Kesir-Bölme İlişkisi

Dört arkadaş 3 pizzayı eşit paylaşmak istiyor diyelim; sen de aralarındasın. Her pizzayı 4 eşit dilime böldüğünüzde 12 dilim olur ve herkese 3 dilim düşer. Her dilim bir pizzanın 14’ü olduğundan senin payın 34 pizzadır. Aynı payı başka yoldan da bulabilirsin: 3 pizzayı 4 kişiye bölmek 3 ÷ 4 işlemidir. İki yol aynı sonucu verdiğine göre 34 = 3 ÷ 4 olmalıdır.

Bu gözlem her kesir için geçerlidir: kesir çizgisi aslında bir bölme işaretidir. Pay bölünen, payda bölendir. 12 = 1 ÷ 2, 710 = 7 ÷ 10 ve 74 = 7 ÷ 4 yazabilirsin. Payı paydasından büyük olan kesirlerde bölüm 1’den büyük çıkar; 7 ÷ 4 = 1,75 olduğu gibi. Paydanın sıfır olamayacağını da unutma; sıfıra bölme tanımlı değildir.

Bir kesrin ondalık gösterimi de bu bölmenin sonucudur. Paydası 10, 100 ya da 1000 olan kesirleri geçen haftalardan tanıyorsun: 710 = 0,7 ve 35100 = 0,35. Paydası 4, 8, 3 ya da 7 olan bir kesirde ise ondalık gösterimi görmek için payı paydaya bölersin. Örneğin 3 ÷ 4 = 0,75 olduğundan 34 = 0,75’tir. Bunu 10 × 10’luk kareli kâğıtta da görebilirsin: 100 karenin 34’ü 75 karedir, yani 75100 = 0,75.

Uzunluk modeli de aynı sonucu verir. 1 metrelik bir şeridin 34’ünü almak istediğinde şeridi 4 eşit parçaya bölersin; her parça 25 santimetredir ve üç parça 75 santimetre, yani 0,75 metre eder. Kesir, bölme ve ondalık gösterim böylece aynı sayının üç farklı yüzü olur.

Bölme işlemini kalan sıfır olmadığı hâlde bırakmak zorunda değilsin; bölüme virgül koyup devam edebilirsin. 3 ÷ 4 işlemine bak: 3, 4’ten küçük olduğu için bölüme 0 yazar ve hemen sağına virgül koyarsın. Sonra 3’ün sağına bir 0 ekleyip 30 elde edersin; 30 ÷ 4 = 7, kalan 2’dir. Kalanın sağına yine 0 ekler, 20 ÷ 4 = 5 bulursun ve kalan 0 olur. Bölme bitmiştir: 3 ÷ 4 = 0,75.

Aynı yolu 5 ÷ 8 için izle: 50 ÷ 8 = 6, kalan 2; 20 ÷ 8 = 2, kalan 4; 40 ÷ 8 = 5, kalan 0. Sonuç 0,625’tir. Her adımda bölüme bir basamak eklenir; kalan sıfır olduğu anda işlem biter. Bu yolla bulduğun sonucu geçen haftaki bilginle sağlayabilirsin: 58 kesrinin payını ve paydasını 125 ile genişletirsen 6251000 = 0,625 elde edersin.

Şimdi 1 ÷ 3 işlemini dene. 10 ÷ 3 = 3, kalan 1. Kalanın sağına 0 ekleyince yine 10 ÷ 3 = 3 ve kalan yine 1 olur. Kaç adım ilerlersen ilerle hep aynı bölmeyi yaparsın; kalan hiçbir zaman sıfırlanmaz ve bölüme sürekli 3 eklenir: 1 ÷ 3 = 0,333… Burada üç nokta, 3 rakamının sonsuza kadar tekrar ettiğini anlatır.

5 ÷ 6 işlemi biraz farklı başlar: 50 ÷ 6 = 8, kalan 2; 20 ÷ 6 = 3, kalan 2; 20 ÷ 6 = 3, kalan 2… İlk basamak olan 8 bir kez yazılır, ardından 3 rakamı tekrar edip durur: 5 ÷ 6 = 0,8333… Kalanı izlemek, bölmeyi ne zaman bırakabileceğini de söyler: daha önce gördüğün bir kalan yeniden karşına çıktığında bundan sonrası tekrar edecektir.

