Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu ve Alanı

Bir problemi çözmeye başlamadan önce onu dikkatle okuyup matematiksel bileşenlerini ayırırız. Dikdörtgenle ilgili bir problemde bu bileşenler genellikle şunlardır: şekil (dikdörtgen mi, kare mi, birden fazla dikdörtgenden oluşan bir şekil mi), verilen uzunluklar, istenen nicelik (çevre, alan ya da bir kenar), birimler (cm, m, cm², m²) ve ek koşullar (birim fiyat, kapı boşluğu, kaç kat boya yapılacağı gibi). Örneğin «Kenarları 12 m ve 8 m olan dikdörtgen biçimli bir bahçenin etrafına metresi 25 TL olan çit çekilecektir. Çit için kaç TL ödenir?» probleminde şekil dikdörtgen, kenarlar 12 m ve 8 m, istenen ise çitin fiyatıdır; ek koşul olarak 1 metre çitin fiyatı verilmiştir.

Bileşenleri belirledikten sonra aralarındaki ilişkileri kurarız. Çit bahçenin sınırı boyunca çekildiği için çitin uzunluğu bahçenin çevre uzunluğuna eşittir: 2 × (12 + 8) = 2 × 20 = 40 m. Toplam fiyat da uzunluk ile birim fiyatın çarpımıdır: 40 × 25 = 1000 TL. Aynı bahçenin tamamına 1 m²'si 15 TL'ye çim ekilecek olsaydı bu kez yüzeyi, yani alanı hesaplamamız gerekirdi: 12 × 8 = 96 m² ve 96 × 15 = 1440 TL. Görüldüğü gibi aynı bahçe, aynı sayılar; ama sorulan şeye göre işlem tamamen değişir.

Problemin dilindeki bazı ifadeler hangi niceliğin istendiğini anlamamıza yardım eder. Etrafını çevirmek, kenarına şerit dikmek, çerçeve yapmak, süpürgelik döşemek, etrafında yürümek gibi ifadeler sınırın uzunluğunu, yani çevreyi; kaplamak, boyamak, halı sermek, fayans döşemek, çim ya da tohum ekmek gibi ifadeler yüzeyin büyüklüğünü, yani alanı gerektirir. Yine de kelimelere körü körüne güvenmek yerine «Bu iş sınır boyunca mı yapılıyor, yüzeyin tamamına mı?» diye kendimize sorarız. Ek koşulları da gözden kaçırmamalıyız: Çitte 2 metrelik bir kapı boşluğu bırakılacaksa çit uzunluğu çevreden 2 m eksik olur.

Sözel olarak verilen bir problem, farklı bir temsile dönüştürüldüğünde çok daha kolay anlaşılır. En sık kullandığımız temsil şekil çizmektir: Bir dikdörtgen çizer, bilinen kenarlarına uzunlukları, bilinmeyenlere soru işareti yazarız. Böylece problemde nelerin verildiğini ve neyin eksik olduğunu bir bakışta görürüz. Birden çok dikdörtgenin karşılaştırıldığı problemlerde ise tablo daha kullanışlıdır: Kenarları, çevreleri ve alanları sütunlara yazınca hangi dikdörtgenin istenen koşulu sağladığı hemen ortaya çıkar. Şekil, tablo ve işlem aynı problemin farklı görünümleridir; biri yetmediğinde diğerine geçebiliriz.

Kenarlar arasında kat ilişkisi olan problemlerde şerit modeli çok işe yarar. «Uzun kenarı kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgenin çevresi 48 cm'dir. Bu dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?» problemini ele alalım. Kısa kenarı 1 eş parça, uzun kenarı 3 eş parça olarak çizeriz. Yarı çevre, bir kısa ve bir uzun kenarın toplamı olduğundan 1 + 3 = 4 parçadır. Yarı çevre 48 ÷ 2 = 24 cm olduğuna göre 1 parça 24 ÷ 4 = 6 cm'dir. Kısa kenar 6 cm, uzun kenar 3 × 6 = 18 cm, alan ise 6 × 18 = 108 cm² olur. Kontrol: 2 × (6 + 18) = 48 cm.

