Geometrik Dönüşümlerden Eşlik ve Benzerliğe: Eş Üçgenler, Eşlik Koşulları (KKK, KAK, AKA), Ölçekleme ve Benzerlik Koşulları (AA, KKK, KAK)

Geçen haftalarda ulaştığımız en önemli önerme şuydu: yansıma, öteleme ve dönme uzunlukları, açıları ve doğrusallığı korur; bu dönüşümlere izometri denir. Bu önermeyi yeni bir çıkarım için kullanalım. Bir şekil ile görüntüsü arasında hiçbir ölçü farkı yoksa bu iki şekli 'aynı şeklin farklı yerlerdeki kopyaları' olarak düşünebiliriz. Buradan tanıma ulaşırız: bir şekil bir izometriyle ya da izometrilerin art arda uygulanmasıyla diğer şeklin üzerine tam olarak getirilebiliyorsa bu iki şekil eştir ve ABC ≅ DEF biçiminde gösterilir. Örneğin köşeleri A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3) olan üçgeni orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürelim. (x, y) → (−y, x) kuralıyla D(−1, 1), E(−1, 4), F(−3, 1) noktaları bulunur. Kenarları kontrol edersek |AB| = |DE| = 3, |AC| = |DF| = 2 ve |BC| = |EF| = 13 olur; dolayısıyla ABC ≅ DEF yazılır.

Eşlik yazılırken harflerin sırası rastgele değildir. ABC ≅ DEF ifadesi A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F eşlemesini anlatır; yani dönüşüm A'yı D'ye, B'yi E'ye, C'yi F'ye götürür. Bu eşlemeden altı eşitlik okunur: |AB| = |DE|, |BC| = |EF|, |AC| = |DF| ve m(BAC) = m(EDF), m(ABC) = m(DEF), m(ACB) = m(DFE). Bunlara karşılık gelen elemanlar denir. Eş üçgenlerin çevreleri ve alanları da eşittir. Eşlik yönelimle ilgilenmez: bir üçgenin y eksenine göre yansıması yönelimi ters çevrilmiş olsa da ilk üçgene eştir, çünkü aydınger kâğıdını ters çevirerek üst üste getirebiliriz. Eş üçgenlerde karşılık gelen köşeleri bulmanın pratik yolu şudur: eşit açıların karşısında eşit kenarlar bulunur; en uzun kenar en uzun kenarla, en büyük açı en büyük açıyla eşleşir.

Şimdi bir varsayım kuralım: iki üçgenin eş olduğunu göstermek için altı eşitliğin hepsini kontrol etmek zorunda mıyız? Önce dörtgenlere bakalım. Kenar uzunlukları 4 birim olan bir kare ile açıları 60° ve 120° olan bir eşkenar dörtgenin dört kenarı da karşılıklı eşittir, ama bu şekiller eş değildir; dörtgen, kenarları sabit kalırken 'yamulabilir'. Üçgende ise durum farklıdır: çubuklardan yapılmış bir üçgeni bastırdığımızda şekli değişmez. Üçgenin bu rijitliği, kenar uzunluklarının üçgeni tek türlü belirlediği varsayımını destekler. Köprü kafeslerinde, çatı makaslarında ve vinçlerde üçgen bölmelerin kullanılmasının nedeni budur. Bu gözlem bizi bir sonraki soruya taşıyor: hangi üç eleman bir üçgeni tek türlü belirler?

Bir üçgenin altı elemanı vardır: üç kenar ve üç açı. Varsayımımızı sınayalım: kaç eleman bir üçgeni tek türlü belirler? Yalnızca bir kenar ya da iki eleman yetmez. Örneğin iki kenarı 5 ve 7 birim olan üçgenleri düşünelim: bu iki kenar arasındaki açı 30°, 60° ya da 120° olabilir ve her seferinde üçüncü kenar değişir. Demek ki en az üç eleman gerekir. Ancak her üçlü de işe yaramaz; hangi üçlülerin yeterli olduğunu, geçen haftalardaki dönüşüm önermelerini kullanarak gerekçelendireceğiz. Strateji hep aynıdır: bir üçgeni izometrilerle taşıyıp diğerinin üzerine oturtmak.

