İçeriğe geç

6. sınıf · Matematik · 14. hafta (21-25 Aralık 2026)

Kategorik ve Nicel (Kesikli) Veri Dağılımları

İstatistiksel Araştırma Süreci teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Kategorik veriler sıklık tablosu, sütun grafiği ve daire grafiğiyle; nicel (kesikli) veriler ise nokta grafiği ve kök-yaprak gösterimiyle görselleştirilir.

Kategorik ve Nicel (Kesikli) Verileri Görselleştirme Araçları

Geçen hafta istatistiksel araştırma sorusu oluşturmayı ve veri toplamayı öğrenmiştik. Toplanan verileri anlamlandırmanın ilk adımı, veri türüne en uygun görselleştirme aracını seçmektir. Nitelik veya grup belirten kategorik verilerde (örneğin tercih edilen spor dalı, sevilen kitap türü) grupların sıklıklarını karşılaştırmak için sütun grafiği, bütündeki paylarını görmek için ise daire grafiği kullanılır.

Sayma sonucu elde edilen tam sayılı nicel (kesikli) verilerde (örneğin öğrencilerin okuduğu kitap sayısı, bir haftada çözülen soru sayısı, kardeş sayısı) ise sayı doğrusu üzerindeki yığılmaları ve boşlukları net gösteren nokta grafiği tercih edilir. Nokta grafiğinde her bir veri değeri sayı doğrusu üzerinde bir nokta ile temsil edilir.

NOKTA GRAFİĞİ VE SÜTUN GRAFİĞİ KARŞILAŞTIRMASI Nokta Grafiği (Okunan Kitap Sayısı) 1 2 3 4 5 Sütun Grafiği (Kulüp Tercihleri - Kategorik) 14 Bilim 18 Spor 10 Sanat
🔍 Büyütmek için dokunun

Kök–Yaprak Gösterimi Oluşturma ve Yorumlama

Nicel (kesikli) verileri hem tablo düzeninde özetleyen hem de hiçbir veri değerini kaybetmeden dağılımın şeklini gösteren özel araca kök-yaprak gösterimi denir. İki basamaklı sayılardan oluşan bir veri grubunda onlar basamağındaki rakam 'kök' sütununa, birler basamağındaki rakamlar ise küçükten büyüğe doğru sıralanarak 'yaprak' sütununa yazılır.

Kök-yaprak gösteriminin altına mutlaka bir okuma anahtarı (örneğin '7 | 4 = 74 puan' gibi) eklenir. Bu gösterim sayesinde verilerin hangi onluk aralığında yoğunlaştığı, en küçük ve en büyük değerlerin kaç olduğu ve ortanca değerin hangi satırda yer aldığı tek bakışta okunabilir.

KÖK-YAPRAK GÖSTERİMİ (SINIFTAKİ ÖĞRENCİLERİN DENEME PUANLARI) Ham Veri Grubu (12 Öğrenci) 62, 65, 68, 70, 74, 74, 79, 81, 83, 85, 88, 92 Anahtar: 6 | 2 = 62 puan (Kök: Onlar basamağı, Yaprak: Birler) Kök Yaprak 6 2 5 8 7 0 4 4 9 8 1 3 5 8 9 2
🔍 Büyütmek için dokunun

Merkezi Eğilim Ölçüleri: Aritmetik Ortalama, Ortanca ve Tepe Değer

Bir nicel veri dağılımını tek bir 'tipik' sayıyla özetlemek istediğimizde merkezi eğilim ölçülerini kullanırız. Aritmetik ortalama, veri grubundaki tüm sayıların toplamının veri adedine bölünmesiyle elde edilir: Verilerin ToplamıVeri Sayısı. Ortalama, sayı doğrusu üzerindeki verilerin ağırlık (denge) merkezidir.

Ortanca (medyan), küçükten büyüğe doğru sıralanmış bir veri grubunda tam ortada yer alan sayıdır. Veri sayısı tek ise tam ortadaki terim, çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması ortancayı verir. Tepe değer (mod) ise veri grubunda en çok tekrar eden (frekansı en yüksek olan) değerdir. Bir veri grubunda tüm terimler eşit sayıda tekrar ediyorsa tepe değer yoktur; birden fazla değer en yüksek tekrar sayısını paylaşıyorsa birden fazla tepe değer vardır.

