ve M'ye A ile aynı uzaklıkta bulunan A′ noktasıdır. Başka bir deyişle M noktası [AA′] doğru parçasının orta noktasıdır; bu yüzden M'ye simetri merkezi denir. Orta nokta formülünden yola çıkalım: A(x, y), A′(x′, y′) ve M(a, b) için a = x + x′2 ve b = y + y′2 olmalıdır. Buradan x′ = 2a − x ve y′ = 2b − y elde edilir. Kural: A(x, y) noktasının M(a, b) noktasına göre simetriği A′(2a − x, 2b − y) noktasıdır. Örneğin A(3, 5) noktasının M(1, −2) noktasına göre simetriği A′(2·1 − 3, 2·(−2) − 5) = A′(−1, −9) olur.

Simetri merkezi orijin olduğunda a = b = 0 olur ve kural A(x, y) → A′(−x, −y) biçimine iner: iki koordinatın da işareti değişir. Örneğin B(−3, 2) noktasının orijine göre simetriği B′(3, −2), C(0, 4) noktasınınki C′(0, −4) olur. Orijine göre simetri, birinci bölgedeki bir noktayı üçüncü bölgeye, ikinci bölgedeki bir noktayı dördüncü bölgeye taşır. Altıncı bölümde göreceğimiz gibi bu dönüşüm, orijin etrafında 180° dönme ile aynı sonucu verir. Soru tersten de sorulabilir: A ve A′ verilip M istenirse M, AA′ doğru parçasının orta noktası olarak bulunur; A′ ve M verilip A istenirse yine aynı kural kullanılır, çünkü A da A′'nün M'ye göre simetriğidir.

Noktaya göre simetrinin birkaç önemli özelliği vardır. Birincisi, |MA| = |MA′| olup merkezden uzaklık korunur. İkincisi, dönüşüm iki kez art arda uygulanırsa nokta kendisine geri döner: A → A′ → A. Üçüncüsü, simetri merkezi olan M kendisinin görüntüsüdür; düzlemde yerinde kalan tek nokta M'dir. Dördüncüsü ve en ilginci, önce M'ye sonra N'ye göre simetri almak, 2·(N − M) vektörüyle bir öteleme yapmaya eşittir. Örneğin A(1, 1) noktasının O(0, 0) noktasına göre simetriği (−1, −1), bunun N(2, 0) noktasına göre simetriği (5, 1) olur; gerçekten de 2·(N − O) = (4, 0) ve (1, 1) + (4, 0) = (5, 1) bulunur.

Bir noktanın bir doğruya göre simetriği bulunurken doğru bir ayna gibi düşünülür: Nokta ile görüntüsünü birleştiren doğru parçası aynaya diktir ve orta noktası ayna doğrusunun üzerindedir. En sade aynalar koordinat eksenleridir. x-eksenine göre simetride nokta dikey olarak yansır; apsis aynı kalır, ordinatın işareti değişir: (x, y) → (x, −y). y-eksenine göre simetride ise nokta yatay olarak yansır: (x, y) → (−x, y). Örneğin P(4, 2) noktasının x-eksenine göre simetriği (4, −2), y-eksenine göre simetriği (−4, 2) olur. Kontrol: P ile (4, −2) arasındaki doğru parçası x = 4 dik doğrusu üzerindedir ve orta noktası (4, 0) x-ekseninin üzerindedir.

Birinci ve üçüncü bölgenin açıortayı olan y = x doğrusuna göre simetride koordinatlar yer değiştirir: (x, y) → (y, x). Bunun nedeni açıktır: (x, y) ile (y, x) noktalarının orta noktası (x + y2, x + y2) olup y = x doğrusu üzerindedir; iki noktayı birleştiren doğrunun eğimi x − yy − x = −1'dir, yani eğimi 1 olan y = x doğrusuna diktir. İkinci ve dördüncü bölgenin açıortayı olan y = −x doğrusuna göre simetride koordinatlar hem yer değiştirir hem de işaret değiştirir: (x, y) → (−y, −x). P(4, 2) için y = x simetriği (2, 4), y = −x simetriği (−2, −4) olur. Orijine göre simetriyi de eklersek P noktasının beş farklı görüntüsünü tek şekilde görebiliriz.