KAK (Kenar-Açı-Kenar): ABC ve DEF üçgenlerinde |AB| = |DE|, m(BAC) = m(EDF) ve |AC| = |DF| olsun. Önce bir ötelemeyle D'yi A'ya taşıyalım; sonra A etrafında bir dönmeyle [DE ışınını [AB ışınının üzerine getirelim. Uzunluklar eşit olduğu için E tam olarak B'ye düşer. Açılar eşit olduğundan [DF ışını ya [AC ışınının üzerine gelir ya da AB doğrusuna göre onun yansıması olur; ikinci durumda AB doğrusuna göre bir yansıma uygularız. Son olarak |AC| = |DF| olduğundan F de C'ye düşer. Böylece DEF üçgenini ABC'ye götüren bir izometri bulduk: üçgenler eştir. KKK (Kenar-Kenar-Kenar): Üç kenar karşılıklı eşitse yine D'yi A'ya, E'yi B'ye getirebiliriz. F noktası A'dan |AC|, B'den |BC| uzaklıktadır; yani A merkezli ve B merkezli iki çemberin kesişimindedir. İki çember en fazla iki noktada kesişir ve bu noktalar AB doğrusuna göre birbirinin yansımasıdır. F, C'nin üzerine ya doğrudan ya da bir yansımayla gelir; üçgenler eştir.

AKA (Açı-Kenar-Açı): Bir kenar ve bu kenarın iki ucundaki açılar eşitse kenarı kenarın üzerine oturttuktan sonra, iki uçtan verilen açılarla çizilen ışınlar tek bir noktada kesişir; bu nokta (gerekirse bir yansımayla) üçüncü köşeyi verir. İç açılar toplamı 180° olduğundan iki açı ve herhangi bir kenarın eşitliği (AAK) de yeterlidir: iki açı biliniyorsa üçüncü açı da bellidir ve verilen kenarın iki ucundaki açılar bulunarak AKA'ya geçilir. Örneğin m(ABC) = m(DEF) = 50°, m(BAC) = m(EDF) = 70° ve |BC| = |EF| = 8 ise kenar açıların arasında değildir; ama m(ACB) = m(DFE) = 180° − 50° − 70° = 60° bulunur ve [BC] kenarının iki ucundaki 50° ve 60° açılar eşit olduğundan AKA ile ABC ≅ DEF olur. Bu dört durumdan şu önermeyi sunabiliriz: bir üçgen, kendisini tek türlü belirleyen uygun seçilmiş üç elemanla tamamen bellidir; bu elemanları eşit olan iki üçgen eştir.

Üç elemanın her seçimi eşlik vermez; bir önermeyi çürütmek için tek bir karşı örnek yeterlidir. İlk aday AAA, yani üç açının karşılıklı eşitliğidir. Kenar uzunluğu 2 birim olan eşkenar üçgen ile kenar uzunluğu 5 birim olan eşkenar üçgenin bütün açıları 60°'dir, ama bu üçgenler eş değildir. Açılar üçgenin biçimini belirler, büyüklüğünü belirlemez. Üstelik üç açının eşitliği aslında iki bilgi taşır; çünkü iki açı bilindiğinde üçüncüsü 180°'den hesaplanır. Bu yüzden AAA eşlik için yetmez, ama ileride göreceğimiz gibi benzerlik için tam olarak yeterlidir.