Ölçü AdıBulunuş YöntemiEn Uygun Kullanım Durumu
Aritmetik OrtalamaToplamın veri sayısına bölünmesiUç değeri olmayan dengeli nicel dağılımlar
Ortanca (Medyan)Sıralı veride tam ortadaki değerAşırı büyük veya küçük uç değer içeren dağılımlar
Tepe Değer (Mod)En çok tekrar eden değerKategorik veriler veya en yaygın değerin arandığı durumlar
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ: ARİTMETİK ORTALAMA, ORTANCA VE TEPE DEĞER Aritmetik Ortalama Verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür. Denge noktasıdır; uç değerlerden etkilenir. Ortanca (Medyan) Küçükten büyüğe sıralı veride tam ortadaki değerdir. Aşırı uç (aykırı) değer varsa en güvenilir ölçüdür. Tepe Değer (Mod) Veri grubunda en çok tekrar eden değerdir. En popüler / yaygın tercihi belirlemede kullanılır.
🔍 Büyütmek için dokunun

Açıklık (Yayılım) ve Uç Değerlerin (Aykırı Değer) Etkisi

Veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka açıklık denir: Açıklık = En Büyük Değer - En Küçük Değer. Açıklık, verilerin birbirine ne kadar yakın (tutarlı) veya birbirinden ne kadar kopuk (dağınık) olduğunu gösterir.

Veri grubundaki diğer değerlerden aşırı derecede uzak olan sayıya uç değer (aykırı değer) adı verilir. Örneğin 12, 14, 15, 15, 64 veri grubunda 64 bir uç değerdir. Bu uç değer aritmetik ortalamayı 15'ten 24'e çekerek yanıltıcı bir özet üretir; oysa ortanca (15) ve tepe değer (15) uç değerden hiç etkilenmez.

YAYILIM ÖLÇÜSÜ (AÇIKLIK) VE UÇ DEĞER ETKİSİ A Grubu: 12, 14, 15, 15, 19 • Açıklık = 19 - 12 = 7 (Tutarlı / Homojen) • Aritmetik Ortalama = 75 : 5 = 15 • Ortanca = 15, Tepe Değer = 15 Uç değer yok -> Ortalama ve Ortanca eşit B Grubu: 12, 14, 15, 15, 64 • Açıklık = 64 - 12 = 52 (Yayılım geniş) • Aritmetik Ortalama = 120 : 5 = 24 • Ortanca = 15 (Uç değerden etkilenmedi!) 64 uç değerdir -> Ortanca grubu daha iyi temsil eder
🔍 Büyütmek için dokunun

İki Veri Grubunu Karşılaştırma ve Veriye Dayalı Karar Verme

İstatistiksel araştırma sürecinin temel amacı, özetlenen bulgulardan hareketle gerçek yaşam problemlerinde doğru kararlar vermektir. İki öğrenci, iki takım veya iki şehrin verileri karşılaştırılırken önce merkezi eğilim ölçülerine (ortalama veya ortanca) bakılarak genel başarı/büyüklük düzeyi belirlenir.

Eğer iki grubun aritmetik ortalamaları birbirine eşit veya çok yakınsa, karar vermek için açıklık (yayılım) değerlerine bakılır. Açıklığı daha küçük olan grubun performansı daha istikrarlı, öngörülebilir ve güvenilirdir; açıklığı büyük olan grubun performansı ise inişli çıkışlıdır.

İKİ VERİ GRUBUNU KARŞILAŞTIRMA VE VERİYE DAYALI KARAR VERME Basketbol Takımı Oyuncu Seçimi (5 Maçlık Sayı Performansı) Kerem: 14, 15, 16, 15, 15 Ortalama = 15 sayı Açıklık = 16 - 14 = 2 sayı Yorum: Çok istikrarlı ve düzenli performans Mert: 6, 24, 8, 25, 12 Ortalama = 15 sayı Açıklık = 25 - 6 = 19 sayı Yorum: Ortalaması aynı fakat dalgalanması yüksek
🔍 Büyütmek için dokunun

İstatistiksel Sonuçları Tartışma ve Yanıltıcı Grafikler

Günlük yaşamda ve medyada sunulan grafiklerin veriyi doğru yansıtıp yansıtmadığını eleştirel gözle incelemek istatistik okuryazarlığının önemli bir parçasıdır. Sütun grafiklerinde dikey eksenin 0'dan başlatılmaması, sütun boyları arasındaki oranı bozarak küçük farkları devasa farklarmış gibi gösterir.

Benzer şekilde eksen aralıklarının eşit olmaması, sütun genişliklerinin farklı çizilmesi veya veri grubunda uç değer varken yalnız aritmetik ortalamanın paylaşılması yanıltıcı çıkarımlara yol açar. Veriye dayalı karar verirken örneklem büyüklüğü ve grafik ölçeklendirmesi mutlaka kontrol edilmelidir.

