Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri: Yatay Öteleme, Birleşik Dönüşümler, Türetilen Fonksiyonların Nitel Özellikleri ve Modelleme

Geçen hafta k, s ve m parametrelerini inceledik; geriye x'e eklenen ya da x'ten çıkarılan r sayısı kaldı. g(x) = sin(x − π3) fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyon, sinüsün x = 0'da aldığı değeri x = π3'te alır. Sinüsün x = π2'de ulaştığı tepe değerine ise x = π2 + π3 = 5π6'da ulaşır. Yani her şey π3 birim gecikmeli gerçekleşir ve grafik π3 birim sağa ötelenir. Genel olarak r > 0 için g(x) = f(x − r) grafiği, f'nin grafiğinin r birim sağa ötelenmesiyle elde edilir. g(x) = f(x + r) grafiği ise r birim sola ötelenmiş hâldir. Trigonometrik fonksiyonlarda bu ötelemeye faz kayması denir. İlk bakışta ters gibi görünen yönün sebebi şudur: f(x − r) ifadesinde içerinin eski değerine ulaşması için x'in r kadar büyük olması gerekir.

Yatay öteleme grafiği yalnız kaydırır, biçimini değiştirmez. Bu yüzden görüntü kümesi, genlik, maksimum-minimum değerleri ve periyot aynı kalır. Değişenler sıfırların, maksimum-minimum noktalarının ve asimptotların apsisleridir; hepsi r kadar kayar. Örneğin sin x'in sıfırları x = kπ olduğundan sin(x − π3) fonksiyonunun sıfırları x = π3 + kπ olur. Tanjant ve kotanjantta asimptotlar da kayar. tan(x − π4) için asimptotlar, x − π4 = π2 + kπ denkleminden x = 3π4 + kπ bulunur. Bir uyarı: Yatay öteleme simetri merkezini ya da simetri eksenini de kaydırdığı için tekliği ve çiftliği bozabilir.

Faz kayması, referans fonksiyonlar arasındaki köprüleri de gösterir. Kosinüs grafiği, sinüs grafiğinin π2 birim sola ötelenmiş hâlidir: sin(x + π2) = cos x. Tersinden düşünürsek cos(x − π2) = sin x olur. Sinüsü π birim ötelemek, grafiği x eksenine göre yansıtmakla aynı sonucu verir: sin(x + π) = −sin x ve cos(x + π) = −cos x. Tanjant ve kotanjantın periyodu π olduğundan π birimlik öteleme bu grafikleri hiç değiştirmez. tan(x + π2) = −cot x eşitliği ise tanjant ile kotanjant grafikleri arasındaki ilişkiyi kurar. Bu eşitlikleri, birim çemberde x ve x + π2 yaylarının bitim noktalarını karşılaştırarak kolayca doğrulayabilirsin.

Artık dört parametrenin hepsini bir arada kullanabiliriz. Birleşik dönüşümü doğru okumanın anahtarı, içerideki ifadeyi çarpanlarına ayırmaktır: g(x) = k · f(mx − r) + s = k · f(m(x − rm)) + s. Bu yazılış en sık yapılan hatayı önler. sin(2x − π2) grafiği, sin 2x grafiğinin π2 değil π4 birim sağa ötelenmesiyle elde edilir; çünkü 2x − π2 = 2(x − π4)'tür. Genel olarak faz kayması rm sayısıdır: Bu sayı pozitifse sağa, negatifse sola öteleme yapılır. Programdaki g(x) = k · f(mx ± r) ± s gösterimi de aynı şeyi anlatır; r'yi işaretli bir sayı olarak düşünmek iki durumu tek formülde toplar.

Dönüşümler iki gruptur. İç dönüşümler (m ve r) x değerlerine, dış dönüşümler (k ve s) y değerlerine etki eder. Güvenli bir sıra şöyledir: 1) f(x) → f(mx): Grafik yatayda sıkışır ya da genişler, periyot 2π|m| ya da π|m| olur. 2) f(mx) → f(m(x − rm)): Grafik rm birim yatayda ötelenir. 3) Çıktı k ile çarpılır: Genlik değişir, k negatifse grafik yansır. 4) s eklenir: Grafik dikey olarak ötelenir. Dış dönüşümlerde de sıra önemlidir. Önce k ile çarpıp sonra s eklemek k · f + s fonksiyonunu verir. Önce s ekleyip sonra k ile çarpmak ise k · (f + s) = k · f + ks fonksiyonunu verir ve bu farklı bir fonksiyondur. İç dönüşümleri ters sırada yapmak da mümkündür: Önce r birim ötele, sonra apsisleri m'ye böl. Bu yol da aynı grafiği verir, çünkü sonuçta içerideki ifade yine mx − r olur.

