İçeriğe geç

6. sınıf · Matematik · 3. hafta (28 Eylül-2 Ekim 2026)

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar, Ortak Kat ve Ortak Bölen

Sayılar ve Nicelikler (1) teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçen hafta bölünebilme kurallarıyla bir sayının hangi sayılara kalansız bölündüğünü hızla anlamayı öğrendin. Bu hafta yalnız iki çarpanı olan asal sayıları tanıyacak, sayıları asal çarpanlarına ayıracak ve iki sayının ortak katlarıyla ortak bölenlerini inceleyeceksin.

Asal sayı: yalnız iki çarpanı olan sayı

Bir doğal sayının kaç farklı çarpanı olduğuna bakarak sayıları ikiye ayırabilirsin. Örneğin 7’yi yalnız 1 × 7 biçiminde yazabilirsin; çarpanları 1 ve 7 olmak üzere iki tanedir. Buna karşılık 8, 1 × 8 ve 2 × 4 olarak yazılır; çarpanları 1, 2, 4 ve 8 olmak üzere dörttür.

Tam iki farklı çarpanı bulunan doğal sayılara asal sayı denir. Bu çarpanlar 1 ile sayının kendisidir. Örneğin 2, 3, 5 ve 7 asal sayıdır; 4, 6, 8 ve 9 ise ikiden fazla çarpanı olduğu için asal sayı değildir.

Alanı 1 birimkare olan karelerle dikdörtgen biçimli zeminler döşediğini düşün. Alanı 2, 3, 5 ve 7 olan zeminler yalnız bir uzun sıra oluşturularak döşenebilir; çünkü bu sayılar yalnız 1 × n olarak yazılır. Alanı 4, 6, 8 ve 9 olan zeminler ise birden çok dikdörtgenle modellenir.

Tek dikdörtgenBirden çok dikdörtgenAlan 21 × 2Alan 31 × 3Alan 51 × 5Alan 71 × 7Alan 41 × 42 × 2Alan 61 × 62 × 3Alan 81 × 82 × 4Alan 91 × 93 × 3Her kare 1 birimkaredir.

Eratosten kalburuyla asal sayıları bulma

Milattan önce yaşamış matematikçi Eratosten, yüzlük tablodaki asal sayıları bulmak için bir yöntem geliştirmiştir. Onun adıyla anılan Eratosten kalburu, asal olmayan sayıları sırayla eleyerek ilerler.

Yüzlük tabloda önce 2’yi işaretle ve 2’nin katlarını çiz. Aynı işlemi sırayla 3, 5 ve 7 için tekrarla. En sonda hiç çizilmemiş sayılar kalır; bunlardan 1’i ayırırsan tablodaki asal sayıları bulursun.

Üzeri çizilen bir sayı 2, 3, 5 ya da 7’nin katı olduğundan 1 ile kendisinden başka bir çarpanı daha vardır; bu nedenle asal olamaz. Kalbur, 2’den büyük çift sayıların neden asal olmadığını da gösterir: hepsi 2’nin katı olarak çizilir.

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100asal sayı2’nin katları3’ün katları5’in katları7’nin katları1 (asal değil)Renk, sayının ilk çizildiği adımı gösterir.

Asal çarpanlar ve çarpan ağacı

Bir doğal sayının çarpanları arasından asal olanlara o sayının asal çarpanları denir. Örneğin 18’in çarpanları 1, 2, 3, 6, 9 ve 18’dir; bunlardan yalnız 2 ve 3 asaldır. Demek ki 18’in asal çarpanları 2 ve 3’tür.

Asal çarpanları bulmak için bütün çarpanları yazmak gerekmez. Çarpan ağacı yönteminde sayıyı, çarpımı kendisine eşit olan iki çarpana ayırırsın; bu iki çarpandan en az biri asal olmalıdır. Asal olmayan çarpanı aynı biçimde ayırmayı sürdürürsün ve ağacın uçlarında yalnız asal sayılar kalır. Örneğin 60 = 2 × 30, 30 = 2 × 15 ve 15 = 3 × 5 olduğundan uçlarda 2, 2, 3 ve 5 görünür.

Asal çarpan algoritmasında sayının sağına dikey bir çizgi çizer, sayıyı kalansız bölen bir asal sayıyı çizginin sağına yazar ve bölümü sayının altına koyarsın. Bölüm 1 olana kadar bu işlemi sürdürürsün. Örneğin 60 için sağda 2, 2, 3 ve 5 kalır; iki yöntem de aynı asal sayılara ulaştırır.

Bulduğun asal sayıların çarpımı başlangıçtaki sayıya eşittir: 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Buna göre 60’ın asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir; 2, çarpımda iki kez yer alsa da asal çarpan listesine bir kez yazılır. Bu yöntemlerle 1’den büyük her doğal sayı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir; 19 gibi bir asal sayının çarpımı yalnız kendisinden oluşur.

Çarpan ağacı6023021535Asal çarpanalgoritması60230215355160 = 2 × 2 × 3 × 5asal çarpanasal değil

İki sayının ortak katları

İki sayının katlarını yan yana yazınca bazı sayıların her iki listede de bulunduğunu görürsün. Örneğin 4’ün katları 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … biçiminde; 6’nın katları 6, 12, 18, 24, 30, 36, … biçiminde sürer. İki listede birlikte yer alan 12, 24 ve 36, 4 ile 6’nın ortak katlarıdır.

Ortak katlar, iki olayın aynı güne denk gelmesini yorumlamaya yarar. Bir çiçekçi sulamayı 4 günde bir, gübrelemeyi 6 günde bir yapıyorsa iki işi birlikte yaptığı günden 12, 24 ve 36 gün sonra yeniden birlikte yapar.