YANILTICI GRAFİKLERİ FARK ETME VE İSTATİSTİKSEL ETİK Yanıltıcı Grafik (Eksen 90'dan Başlamış) • Dikey eksen 0 yerine 90'dan başlatıldığında 92 ile 96 arasındaki küçük fark 3 kat büyükmüş gibi görünür. Doğru Grafik İlkeleri • Sütun grafiklerinde dikey eksen 0'dan başlar. • Eksen aralıkları eşit ölçeklendirilir. • Sütun genişlikleri birbirine eşit çizilir.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Bir öğrencinin 6 günde çözdüğü soru sayıları: 40, 45, 50, 45, 60, 120 olarak kaydedilmiştir. Bu veri grubunun aritmetik ortalamasını, ortancasını, tepe değerini ve açıklığını bulunuz; hangi ölçünün grubu daha iyi temsil ettiğini açıklayınız.

    Cevabı göster

    Verileri küçükten büyüğe sıralayalım: 40, 45, 45, 50, 60, 120. • Aritmetik ortalama = 40 + 45 + 45 + 50 + 60 + 1206 = 3606 = 60. • Ortanca (medyan): 6 terim olduğu için ortadaki 3. ve 4. terimlerin ortalaması: 45 + 502 = 47,5. • Tepe değer (mod): En çok tekrar eden değer 45'tir (2 kez). • Açıklık = 120 - 40 = 80. 120 sayısı uç (aykırı) değer olduğu için ortalamayı 60'a yükseltmiştir (oysa öğrenci 6 günün 5'inde 60 veya altında soru çözmüştür). Bu nedenle grubu 'ortanca (47,5)' daha iyi temsil eder.

  2. Örnek 2Bir kök-yaprak gösteriminde kök sütununda 5, yaprak satırında '2, 5, 5, 8' ve kök sütununda 6, yaprak satırında '0, 4' yer almaktadır (5 | 2 = 52). Bu veri grubunun açıklığı ve aritmetik ortalaması kaçtır?

    Cevabı göster

    Veri grubundaki sayılar: 52, 55, 55, 58, 60, 64 (toplam 6 veri). • Açıklık = En büyük - En küçük = 64 - 52 = 12. • Toplam = 52 + 55 + 55 + 58 + 60 + 64 = 344... Düzeltme: 52 + 55 = 107, 107 + 55 = 162, 162 + 58 = 220, 220 + 60 = 280, 280 + 64 = 344; 3446 = 1723 = 57 tam 13.

  3. Örnek 3Yedi kişilik bir okçuluk takımının puanları küçükten büyüğe doğru: 18, 20, 22, x, 25, 28, 34 şeklinde sıralanmıştır. Bu veri grubunun aritmetik ortalaması 24 olduğuna göre ortancası (medyanı) kaçtır?

    Cevabı göster

    7 verinin aritmetik ortalaması 24 ise verilerin toplamı = 7 × 24 = 168'dir. Bilinenlerin toplamı: 18 + 20 + 22 + 25 + 28 + 34 = 147. Buradan x = 168 - 147 = 21 bulunur. Veriler zaten sıralı verildiğinden 4. sıradaki ortanca terim x olup (soruda 22 <= x <= 25 olması için toplamı kontrol edelim: 168 - 147 = 21 ise sıralamada 20 ile 22 arasına gelir ve ortadaki 4. terim 22 olur!). Sıralı hâli: 18, 20, 21, 22, 25, 28, 34 -> Tam ortadaki (4.) terim 22'dir.

  4. Örnek 4İki yüzücünün 5 antrenmandaki 50 metre bitirme süreleri (saniye): Elif: 34, 35, 35, 36, 35 Zeynep: 31, 39, 35, 32, 38 Her iki yüzücünün ortalamasını ve açıklığını bularak turnuvaya hangisinin seçilmesinin daha istikrarlı bir tercih olacağını açıklayınız.

    Cevabı göster

    • Elif'in ortalaması = 34+35+35+36+355 = 1755 = 35 sn; Açıklığı = 36 - 34 = 2 sn. • Zeynep'in ortalaması = 31+39+35+32+385 = 1755 = 35 sn; Açıklığı = 39 - 31 = 8 sn. Her iki yüzücünün ortalama süresi (35 sn) eşittir; ancak Elif'in açıklığı (2 sn) Zeynep'in açıklığından (8 sn) çok daha küçüktür. Elif çok daha istikrarlı yüzdüğü için istikrar aranan yarışta Elif tercih edilir.

  5. Örnek 5Bir ayakkabı mağazası, gelecek ay hangi numara spor ayakkabıdan daha fazla sipariş vereceğine karar vermek için bu ay satılan 50 çift ayakkabının numaralarını kaydetmiştir. Mağaza müdürü karar verirken aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değerden hangisini kullanmalıdır?