İkinci aday KKA: iki kenar ve bu kenarların arasında olmayan bir açı. Bir üçgende |AB| = 10, |AC| = 7 ve m(ABC) = 30° verilsin. B köşesinden yatay bir ışın çizip A'yı yerleştirelim ve A'dan bu ışına AH dikmesini indirelim. ABH dik üçgeninde 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı olduğundan |AH| = 5 ve Pisagor bağıntısıyla |BH| = 10² − 5² = 75 = 53 ≈ 8,66 olur. C noktası ışın üzerinde ve A'ya 7 birim uzaklıkta olmalıdır; AHC dik üçgeninde |HC| = 7² − 5² = 24 = 26 ≈ 4,90 bulunur. C noktası H'nin iki yanında da olabilir: |BC| ≈ 8,66 − 4,90 = 3,76 ya da |BC| ≈ 8,66 + 4,90 = 13,56. Aynı üç bilgiyle eş olmayan iki üçgen elde ettik; demek ki KKA genel bir eşlik koşulu değildir. Pergelle düşünürsek A merkezli, 7 birim yarıçaplı çember ışını iki noktada keser.

KKA'nın ne zaman işe yaradığını da genelleyebiliriz. Açının karşısındaki kenar (burada |AC|) dikme uzunluğu |AH|'den kısaysa çember ışına ulaşamaz ve hiç üçgen oluşmaz; dikmeye eşitse tek bir dik üçgen oluşur; dikmeden uzun ama komşu kenar |AB|'den kısaysa iki üçgen oluşur; komşu kenara eşit ya da ondan uzunsa yalnız bir üçgen oluşur, çünkü ikinci kesişim noktası ışının B'den geriye doğru uzantısına düşer. Örneğin |AC| = 12 alınırsa |HC| = 119 ≈ 10,91 > 8,66 olduğundan yalnız |BC| ≈ 19,57 geçerlidir. Bu genellemenin önemli bir sonucu vardır: verilen açı 90° ise karşısındaki kenar hipotenüstür ve her zaman en uzun kenardır. Bu yüzden hipotenüsü ve bir dik kenarı eşit olan iki dik üçgen eştir; Pisagor bağıntısı diğer dik kenarı da eşit kıldığı için bu durum KKK'ya dönüşür.

Şimdiye kadar incelediğimiz dönüşümlerin hepsi uzunlukları korudu. Bir fotoğrafı büyüttüğümüzde ya da bir binanın maketini yaptığımızda ise şekil aynı kalır ama boyutlar değişir. Bu durumu modelleyen dönüşüme ölçekleme (merkezil büyütme-küçültme) diyeceğiz. Merkezi O, oranı k (k > 0) olan ölçeklemede her P noktasının görüntüsü P′, [OP ışını üzerinde ve |OP′| = k · |OP| olacak biçimde alınır. Merkez orijin ise kural çok sadedir: (x, y) → (kx, ky). Köşeleri A(1, 1), B(3, 1), C(1, 2) olan üçgene k = 2 oranıyla ölçekleme uygulayalım: A′(2, 2), B′(6, 2), C′(2, 4) bulunur. İlk üçgenin dik kenarları |AB| = 2 ve |AC| = 1 iken görüntüde |A′B′| = 4 ve |A′C′| = 2 olur; her uzunluk iki katına çıkmıştır.

Örnekleri genelleyelim. Ölçeklemede her uzunluk k katına çıkar, ama açılar korunur: ABC üçgeninde A köşesindeki dik açı görüntüde de diktir. Bir doğru parçasının görüntüsü kendisine paraleldir; yukarıdaki örnekte [AB] ve [A′B′] ikisi de yataydır, [BC] ile [B′C′] doğru parçalarının eğimleri de −12 olarak aynıdır. Merkezden geçen doğrular kendisine eşlenir ve merkez tek sabit noktadır. k > 1 ise şekil büyür, 0 < k < 1 ise küçülür, k = 1 ise hiçbir şey değişmez. Merkez M(a, b) ise önce M'yi orijine taşıma fikrini yine kullanırız: (x, y) → (a + k(x − a), b + k(y − b)). Örneğin M(1, 1) merkezli, k = 3 oranlı ölçeklemede P(2, 3) noktasının görüntüsü (1 + 3 · 1, 1 + 3 · 2) = (4, 7) olur. Alan için şunu gözleyelim: kenarları 3 ve 2 birim olan bir dikdörtgen k = 2 ile ölçeklenirse kenarları 6 ve 4 olur; alan 6'dan 24'e, yani 4 katına çıkar. Genel önerme: çevre k katına, alan k² katına çıkar, çünkü alan iki uzunluğun çarpımıyla hesaplanır.