g(x) = 2 sin(2x − π2) + 1 fonksiyonuyla zinciri uygulayalım. m = 2 olduğundan periyot π'dir. 2x − π2 = 2(x − π4) olduğundan grafik π4 birim sağa ötelenir. k = 2 genliği 2 yapar. s = 1 denge doğrusunu y = 1'e taşır ve görüntü kümesi [−1, 3] olur. Grafiği çizmek için beş anahtar nokta yöntemini kullanırız. 0 ≤ 2x − π2 ≤ 2π eşitsizliğinden π4 ≤ x ≤ 5π4 bulunur; bu bir tam periyottur. Aralığı dört eşit parçaya bölünce x = π4, π2, 3π4, π, 5π4 noktaları elde edilir. Fonksiyon bu noktalarda sırasıyla 1, 3, 1, −1, 1 değerlerini alır. Sonucu cebirsel olarak da kontrol edebiliriz: sin(2x − π2) = −cos 2x olduğundan g(x) = 1 − 2 cos 2x yazılır ve g(π2) = 1 − 2 cos π = 3 bulunur.

g(x) = k · sin(mx − r) + s fonksiyonunun herhangi bir nitel özelliğini bulmak için içerideki ifadeyi tek bir değişken gibi düşünürüz: u = mx − r. Sinüsün ya da kosinüsün u'ya göre bilinen özelliğini yazar, ardından eşitliği veya eşitsizliği x için çözeriz. Bu bölümde k, m, r, s parametre olduğundan tam sayıları n ile gösteriyoruz (n ∈ ℤ). Örneğin g(x) = cos(2x − π3) fonksiyonunun maksimum noktalarını bulmak için 2x − π3 = 2nπ yazarız ve x = π6 + nπ elde ederiz. Minimum için 2x − π3 = π + 2nπ denkleminden x = 2π3 + nπ bulunur. Sıfırlar için 2x − π3 = π2 + nπ denkleminden x = 5π12 + nπ2 bulunur. Ardışık iki sıfır arasındaki uzaklık yarım periyottur (π2); maksimum ile sonraki minimum arası da yarım periyottur. Bu, sonuçları denetlemek için kullanabileceğimiz bir kontrol örüntüsüdür.

Monotonluk aralıkları da aynı yolla bulunur. cos u fonksiyonu [−π + 2nπ, 2nπ] aralıklarında artan, [2nπ, π + 2nπ] aralıklarında azalandır. m > 0 iken eşitsizliğin yönü korunur: −π + 2nπ ≤ 2x − π3 ≤ 2nπ → −2π3 + 2nπ ≤ 2x ≤ π3 + 2nπ → −π3 + nπ ≤ x ≤ π6 + nπ. Buna göre [0, π] aralığında fonksiyon [0, π6] ve [2π3, π] aralıklarında artan, [π6, 2π3] aralığında azalandır. k < 0 ya da m < 0 ise monotonluk yön değiştirir. Örneğin −2 sin(x − π6) fonksiyonu, sin(x − π6) azalırken artar. k ve m'nin ikisi de negatifse bu iki etki birbirini götürür; kısacası belirleyici olan k · m çarpımının işaretidir.

Sıfırların varlığı ve sayısı da genellenebilir. k · sin(mx − r) + s = 0 denklemi, sin(mx − r) = −sk demektir. Sinüs [−1, 1] aralığının dışına çıkamaz. Bu yüzden |s| > |k| ise fonksiyonun sıfırı yoktur. |s| = |k| ise grafik x eksenine yalnız tepe ya da çukur noktalarında dokunur ve her periyotta bir sıfır vardır. |s| < |k| ise her periyotta iki sıfır vardır. Bu genellemeyi g(x) = 2 sin 3x − 1 ile sınayalım. |s| = 1 < 2 = |k| olduğundan her periyotta iki sıfır bekleriz. Periyot 2π3 olduğundan [0, 2π) aralığında 3 tam periyot, dolayısıyla 6 sıfır olmalıdır. Doğrulama: sin 3x = 12 → 3x = π6 + 2nπ veya 3x = 5π6 + 2nπ → x = π18 + 2nπ3 veya x = 5π18 + 2nπ3. n = 0, 1, 2 için π18, 5π18, 13π18, 17π18, 25π18, 29π18 bulunur ve tahmin doğrulanır.

g(x) = k · tan(mx − r) + s fonksiyonunda tanjantın içi π2 + nπ olamaz: mx − r ≠ π2 + nπ. Bu koşuldan x'i yalnız bırakınca hem tanım kümesini hem de düşey asimptotları buluruz. Örneğin g(x) = tan(2x − π3) için 2x ≠ 5π6 + nπ, yani x ≠ 5π12 + nπ2 bulunur. Kotanjant türevlerinde koşul mx − r ≠ nπ biçimindedir. k ve s asimptotların yerini değiştirmez. Görüntü kümesi her durumda ℝ olarak kalır ve fonksiyonun maksimum ya da minimum değeri oluşmaz. Kısacası tanjant ve kotanjant ailesinde dikey dönüşümler yalnız dalların dikliğini, yönünü ve yüksekliğini etkiler.