Simetri doğrusunun üzerindeki noktalar yerinden oynamaz; bunlara sabit (değişmeyen) noktalar denir. Örneğin (3, 3) noktası y = x doğrusuna göre simetride kendisine eşlenir; (5, 0) noktası x-eksenine göre simetride yerinde kalır. Dönüşümleri art arda uygulamak da kolaydır: önce x-eksenine sonra y-eksenine göre simetri (x, y) → (x, −y) → (−x, −y) verdiğinden orijine göre simetriye eşittir. Aynı şekilde önce y = x sonra y = −x doğrusuna göre simetri (x, y) → (y, x) → (−x, −y) yine orijine göre simetriyi verir. Simetri bir şeklin yönelişini tersine çevirir: Saat yönünde isimlendirilmiş bir ABC üçgeninin aynadaki görüntüsü A′B′C′ saat yönünün tersine sıralanır; bu durum simetriyi öteleme ve dönmeden ayırır.

Eksenlere paralel doğrular, eksenlere göre simetrinin kaydırılmış hâlidir. x = a dikey doğrusuna göre simetride ordinat değişmez; apsis için a, x ile x′ değerlerinin ortalaması olmalıdır: a = x + x′2, yani x′ = 2a − x. Kural: (x, y) → (2a − x, y). Benzer biçimde y = b yatay doğrusuna göre simetride (x, y) → (x, 2b − y) olur. Örneğin A(1, 3) noktasının x = 4 doğrusuna göre simetriği (7, 3); y = −1 doğrusuna göre simetriği (1, −5) noktasıdır. Bu kuralların noktaya göre simetri kuralıyla benzerliği dikkat çekicidir: Noktaya göre simetride iki koordinat da 2a − x ve 2b − y kalıbına girer, bir eksene paralel doğruya göre simetride yalnız birisi.

Eğimi 1 veya −1 olan doğrular için de pratik kurallar vardır. y = x + k doğrusuna göre simetride (x, y) → (y − k, x + k), y = −x + k doğrusuna göre simetride (x, y) → (k − y, k − x) olur. Bu kuralları ezberlemek yerine ötelemeyle türetmek daha güvenlidir: y = x + k doğrusunu ve noktayı (0, −k) vektörüyle aşağı kaydırırsak doğru y = x olur; nokta yansıtılır ve sonra (0, k) ile geri kaydırılır. A(4, 1) ve y = x + 3 için: (4, 1) → (4, −2) → (−2, 4) → (−2, 7). Kontrol: Orta nokta (1, 4) olup 4 = 1 + 3 sağlanır; AA′ doğrusunun eğimi 7 − 1−2 − 4 = −1 olup eğimi 1 olan doğruya diktir.

Herhangi bir d: ax + by + c = 0 doğrusu için iki koşulu sistematik olarak kullanırız. 1. yol (dikme ayağı): A noktasından d'ye dik doğru yazılır, d ile kesişim noktası H bulunur; H, [AA′] doğru parçasının orta noktası olduğundan A′ = 2H − A olur. Örneğin A(5, 0) ve d: y = 2x için A'dan geçen dik doğrunun eğimi −12 olup y = −12(x − 5) olur; 2x = −12(x − 5) denkleminden x = 1, y = 2 yani H(1, 2) ve A′(2 − 5, 4 − 0) = A′(−3, 4) bulunur. 2. yol (formül): D = a·x₀ + b·y₀ + c ve N = a² + b² olmak üzere x′ = x₀ − 2a·DN, y′ = y₀ − 2b·DN yazılır. A(4, 1) ve 2x + y − 4 = 0 için D = 8 + 1 − 4 = 5, N = 5 olduğundan x′ = 4 − 4 = 0, y′ = 1 − 2 = −1; görüntü A′(0, −1) olur.

Şimdi tek bir noktayı değil, bir doğrunun bütün noktalarını aynı anda yansıtıyoruz. d: ax + by + c = 0 doğrusunun M(p, q) noktasına göre simetriği d′ olsun. d′ üzerindeki her (x, y) noktası, d üzerindeki (2p − x, 2q − y) noktasının görüntüsüdür; çünkü noktaya göre simetri iki kez uygulanınca nokta yerine döner. O hâlde (2p − x, 2q − y) noktası d denklemini sağlamalıdır. Kural: d denkleminde x yerine 2p − x, y yerine 2q − y yazılırsa d′ denklemi elde edilir. Örneğin d: 2x − y + 3 = 0 ve M(1, 2) için 2(2 − x) − (4 − y) + 3 = 0, yani 4 − 2x − 4 + y + 3 = 0 ve −2x + y + 3 = 0 bulunur; düzenlenirse d′: 2x − y − 3 = 0 olur. Planımıza uygun olarak doğrunun bir doğruya göre simetrisi bu kapsamın dışındadır; yalnızca noktaya göre simetriyle çalışıyoruz.