Kenarlar arasında fark ilişkisi varsa yine şerit modeliyle düşünebiliriz. «Uzun kenarı kısa kenarından 4 cm fazla olan dikdörtgenin çevresi 28 cm'dir.» Yarı çevre 14 cm'dir ve iki şeritten oluşur: Biri kısa kenar, diğeri kısa kenar ile 4 cm'lik bir parçanın toplamı. 14 − 4 = 10 cm'yi iki eşit kısa kenara paylaştırırız: 10 ÷ 2 = 5 cm. Kenarlar 5 cm ve 9 cm, alan 45 cm²'dir. Çözümü kendi ifadelerimizle şöyle açıklayabiliriz: «Yarı çevreden fazlalığı çıkarınca geriye iki eşit kısa kenar kaldı; birini bulmak için ikiye böldüm.» Bir çözümü kendi cümlelerimizle anlatabiliyorsak onu gerçekten anlamışız demektir.

Hesaplamaya geçmeden önce sonucu tahmin etmek, işlemlerin sonunda bulduğumuz sayının akla yatkın olup olmadığını anlamamızı sağlar. Kenarları 19 m ve 11 m olan bir bahçenin alanını tahmin etmek için sayıları kolay sayılara yuvarlarız: 20 × 10 = 200 m². Gerçek sonuç 19 × 11 = 209 m²'dir ve tahminimize oldukça yakındır. Hesaplama sonunda 2090 ya da 30 gibi bir sayı bulsaydık tahminimizle karşılaştırarak hemen hata yaptığımızı fark ederdik. Tahmin, aynı zamanda hangi işlemlerin yapılacağına dair bir plan kurmamıza da yardımcı olur.

Bir problemi çözmenin çoğu zaman birden fazla stratejisi vardır. «Kenarları 300 cm ve 240 cm olan bir duvar, kenarı 20 cm olan kare fayanslarla boşluksuz kaplanacaktır. Kaç fayans gerekir?» problemini düşünelim. Birinci strateji, sıraları saymaktır: Bir sıraya 300 ÷ 20 = 15 fayans sığar, duvarın yüksekliği boyunca 240 ÷ 20 = 12 sıra oluşur; toplam 15 × 12 = 180 fayans gerekir. İkinci strateji, alanları bölmektir: Duvarın alanı 300 × 240 = 72 000 cm², bir fayansın alanı 20 × 20 = 400 cm²'dir; 72 000 ÷ 400 = 180 fayans. İki farklı yolun aynı sonucu vermesi çözümümüze güvenimizi artırır.

Stratejiyi problemin yapısına göre seçeriz. Kenarlar fayansın kenarına kalansız bölünüyorsa iki strateji de çalışır. Kenarlardan biri tam bölünmüyorsa son sıradaki fayansların kesilmesi gerekir; bu durumda sıraları saymak, kaç tam ve kaç kesik fayans kullanılacağını görmek için daha uygundur. Kenarlar arasında kat ya da fark ilişkisi varsa şerit modeli, olası kenarların arandığı problemlerde sistemli listeleme, şekil birden çok dikdörtgenden oluşuyorsa parçalama işimizi kolaylaştırır. İyi bir problem çözücü tek bir yönteme takılıp kalmaz; elindeki stratejileri tanır ve probleme en uygun olanı seçer.