Ölçekleme sayesinde benzerliği dönüşümlerle tanımlayabiliriz: bir şekil, bir ölçekleme ile bir ya da daha fazla izometrinin bileşkesiyle diğer şeklin üzerine getirilebiliyorsa bu iki şekil benzerdir ve ABC ∼ DEF biçiminde gösterilir. Kullanılan ölçekleme oranına benzerlik oranı denir. Benzer şekillerin karşılık gelen açıları eşit, karşılık gelen kenarları orantılıdır: ABC ∼ DEF ve oran k ise |DE||AB| = |EF||BC| = |DF||AC| = k olur. Eşlik, benzerliğin k = 1 olan özel hâlidir; her eş şekil çifti benzerdir ama tersi doğru değildir. Haritalar, mimari çizimler, model uçaklar ve bir telefon ekranında yakınlaştırılan fotoğraflar günlük hayattaki benzerlik örnekleridir: 1 : 50 000 ölçekli bir haritada her uzunluk gerçeğinin 150000'i kadardır.

Eşlik koşullarını bulduk; benzerlik için de altı elemanın hepsine bakmak gerekmez. Varsayım: eşlik koşullarındaki 'eşit kenar' ifadesini 'orantılı kenar' ile değiştirirsek benzerlik koşullarını elde ederiz. Bunu ölçeklemeyle gerekçelendirelim. ABC ve DEF üçgenlerinde |DE||AB| = k olsun ve ABC üçgenine k oranlı bir ölçekleme uygulayalım. Elde edilen A′B′C′ üçgeninin kenarları ABC'nin kenarlarının k katı, açıları ise ABC'nin açılarıyla aynıdır. Eğer A′B′C′ ile DEF eş çıkarsa DEF, ABC'nin bir ölçekleme ve izometriyle elde edilmiş görüntüsü olur; yani ABC ∼ DEF. Böylece her benzerlik koşulu, ölçeklemeden sonra bir eşlik koşuluna dönüşür.

AA (Açı-Açı): İki üçgenin iki açısı karşılıklı eşitse üçüncü açılar da eşittir. Ölçeklenmiş A′B′C′ üçgeninde |A′B′| = |DE| olur ve bu kenarın iki ucundaki açılar DEF'tekilerle aynıdır; AKA ile A′B′C′ ≅ DEF, dolayısıyla ABC ∼ DEF. KKK benzerliği: Kenarlar 4, 6, 8 ve 6, 9, 12 ise 64 = 96 = 128 = 32 olduğundan üç kenar aynı oranda büyümüştür; 4, 6, 8 kenarlı üçgen 32 oranıyla ölçeklenince 6, 9, 12 kenarlı üçgene KKK ile eş olur. Orantıyı kurarken kenarları küçükten büyüğe sıralayıp eşleştirmek gerekir; en kısa kenar en kısa kenarla, en uzun kenar en uzun kenarla oranlanır. KAK benzerliği: |AB| = 6, |AC| = 9, m(BAC) = 50° ve |DE| = 4, |DF| = 6, m(EDF) = 50° ise 64 = 96 = 32 ve aradaki açılar eşittir; DEF ∼ ABC ve benzerlik oranı 32'dir.