Sıfırlar için k · tan(mx − r) + s = 0 yani tan(mx − r) = −sk denklemi çözülür. Tanjantın görüntü kümesi ℝ olduğundan bu denklemin her periyotta tam bir çözümü vardır; sinüsteki |s| ≤ |k| koşuluna gerek kalmaz. Örnek olarak g(x) = 3 cot(x − π4) + 3 fonksiyonunu ele alalım. cot(x − π4) = −1 → x − π4 = 3π4 + nπ → x = π + nπ, yani x = nπ bulunur. Bu fonksiyonun asimptotları x − π4 = nπ denkleminden x = π4 + nπ çıkar. Periyot π|m| olduğundan ardışık iki asimptot arasındaki uzaklık da π|m|'dir ve her dal bu uzunluktaki bir aralığa yerleşir. s = 0 iken her dalın sıfırı iki komşu asimptotun tam ortasındadır.

Monotonluk için k ile m'nin işaretlerine bakmak yeterlidir. Tanjant her dalında artandır. Bu nedenle k · m > 0 ise k · tan(mx − r) + s her dalda artan, k · m < 0 ise her dalda azalandır. Kotanjantta durum tersidir: k · m > 0 iken her dalda azalan, k · m < 0 iken her dalda artandır. Örneğin −2 tan(x2) için k · m = −2 · 12 = −1 < 0 olduğundan fonksiyon her dalda azalandır. −cot 2x için de k · m = −2 < 0 olduğundan fonksiyon her dalda artandır. Bu genellemeyi bir dal üzerinde iki değer seçerek kontrol edebiliriz. −2 tan(x2) fonksiyonunun x = 0'daki değeri 0, x = π2'deki değeri −2 · tan(π4) = −2'dir; x artarken değer azalmıştır.

Bir sinüzoidal grafiğin kuralını yazmak, dönüşümleri tersinden okumak demektir. Önce grafiğin en büyük değeri M ve en küçük değeri N okunur. Buradan genlik |k| = M − N2 ve denge doğrusu y = s = M + N2 bulunur. Sonra ardışık iki tepe (ya da ardışık iki çukur) arasındaki uzaklıktan periyot T okunur ve |m| = 2πT hesaplanır; tepe ile sonraki çukur arası yarım periyottur. Son olarak r'yi bulmak için bir referans noktası seçilir. Kosinüs biçiminde (k > 0) içerinin 0 olduğu yer tepedir. Sinüs biçiminde ise içerinin 0 olduğu yer yükselen denge noktası, π2 olduğu yer tepedir. Tanjant ve kotanjant grafiklerinde ardışık iki asimptot arası periyodu verir; dalın ortasındaki noktanın apsisi r'yi, ordinatı s'yi bulmayı sağlar.

Tepe noktası (π6, 4) ve sonraki çukur noktası (2π3, −2) olan grafiği ele alalım. |k| = 4 − (−2)2 = 3 ve s = 4 + (−2)2 = 1 bulunur. Yarım periyot 2π3 − π6 = π2 olduğundan T = π ve m = 2'dir. Kosinüs biçiminde tepe için 2 · π6 − r = 0 → r = π3 olur ve kural g(x) = 3 cos(2x − π3) + 1 çıkar. Sinüs biçiminde tepe için 2 · π6 − r = π2 → r = −π6 olur ve kural g(x) = 3 sin(2x + π6) + 1 çıkar. İki kural farklı görünür, ama sin(u + π2) = cos u eşitliğinde u = 2x − π3 alınırsa sin(2x + π6) = cos(2x − π3) olduğu cebirsel olarak ispatlanır. Demek ki bir grafiğin tek bir cebirsel temsili yoktur. r'ye 2π'nin katlarını eklemek ya da k'nin işaretini değiştirip r'yi π kaydırmak da aynı grafiği verir. Kuralı yazdıktan sonra grafikte okunabilen başka bir noktayla kontrol yapılmalıdır; burada g(0) = 3 cos(−π3) + 1 = 2,5 değeri kullanılabilir.