Sonucu iki noktayla doğrulayalım. P(0, 3) noktası d üzerindedir (0 − 3 + 3 = 0); M(1, 2) noktasına göre simetriği P′(2, 1) olup 2·2 − 1 − 3 = 0 sağlanır. Q(−2, −1) noktası da d üzerindedir; görüntüsü Q′(4, 5) için 8 − 5 − 3 = 0 sağlanır. Bu da ikinci bir yöntem verir: Doğru üzerinden iki nokta seçilir, bunların M'ye göre simetrikleri bulunur ve bu iki görüntüden geçen doğru yazılır. Dikkat edilirse d ve d′ denklemlerinde x ve y'nin katsayıları aynıdır; yalnız sabit terim değişmiştir. Bu, noktaya göre simetrinin bir doğruyu kendisine paralel bir doğruya dönüştürdüğünü gösterir: eğim (burada 2) korunur.

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık da anlamlı bir kontrol sağlar. M(1, 2) noktasının d'ye uzaklığı |2 − 2 + 3|5 = 35 birimdir; d ile d′ arasındaki uzaklık |3 − (−3)|5 = 65 birimdir, yani tam iki katı. Çünkü M iki doğrunun tam ortasındadır. Simetri merkezi orijin ise kural en sade hâlini alır: a(−x) + b(−y) + c = 0, yani ax + by − c = 0; yalnız sabit terimin işareti değişir. Örneğin y = 3x − 1 doğrusunun orijine göre simetriği −y = −3x − 1, yani y = 3x + 1 olur. Son olarak, M noktası d üzerindeyse d doğrusu kendisine eşlenir: x + y − 4 = 0 doğrusu M(2, 2) noktasına göre yansıtılınca (4 − x) + (4 − y) − 4 = 0, yani yine x + y − 4 = 0 bulunur.

Dönme dönüşümü üç bilgiyle tanımlanır: dönme merkezi, dönme açısı ve yön. Matematikte saat yönünün tersi pozitif yön kabul edilir. Bir A noktası O merkezi etrafında θ açısıyla döndürüldüğünde A′ noktası, O'ya A ile aynı uzaklıktadır ve AOA′ açısının ölçüsü θ'dır. Orijin etrafındaki özel açılar için kurallar şunlardır: 90°: (x, y) → (−y, x), 180°: (x, y) → (−x, −y), 270° (yani −90°): (x, y) → (y, −x). A(4, 2) noktası için sırasıyla (−2, 4), (−4, −2) ve (2, −4) bulunur. 90° kuralını ezberlemenin kolay yolu: koordinatlar yer değiştirir ve yeni apsisin işareti değişir. Kontrol: OA vektörü (4, 2) ile OA′ vektörü (−2, 4) için 4·(−2) + 2·4 = 0 olduğundan iki vektör diktir ve uzunlukları da 20 ile eşittir.

Herhangi bir θ açısı için orijin etrafında dönme kuralı, trigonometrinin toplam formüllerinden gelir: x′ = x·cos θ − y·sin θ ve y′ = x·sin θ + y·cos θ. θ = 90° yazılırsa cos 90° = 0 ve sin 90° = 1 olduğundan (−y, x) kuralına; θ = 180° yazılırsa (−x, −y) kuralına ulaşılır. Örneğin A(2, 0) noktası 60° döndürülürse x′ = 2·12 − 0 = 1, y′ = 2·32 + 0 = 3 olup A′(1, 3) bulunur. A(2, 2) noktası 45° döndürülürse x′ = 2·22 − 2·22 = 0 ve y′ = 2 + 2 = 22 olur; A′(0, 22) noktası y-ekseni üzerindedir ve orijine uzaklığı 8 olarak korunmuştur. Orijin etrafında 180° dönmenin orijine göre simetriyle aynı olduğuna, 360° dönmenin ise her noktayı kendisine eşlediğine dikkat edin.

Dönme merkezi orijin değilse, örneğin M(a, b) ise, işlemi üç adıma ayırırız: (1) Her şeyi (−a, −b) ile öteleyip merkezi orijine taşırız, (2) orijin etrafında döndürürüz, (3) (a, b) ile geri öteleriz. A(5, 3) noktasını M(2, 1) etrafında 90° döndürelim: A − M = (3, 2); 90° dönme ile (−2, 3); geri öteleme ile A′(0, 4). Kontrol: |MA| = 9 + 4 = 13 ve |MA′| = 4 + 9 = 13. Planın önerdiği gibi bilgi ve iletişim teknolojileri bu adımları görmeyi kolaylaştırır: Dinamik geometri yazılımında noktayı, merkezi ve bir açı kaydırıcısı oluşturup 'nokta etrafında döndür' aracını uygulayın; kaydırıcıyı değiştirdikçe görüntünün merkez çevresinde bir çember çizdiğini, öteleme ve simetri araçlarıyla bulduğunuz koordinatların da elle hesapladıklarınızla aynı olduğunu göreceksiniz.