Gerçek yaşamda odalar, bahçeler ya da arsalar her zaman tek bir dikdörtgen biçiminde olmaz; çoğu zaman L biçiminde ya da birkaç dikdörtgenin birleşmesinden oluşan şekillerle karşılaşırız. Böyle bir şeklin alanını bulmanın ilk yolu parçalama stratejisidir: Şekli kesikli bir çizgiyle dikdörtgenlere ayırır, her birinin alanını bulup toplarız. Alt kenarı 10 m, sol kenarı 8 m, üst kenarı 6 m ve sağ kenarı 5 m olan L biçimli bir bahçeyi düşünelim. Önce eksik kenarları buluruz: Girintinin yatay kenarı 10 − 6 = 4 m, dikey kenarı 8 − 5 = 3 m'dir. Şekli yatay bir çizgiyle ayırırsak altta 10 × 5 = 50 m², üstte 6 × 3 = 18 m² alan elde ederiz; toplam alan 50 + 18 = 68 m²'dir.

İkinci yol tamamlama stratejisidir: Şekli, eksik köşeyi ekleyerek büyük bir dikdörtgene tamamlar, büyük dikdörtgenin alanından eklediğimiz parçanın alanını çıkarırız. L biçimli bahçeyi 10 m × 8 m'lik bir dikdörtgene tamamlarsak alan 80 m² olur; eklediğimiz köşe parçası 4 m × 3 m = 12 m²'dir. Bahçenin alanı 80 − 12 = 68 m² çıkar. İki stratejinin aynı sonucu vermesi çözümü doğrular. Parçalama, şekil az sayıda büyük parçaya ayrılabiliyorsa; tamamlama ise şeklin küçük bir eksik köşesi varsa daha pratiktir.

Bileşik şekillerde çevre için bütün dış kenarları tek tek toplarız: 10 + 5 + 4 + 3 + 6 + 8 = 36 m. İlginç olan, bu sonucun 10 m × 8 m'lik büyük dikdörtgenin çevresiyle aynı olmasıdır: 2 × (10 + 8) = 36 m. Nedeni şudur: Köşeden kesilen parçanın içe giren 4 m'lik ve 3 m'lik kenarları, kaybolan 4 m'lik üst parçanın ve 3 m'lik yan parçanın yerini tutar. Yani köşeden dikdörtgen kesmek alanı azaltır ama çevreyi değiştirmez. Ancak parça bir kenarın ortasından kesilirse durum değişir: 10 m × 6 m'lik bir dikdörtgenin üst kenarının ortasından 2 m genişliğinde ve 3 m derinliğinde bir parça çıkarılırsa alan 60 − 6 = 54 m² olur, çevre ise iki yeni 3 m'lik kenar eklendiği için 32 + 6 = 38 m'ye çıkar.

Bir problemin cevabını bulmak, işin yarısıdır; diğer yarısı bu cevabın doğru olduğundan emin olmaktır. «Çevresi 26 cm, alanı 40 cm² olan ve kenarları santimetre cinsinden doğal sayı olan dikdörtgenin kenarlarını bulunuz.» problemini çözen Esra önce rastgele denemeler yapar: 4 × 9 dikdörtgeninin çevresi 26 cm'dir ama alanı 36 cm²'dir; 6 × 7'nin çevresi 26 cm, alanı 42 cm²; 3 × 10'un çevresi 26 cm, alanı 30 cm². Her denemede bir koşul sağlanıyor ama diğeri sağlanmıyor. Esra bu noktada rastgele denemenin onu sonuca götürmediğini fark eder ve stratejisini değiştirir.

Yeni strateji sistemli listelemedir. Yarı çevre 26 ÷ 2 = 13 cm olduğundan toplamı 13 olan çiftler sırayla yazılır ve alanlarına bakılır: (1, 12) → 12, (2, 11) → 22, (3, 10) → 30, (4, 9) → 36, (5, 8) → 40. Aranan dikdörtgen 5 cm × 8 cm'dir. Aynı sonuca alanı 40 olan çiftlerden de ulaşılabilir: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8) çiftlerinin toplamları 41, 22, 14 ve 13'tür; yalnız (5, 8) çiftinin toplamı yarı çevreye eşittir. Son olarak bütün koşullar sınanır: 2 × (5 + 8) = 26 cm ve 5 × 8 = 40 cm². İki koşul da sağlandığına göre çözüm doğrudur.