Payı paydasına bölünen kesirler iki gruba ayrılır. Bölme bir süre sonra sıfır kalanla bitiyorsa kesrin ondalık gösterimi sonludur; virgülden sonra belirli sayıda basamak bulunur. 14 = 0,25, 38 = 0,375 ve 720 = 0,35 böyledir. Bölme hiç bitmiyor, virgülden sonra aynı rakam ya da aynı rakam grubu sonsuza kadar tekrar ediyorsa gösterim devirlidir; 13 = 0,333… ve 29 = 0,222… gibi.

Devirli gösterimde tekrar eden parçaya devreden kısım denir. 13 için devreden kısım tek rakamdır: 3. 211 = 0,1818… kesrinde 18 ikilisi, 17 = 0,142857142857… kesrinde ise 142857 altılısı tekrar eder. Bazı kesirlerde tekrar hemen virgülden sonra başlamaz: 56 = 0,8333… ve 512 = 0,41666… gösterimlerinde önce tekrar etmeyen bir iki basamak gelir, devir ondan sonra başlar.

Peki bölme neden ya biter ya da döngüye girer? Cevap kalanlarda gizli. Bir sayıyı 7’ye böldüğünde kalan yalnız 0, 1, 2, 3, 4, 5 ya da 6 olabilir. Kalan 0 çıkarsa bölme biter. Çıkmazsa elinde en çok altı farklı kalan vardır; en geç yedinci adımda bir kalan ikinci kez karşına çıkar ve o andan sonra her şey yeniden başlar. 1 ÷ 7 işleminde kalanlar sırayla 3, 2, 6, 4, 5, 1 olur; sonra yine 3 gelir ve 142857 bloğu tekrar eder.

Üç noktayı doğru okumak önemli. 0,333… ile 0,333 aynı sayı değildir: ikincisi üç basamaklı sonlu bir sayıdır ve 13’ten biraz küçüktür. Bunu 3 ile çarparak görebilirsin: 3 × 0,333 = 0,999 eder, 1 etmez. Oysa 13 kesrinin üç katı tam olarak 1’dir. Üç nokta, tekrarın hiç bitmediğini söyler; onu yazmayı unutursan bambaşka bir sayıdan söz etmiş olursun.

Kâğıt-kalemle bulduğun sonuçları hesap makinesiyle kontrol et. 3 ÷ 4 tuşladığında ekranda 0,75, 5 ÷ 8 için 0,625 görürsün; bölme sonlu olduğu için ekrandaki sayı kısadır ve sonu bellidir. 1 ÷ 3 tuşladığında ise ekran 3 rakamlarıyla dolar: 0,3333333333. Makine üç nokta koymaz; tekrarı sen fark edersin.

Ekranın sınırlı olduğunu aklında tut. Çoğu hesap makinesi virgülden sonra 8, 10 ya da 12 basamak gösterir; sığmayan kısmı atarken bazıları son basamağı yuvarlar. Virgülden sonra 10 basamak gösteren bir makinede 2 ÷ 3 için 0,6666666667 görebilirsin; sondaki 7 devrin parçası değildir, ekranın yuvarlamasıdır. Aynı şekilde 1 ÷ 7 için 0,1428571429 görürsün; gerçek gösterim 0,142857142857… biçiminde sürer. Kâğıt-kalemle bölme sana örüntünün kendisini, hesap makinesi ise örüntüden bir pencereyi gösterir.

Hesap makinesinin asıl gücü hızıdır: dakikalar içinde onlarca kesri deneyip sonuçları bir tabloya yazabilirsin. Paydası 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20 ve 25 olan kesirleri dene; hepsinin ekranda kısa, sonlu bir gösterimi olduğunu göreceksin. Paydası 3, 6, 7, 9, 11, 12 ve 15 olan, daha fazla sadeleşmeyen kesirlerde ise ekran dolar ve rakamlar tekrar eder. Aşağıdaki tablo, bir sonraki bölümde yapacağın genellemenin ham maddesidir.

Tek tek örneklerden yola çıkıp hepsini kapsayan bir kurala ulaşmaya tümevarımsal akıl yürütme denir. Bu hafta yaptığın her şey bu yolun adımlarıdır: önce bölme işlemleriyle gözlem toplarsın, gözlemlerde bir örüntü sezip tahmin yürütürsün, tahminini yeni örneklerle sınarsın ve her sınamadan geçerse kuralı genellersin. Tek bir ters örnek bile tahmini çürütmeye yeter; o zaman tahminini düzeltip yeniden sınarsın.