Bu koşullardan yeni durumları anlamlandıran önermeler çıkar. Bütün eşkenar üçgenler birbirine benzerdir, çünkü hepsinin açıları 60°'dir. Tepe açısı eşit olan iki ikizkenar üçgen benzerdir: tepe açısı 40° ise taban açılarının ikisi de (180° − 40°) ÷ 2 = 70° olur ve AA sağlanır. Bir dar açısı eşit olan iki dik üçgen de AA ile benzerdir. Ancak dikkat: bu koşullar üçgenlere özgüdür. Bütün dikdörtgenlerin açıları 90° olduğu hâlde 2 × 3 ve 2 × 4 boyutlu dikdörtgenler benzer değildir, çünkü 22 ≠ 43. Aynı şekilde kenarları 4 birim olan kare ile eşkenar dörtgenin kenarları orantılıdır ama açıları farklıdır. Yani dörtgenlerde benzerlik için hem açıların eşitliği hem kenarların orantılılığı gerekir; üçgenlerde ise bunlardan biri diğerini kendiliğinden getirir. Bu fark, üçgenin rijitliğinin bir başka yüzüdür.

Benzerliğin en sık kullanılan sonucu bir kenara paralel doğrudur. ABC üçgeninde [AB] üzerinde D, [AC] üzerinde E noktası alınsın ve DE ∥ BC olsun. Paralel doğrularda yöndeş açılar eşit olduğundan m(ADE) = m(ABC) ve m(AED) = m(ACB) olur; A açısı da ortaktır. AA koşuluyla ADE ∼ ABC bulunur. Dönüşüm diliyle söylersek ADE üçgeni, ABC üçgeninin A merkezli bir ölçeklemeyle küçültülmüş görüntüsüdür. Buradan |AD||AB| = |AE||AC| = |DE||BC| orantısı yazılır. Örneğin |AD| = 4, |DB| = 2 ve |DE| = 6 ise |AB| = 6 ve oran 46 = 23 olur; 6|BC| = 23 eşitliğinden |BC| = 9 bulunur. Sık yapılan bir hata, orantıda |AB| yerine |DB| yazmaktır; kenarların hep A köşesinden ölçüldüğünü unutma.

Gölge problemleri de aynı fikre dayanır. Güneş çok uzakta olduğu için ışınlarını paralel kabul ederiz. Yere dik duran bir cisim, gölgesi ve cismin tepesinden gölgenin ucuna giden ışın bir dik üçgen oluşturur. Aynı anda ölçülen iki cisimde ışınların yerle yaptığı açılar eşit, dik açılar da eşit olduğundan AA ile bu üçgenler benzerdir. Boyu 1,6 m olan bir öğrencinin gölgesi 2 m, bir ağacın gölgesi 15 m ise ağacın boyu h için h1,6 = 152 yazılır; h = 1,6 · 7,5 = 12 m bulunur. Haritalar da benzerliğin uygulamasıdır: 1 : 50 000 ölçekli bir haritada 3 cm uzunluğundaki bir yol gerçekte 3 · 50 000 = 150 000 cm, yani 1,5 km'dir. Alanlarda oran k² olduğundan bu haritada 1 cm² lik bir bölge gerçekte 50 000 · 50 000 = 2 500 000 000 cm², yani 0,25 km² lik bir alanı gösterir.

Eşlik de ulaşılamayan uzaklıkları ölçmeye yarar. Bir nehrin karşı kıyısında T ağacı, bu kıyıda tam karşısında A noktası olsun; [AT] kıyıya diktir. Kıyı boyunca 20 m yürüyüp C noktasına bir kazık çakalım, aynı doğrultuda 20 m daha yürüyüp D noktasına gelelim. D'den kıyıya dik olarak nehirden uzaklaşalım ve C kazığı ile T ağacının aynı doğru üzerinde göründüğü E noktasında duralım. TAC ve EDC üçgenlerinde m(TAC) = m(EDC) = 90°, |AC| = |CD| = 20 m ve C'deki açılar ters açı olduğundan eşittir. AKA ile TAC ≅ EDC olur; dolayısıyla |AT| = |DE| dir. Nehri hiç geçmeden, kendi kıyımızda |DE|'yi ölçerek nehrin genişliğini buluruz. Bu iki üçgen aslında birbirinin C noktası etrafında 180° dönmeyle elde edilmiş görüntüsüdür; dönüşüm önermelerimiz ile eşlik koşullarımız aynı sonucu farklı yollardan doğrulamaktadır.