Türetilen fonksiyonların tekliği ve çiftliği r'ye bağlıdır. k · sin(mx − r) fonksiyonu r = nπ iken ±k · sin(mx) biçimine döner ve tek kalır. r = π2 + nπ iken ±k · cos(mx) biçimine döner ve çift olur. Diğer r değerlerinde fonksiyon ne tek ne çifttir. Örneğin g(x) = sin(x − π4) için g(0) = −22 ≠ 0 olduğundan fonksiyon tek değildir. Ayrıca g(π4) = 0 iken g(−π4) = sin(−π2) = −1 olduğundan çift de değildir. s ≠ 0 eklenirse tek fonksiyon tekliğini kaybeder, çift fonksiyon ise çift kalır. Tanjantta tan(mx − r), r sayısı π2'nin bir katı iken tektir; çünkü r = π2 için tan(mx − π2) = −cot(mx) olur. Tanjant ve kotanjant ailesinden çift fonksiyon elde edilemez.

Türetilmiş trigonometrik fonksiyonların en güçlü yanı, düzenli tekrar eden olayları dört parametreyle anlatabilmeleridir. Bir limanda deniz suyunun yüksekliği h(t) = 2 + 1,5 · cos(π(t − 3)6) metre ile modellenmiş olsun; t, gece yarısından sonra geçen saattir. Parametreleri tek tek yorumlayalım. s = 2 m ortalama su düzeyidir. Genlik 1,5 m'dir ve kabarma ile çekilme düzeyleri arasındaki farkın yarısını gösterir. m = π6 olduğundan periyot 2π ÷ π6 = 12 saattir; yani günde iki kabarma ve iki çekilme olur. Faz kayması 3 saattir ve ilk kabarmanın saat 03.00'te olduğunu söyler. En yüksek düzey 3,5 m (t = 3 ve t = 15), en düşük düzey 0,5 m'dir (t = 9 ve t = 21). Model gerçek bir karar için de kullanılabilir. Bir teknenin limana girebilmesi için suyun en az 2,75 m olması gereksin. h(t) ≥ 2,75 ⇔ cos(π(t − 3)6) ≥ 12 ⇔ −π3 ≤ π(t − 3)6 ≤ π3 ⇔ 1 ≤ t ≤ 5 bulunur. Periyot nedeniyle 13 ≤ t ≤ 17 aralığı da uygundur.

Benzer biçimde bir şehirde gün ışığı süresi yaklaşık olarak G(t) = 12 + 3 · sin(2π(t − 80)365) saat ile modellenebilir; t, yılın kaçıncı günü olduğunu gösterir. t = 80 civarında (21 Mart dolayları) gece ile gündüz eşittir. En uzun gün t − 80 = 3654 iken, yani t ≈ 171 (yaklaşık 21 Haziran) civarındadır ve gün ışığı yaklaşık 15 saat sürer. En kısa gün t ≈ 354 (yaklaşık 20 Aralık) civarındadır ve gün ışığı yaklaşık 9 saat sürer. Bu modellerin kullanışlılığını değerlendirirken sınırlarını da görmeliyiz. Gerçek gelgitler Ay ile Güneş'in birlikte etkisiyle tam simetrik değildir; sıcaklık bulutlu bir günde modelden sapar; gün ışığı süresinin genliği ise enleme göre değişir. Model, olayın ana örüntüsünü yakalayan sade bir temsildir. Tahmin için kullanılırken ölçülen verilerle karşılaştırılmalı, gerekirse parametreler yeniden belirlenmelidir.

Bu hafta kullandığımız genellemelerin üçünü cebirsel olarak ispatlayalım. Periyot: g(x) = k · sin(mx − r) + s ve m > 0 için g(x + 2πm) = k · sin(mx + 2π − r) + s = k · sin(mx − r) + s = g(x) olur. Sinüsün esas periyodu 2π olduğundan daha küçük pozitif bir sayı bu eşitliği sağlamaz. Görüntü kümesi: −1 ≤ sin(mx − r) ≤ 1 olduğundan k > 0 için s − k ≤ g(x) ≤ s + k olur. Sinüs bu uç değerleri gerçekten aldığından görüntü kümesi [s − |k|, s + |k|]'dir. Faz kayması: h(x) = k · sin(mx) + s denirse g(x) = h(x − rm) olur, çünkü m(x − rm) = mx − r'dir. Grafiksel doğrulama ise birkaç x değeri için değer tablosu hazırlayıp noktaları grafikle karşılaştırmaktır. Cebirsel ispat her durumu kapsar; grafiksel doğrulama hızlı bir kontrol ve hatayı görme aracıdır. İkisi birlikte kullanıldığında genelleme hem güvenilir hem anlaşılır olur.