Bir Doğal Sayının Çarpanları ve Katları

Çarpan: bir sayıyı oluşturan çarpımlar

Bir doğal sayıyı iki doğal sayının çarpımı olarak yazdığımızda çarpılan sayıların her birine o sayının çarpanı denir. Örneğin 12 = 3 · 4 olduğundan 3 ve 4, 12'nin çarpanlarıdır.

Alanı 12 birimkare olan bütün dikdörtgenleri çizersek kenar uzunlukları bize 12'nin çarpanlarını verir: 1 ile 12, 2 ile 6, 3 ile 4.

Kat: bir sayının tekrarlanan toplamı

Bir doğal sayının 1, 2, 3, 4, … ile çarpılmasıyla elde edilen sayılara o sayının katları denir. 3'ün katları 3, 6, 9, 12, 15, … diye sürer.

Katları sayı doğrusunda eşit atlamalarla gösterebiliriz: 0'dan başlayıp 3'er birim ilerlediğimizde bastığımız her sayı 3'ün bir katıdır.

Çarpan ile kat arasındaki ilişki ve genellemeler

Bir iddiayı sınamak

Matematikte bir iddianın doğru olduğunu göstermek için genel bir gerekçe gerekir; yanlış olduğunu göstermek için ise tek bir karşı örnek yeter.

Örneğin "Bir sayı büyüdükçe çarpan sayısı da artar." iddiası yanlıştır: 12'nin 6 çarpanı vardır ama ondan büyük olan 13'ün yalnız 2 çarpanı (1 ve 13) vardır.

Örnekler

1. Örnek 118'in bütün çarpanlarını yazınız.

   Cevabı göster

   Alanı 18 birimkare olan dikdörtgenleri düşünelim: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6. 18'in çarpanları 1, 2, 3, 6, 9 ve 18'dir.

2. Örnek 27'nin 40'tan küçük katlarını yazınız.

   Cevabı göster

   7 · 1 = 7, 7 · 2 = 14, 7 · 3 = 21, 7 · 4 = 28, 7 · 5 = 35. 7 · 6 = 42 olduğu için 40'ı geçer. Cevap: 7, 14, 21, 28, 35.

3. Örnek 3Dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin alanı 24 metrekaredir. Kenar uzunlukları metre cinsinden doğal sayı olduğuna göre bahçenin çevresi en az kaç metredir?

   Cevabı göster

   Kenarlar 24'ün çarpan çiftleridir: 1 ve 24 (çevre 50 m), 2 ve 12 (28 m), 3 ve 8 (22 m), 4 ve 6 (20 m). En küçük çevre 20 metredir; kenarlar birbirine en yakın olduğunda çevre en küçük olur.

4. Örnek 4Bir otobüs durağa ilk kez saat 08.00'de, sonra 15 dakikada bir geliyor. 08.00 ile 09.30 arasında (iki saat de dahil) durağa kaç otobüs gelir?

   Cevabı göster

   Otobüsler 08.00'den sonra 15'in katı olan dakikalarda gelir: 0, 15, 30, 45, 60, 75 ve 90. dakikalar (09.30 = 90. dakika). Toplam 7 otobüs gelir.

5. Örnek 5Ece: "Bir sayının katları her zaman o sayıdan büyüktür." diyor. Bu iddia doğru mudur?

   Cevabı göster

   Hayır. Her sayı kendisinin de bir katıdır (ör. 5 = 5 · 1) ve kendisinden büyük değildir. Doğru ifade şudur: Bir sayının katları o sayıdan küçük olamaz.

6. Örnek 6Hem 36'nın çarpanı hem 4'ün katı olan sayıları bulunuz.

   Cevabı göster

   36'nın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Bunlardan 4'ün katı olanlar 4, 12 ve 36'dır.