    Cevabı göster

    Mağaza müdürü en çok satılan (en popüler) ayakkabı numarasını bilmek istediği için 'tepe değer (mod)' ölçüsünü kullanmalıdır. Örneğin aritmetik ortalama 38,4 gibi bir ayakkabı numarası olmayan ondalık değer çıkabilir; oysa tepe değer en çok talep gören tam numarayı doğrudan verir.

  6. Örnek 6Bir sütun grafiğinde A şirketinin satışı 102 bin adet, B şirketinin satışı 106 bin adet olduğu hâlde B şirketinin sütunu A şirketinin sütununun 3 katı yüksekliğinde görünmektedir. Bu grafikte hangi hata yapılmıştır?

    Cevabı göster

    Grafiğin dikey ekseni 0'dan başlatılmak yerine 100 binden başlatılmıştır. Bu nedenle A sütunu 2 birim (102 - 100), B sütunu 6 birim (106 - 100) yüksekliğinde çizilmiş ve gerçekte yaklaşık %4 olan fark 3 kat (yani %200 fark) gibi yanıltıcı biçimde gösterilmiştir.

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru 12, 15, 15, 18, 20, 22, 85 şeklinde sıralanmıştır. Bu veri grubunu tek bir değerle en doğru şekilde özetlemek için hangi merkezi eğilim ölçüsü tercih edilmelidir?

  2. 2Bir öğrencinin 5 sınavdan aldığı puanlar 70, 80, 80, 85 ve 95'tir. Bu veri grubunun aritmetik ortalaması, ortancası ve tepe değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  3. 3Aşağıdaki araştırma sorularından hangisiyle toplanan veriler 'nicel (kesikli)' veri türüne örnektir ve nokta grafiğiyle gösterilmeye uygundur?

  4. 4Küçükten büyüğe sıralanmış 14, 17, 19, 21, 24, 29 veri grubunun ortancası (medyanı) kaçtır?

  5. 5Kategorik ve nicel (kesikli) veri dağılımlarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerin Doğru (D) mi yoksa Yanlış (Y) mı olduğunu belirleyiniz.

    • Bir veri grubundaki tüm sayılar birbirinden farklıysa o veri grubunun tepe değeri (modu) yoktur.
    • Ortalamaları eşit olan iki veri grubundan açıklığı büyük olan grup daha tutarlı ve istikrarlıdır.
    • Kök-yaprak gösteriminde yaprak kısmındaki rakamların toplam adedi, veri grubundaki terim sayısına eşittir.
    • Sütun grafiklerinde dikey eksenin 0 yerine büyük bir sayıdan başlatılması sütunlar arasındaki farkı olduğundan abartılı gösterir.
    • Bir veri grubuna uç değer eklendiğinde ortanca (medyan) her zaman aritmetik ortalamadan daha fazla değişir.

  6. 6İstatistiksel kavramları görev ve tanımlarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Sayma sonucu tam sayılarla ifade edilen verilere nicel () veri denir.
    2. Veri grubunda diğer değerlerden aşırı derecede uzak olan sayıya değer adı verilir.
    3. En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka veri grubunun denir.
    4. Uç değer bulunan bir nicel veri grubunu özetlemek için en güvenilir ölçü değeridir.
    5. En çok tercih edilen ayakkabı numarasını veya kulübü belirlerken değer kullanılır.

  8. 8İki farklı çalışma grubunun deneme sınavı puanlarını karşılaştırarak hangi grubun daha başarılı ve istikrarlı olduğuna veriye dayalı karar verme adımlarını açıklayınız.

Kısaca

  • Kategorik veriler sıklık tablosu, sütun grafiği ve daire grafiğiyle; nicel (kesikli) veriler ise nokta grafiği ve kök-yaprak gösterimiyle görselleştirilir.
  • Kök-yaprak gösteriminde verilerin büyük basamakları (örneğin onlar basamağı) 'kök' sütununa, birler basamağı ise küçükten büyüğe sıralanarak 'yaprak' sütununa yazılır.
  • Aritmetik ortalama, tüm verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur ve veri dağılımının denge noktasını temsil eder.
  • Ortanca (medyan), küçükten büyüğe sıralanan veri grubunun tam ortasındaki değerdir; veri grubunda aşırı büyük veya aşırı küçük uç (aykırı) değer bulunduğunda grubu ortalamadan daha doğru temsil eder.
  • Tepe değer (mod), bir veri grubunda en çok tekrar eden değerdir; açıklık ise en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark olup verilerin yayılımını (tutarlılığını) ölçer.
  • İki veri grubu karşılaştırılırken yalnız ortalamaya değil açıklığa da bakılır; açıklığı küçük olan grubun performansı daha istikrarlı ve tutarlıdır.

Bu dersin öteki kaynakları