Kontrol ederken şu sorulara cevap ararız: Bulduğum sayılar problemdeki bütün koşulları sağlıyor mu? Sonuç tahminime yakın mı? Birim doğru mu (çevre için cm, alan için cm²)? Ters işlemle sınadım mı? Sık yapılan hatalar da kontrolle yakalanır: 7 cm × 4 cm dikdörtgenin çevresini 7 + 4 = 11 cm bulmak yarı çevreyi çevre sanmaktır; doğrusu 22 cm'dir. Kenarları 2 m ve 50 cm olan bir masa örtüsünün alanını 2 × 50 = 100 diye hesaplamak birimleri karıştırmaktır; önce 2 m = 200 cm yazılır, alan 200 × 50 = 10 000 cm², çevre 2 × (200 + 50) = 500 cm bulunur.

Bir problemi çözdükten sonra «Başka nasıl çözebilirdim?» diye sormak, matematiksel düşünmemizi güçlendirir. Dikdörtgenin çevresini a + b + a + b, 2 × a + 2 × b ya da 2 × (a + b) biçiminde hesaplayabiliriz; üçü de aynı sonucu verir. 15 m × 9 m bahçe için 15 + 9 + 15 + 9 = 48, 30 + 18 = 48 ve 2 × 24 = 48 m bulunur. En kısa yol genellikle 2 × (a + b)'dir, çünkü önce yarı çevre bulunur ve yarı çevre birçok problemde zaten işimize yarar. L biçimli bahçenin alanını yatay ayırarak (50 + 18), dikey ayırarak (48 + 20) ya da tamamlayarak (80 − 12) bulmak da alternatif çözüm yollarına güzel bir örnektir. Hangisinin daha az işlem gerektirdiğini karşılaştırmak, bir sonraki problemde doğru seçimi yapmamızı sağlar.

Bir problemde kullandığımız stratejiyi farklı problemlere genelleyebiliriz. Şerit modeliyle «uzun kenar 3 katı, çevre 48» problemini çözdük; aynı düşünce «uzun kenar 2 katı, çevre 36» problemine de uygulanır: Yarı çevre 18 cm, 3 parçadır; 1 parça 6 cm, kenarlar 6 cm ve 12 cm, alan 72 cm². Hesaplamalarımızdan genel kurallar da çıkarabiliriz. 3 × 5 dikdörtgeninin çevresi 16'dır; kısa kenar 1 artınca 4 × 5 dikdörtgeninin çevresi 18 olur. 7 × 2'den 8 × 2'ye geçince çevre 18'den 20'ye çıkar. Buradan şu genellemeye ulaşırız: «Bir kenar 1 birim artarsa çevre 2 birim artar», çünkü o kenar dikdörtgende iki kez bulunur. Alan ise bu durumda diğer kenar kadar artar: 3 × 5 = 15'ten 4 × 5 = 20'ye.

Bir genellemeye güvenmeden önce onun geçerliliğini farklı örneklerle sınarız. «İki kenar birlikte 2 katına çıkarsa çevre de 2 katına çıkar» genellemesini deneyelim: 3 × 5'in çevresi 16, 6 × 10'un çevresi 32; 4 × 1'in çevresi 10, 8 × 2'nin çevresi 20. Her örnekte tuttuğu gibi bir gerekçesi de vardır: Yarı çevre 2 katına çıkınca çevre de 2 katına çıkar. Peki «Bir kenara 3 ekleyip diğerinden 3 çıkarırsak alan değişmez» genellemesi doğru mu? 4 × 10 = 40 iken 7 × 7 = 49, 2 × 8 = 16 iken 5 × 5 = 25 olur; bu genelleme geçersizdir. Unutmayalım: Bir genellemeyi doğrulamak için örnekler yanında bir gerekçe gerekir, ama onu çürütmek için tek bir karşı örnek yeter.