Küçük bir örnekle başlayalım. 1 ÷ 9 = 0,111…, 2 ÷ 9 = 0,222… ve 4 ÷ 9 = 0,444… sonuçlarını gözlediğinde devreden rakamın payın kendisi olduğunu sezersin. Tahminin şudur: 79 = 0,777… olmalı. Hesap makinesinde 7 ÷ 9 tuşlayınca ekranda 0,7777777778 görürsün; son basamak yuvarlama, gerisi tahmininle uyumludur. Artık genelleyebilirsin: payı 1’den 8’e kadar olan dokuzda birlik kesirlerde devreden rakam payın kendisidir.

Asıl büyük soru şu: bir kesrin sonlu mu devirli mi olduğunu bölmeden önce bilebilir misin? Tablolarına dönüp paydaları karşılaştır. Sonlu çıkan kesirlerin paydaları 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25; devirli çıkanlarınki 3, 6, 7, 9, 11, 12, 15. Üçüncü haftada öğrendiğin asal çarpanlara ayırmayı kullanırsan sır çözülür: 4 = 2 × 2, 8 = 2 × 2 × 2, 20 = 2 × 2 × 5 ve 25 = 5 × 5; sonlu grubun paydalarında 2 ve 5 dışında asal çarpan yoktur. 6 = 2 × 3, 12 = 2 × 2 × 3 ve 15 = 3 × 5 ise araya 3 girer; 7 ve 11 zaten başka asal sayılardır.

Bunun nedeni geçen haftalardan tanıdığın paydalarda saklı. Sonlu bir ondalık gösterim, paydası 10, 100, 1000 gibi sayılardan biri olan bir kesirdir ve bu sayılar 10 = 2 × 5, 100 = 2 × 2 × 5 × 5 biçiminde yalnız 2 ve 5 çarpanlarından oluşur. Paydasında sadece 2 ve 5 bulunan bir kesri genişleterek bu paydalardan birine ulaşabilirsin: 38 = 3751000 = 0,375. Paydada 3 varsa bu imkânsızdır; çünkü 10, 100, 1000 sayılarının rakamları toplamı 1’dir, hiçbiri 3’e bölünmez. 13 hiçbir zaman paydası 10, 100, 1000 gibi bir sayı olan bir kesre dönüşemez, bu yüzden bölmesi bitmez.

Payı paydasından büyük bir kesri bölerken önce bir doğal sayı bölüm, sonra ondalık kısım gelir. 7 ÷ 4 işleminde 4, 7’nin içinde 1 kez vardır ve kalan 3’tür; yani 74 = 1 tam 34 kesridir. Bölmeyi sürdürürsen 30 ÷ 4 = 7, kalan 2 ve 20 ÷ 4 = 5, kalan 0 bulursun: 7 ÷ 4 = 1,75. Kalanlı bölmedeki kalan, ondalık kısmın nereden geldiğini gösterir: 34 = 0,75 olduğundan 1 + 0,75 = 1,75.

Paylaştırma problemleri bu bölmelerin günlük yaşamdaki hâlidir. 7 metrelik bir kurdeleyi 4 eşit parçaya kesersen her parça 7 ÷ 4 = 1,75 metre, yani 1 metre 75 santimetre olur. 5 litre limonatayı 8 eş bardağa paylaştırırsan her bardağa 5 ÷ 8 = 0,625 litre, yani 625 mililitre düşer. Sonucu birime çevirmek, ondalık gösterimi anlamlı kılar.

Her paylaşım bu kadar temiz bitmez. 10 lirayı 3 arkadaş eşit bölüşmek istediğinde 10 ÷ 3 = 3,333… bulursun. Para en küçük birim olan kuruşla sayıldığından virgülden sonra iki basamak kullanırsın: herkese 3 lira 33 kuruş düşer, 3 × 3,33 = 9,99 lira dağıtılmış olur ve 1 kuruş artar. Devirli gösterim sana tam eşit paylaşımın kuruşla mümkün olmadığını söyler; artan kuruşu ne yapacağınıza arkadaşlarınla birlikte karar verirsin.

Benzer biçimde 2 kilogram unu 3 eş torbaya bölüştürdüğünde her torbaya 2 ÷ 3 = 0,666… kilogram, yani 666,66… gram düşer. Terazi gramın altını göstermediği için her torbaya yaklaşık 667 gram koyarsın. Devirli sonuçları günlük yaşamda yuvarlayarak kullanırsın; ancak matematikte sayının kendisi yuvarlanmış hâli değil, sonsuza dek süren gösterimdir.