Ortak katları sayı doğrusunda da gösterebilirsin: 0’dan başlayıp dörder ve altışar ilerleyen iki atlayışın aynı noktaya indiği sayılar ortak kattır. Bu örnekte ardışık iki ortak kat arasında 12 fark vardır; hepsi 12’nin katıdır. Katlar sınırsız sürdüğü için ortak katlar da sürer ve ortak katların en büyüğü yoktur.

4’ün katları48121620242832366’nın katları61218243036Ortak katlar12243600Yeşil noktalar iki sayının da katı olan sayılardır.

İki sayının ortak bölenleri

İki sayının bölenlerini ayrı ayrı yazıp iki listede birlikte bulunanları seçersen ortak bölenleri bulursun. Örneğin 18’in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9 ve 18’dir; 27’nin bölenleri 1, 3, 9 ve 27’dir. Her iki listede yer alan 1, 3 ve 9, 18 ile 27’nin ortak bölenleridir.

Günlük yaşamda ortak bölen, iki farklı miktarı karıştırmadan ve hiçbirini artırmadan eşit gruplara ayırırken ortaya çıkar. Örneğin 18 kırmızı ve 27 mavi bilyeyi renkleri karışmayacak biçimde eşit sayıda bilye alan kutulara koyarsan bir kutudaki bilye sayısı 1, 3 ya da 9 olabilir.

İki doğal sayı sıfır değilse ortak bölenleri arasında 1 bulunur; çünkü 1 her doğal sayıyı böler. Dolayısıyla ortak bölenlerin en küçüğü 1’dir. Bir sayının böleni o sayıdan büyük olamayacağı için ortak bölenler küçük sayıyı da aşamaz.

18’in bölenleri27’nin bölenleri261813927Ortak bölenler: 1, 3, 9

Aralarında asal sayılar

İki sayının ortak bölenleri yalnız 1 ise bu iki sayıya aralarında asal denir. Örneğin 9 ile 20’yi incele: 9’un bölenleri 1, 3 ve 9; 20’nin bölenleri 1, 2, 4, 5, 10 ve 20’dir. Ortak bölenleri yalnız 1 olduğu için 9 ile 20 aralarında asaldır.

Aralarında asal olan sayıların kendilerinin asal olması gerekmez; 9 ile 20’nin ikisi de asal değildir. İki asal sayı olan 11 ile 13 ise 1’den başka ortak böleni olmadığı için aralarında asaldır. Buna karşılık 6 ile 15’in ortak bölenleri 1 ve 3 olduğundan bu iki sayı aralarında asal değildir.

Karar vermek için iki sayının bölenlerini yazıp ortak olanlara bakarsın. Ortak bölenler arasında 1’den büyük bir sayı çıkarsa sayılar aralarında asal değildir.

Örnekler

  1. Örnek 1Verilen 29, 39 ve 49 sayılarından hangileri asal sayıdır? Kararını çarpanlarla açıkla.

    Cevabı göster

    Çarpanlarına bakarak karar verilir: 29’un çarpanları 1 ve 29’dur, tam iki çarpanı olduğu için 29 asaldır. Buna karşılık 39 = 3 × 13 olduğundan 3 ve 13 de çarpandır, 39 asal değildir. Benzer biçimde 49 = 7 × 7 olduğundan 7 de çarpandır ve 49 asal değildir. Yalnız 29 asal sayıdır.

  2. Örnek 2Asal çarpan algoritmasını kullanarak 126 sayısını asal çarpanlarına ayır ve asal çarpanlarının çarpımı olarak yaz.

    Cevabı göster

    Algoritmada 126’yı kalansız bölen asal sayılarla sırayla bölersin: 2 ile bölününce 63, 3 ile bölününce 21, yine 3 ile bölününce 7, 7 ile bölününce 1 kalır. Çizginin sağındaki asal sayılar 2, 3, 3 ve 7’dir. Buna göre 126 = 2 × 3 × 3 × 7 olur; asal çarpanları 2, 3 ve 7’dir.

  3. Örnek 3Bir öğrenci çarpan ağacında 48 sayısını 48 = 2 × 4 × 6 biçiminde yazıp “Asal çarpanlarına ayırdım.” diyor. Yanlış nerededir? Doğru yazımı bul.

    Cevabı göster

    Ağacın uçlarındaki 4 ve 6 asal olmadığından ayırma bitmemiştir. Bunlar 4 = 2 × 2 ve 6 = 2 × 3 biçiminde ayrılınca 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 elde edilir. Asal çarpanlar 2 ve 3’tür.

  4. Örnek 4Ayşe 4 günde bir, Mert 6 günde bir yüzmeye gidiyor. İkisi pazartesi günü birlikte yüzdü. Bir sonraki birlikte yüzdükleri gün haftanın hangi günüdür?

    Cevabı göster

    Ayşe pazartesiden 4, 8, 12, … gün sonra; Mert 6, 12, 18, … gün sonra yüzer. İlk ortak kat 12 olduğundan ikisi 12 gün sonra birlikte yüzer. Bu süre 7 + 5 gün olduğundan 7 gün sonra yine pazartesi olur, 5 gün daha ilerleyince cumartesiye gelinir. Cevap cumartesidir.

  5. Örnek 5Bir etkinlikte 30 kırmızı ve 45 beyaz balon, renkler karışmayacak ve hiç balon artmayacak biçimde eşit sayıda balon içeren paketlere konacaktır. Bir pakette kaç balon bulunabilir?

    Cevabı göster

    Paketteki balon sayısı hem 30’un hem 45’in böleni olmalıdır. Bölenleri yazınca 30 için 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 ve 30; 45 için 1, 3, 5, 9, 15 ve 45 bulursun. Ortak bölenler 1, 3, 5 ve 15’tir. Bir pakette 1, 3, 5 ya da 15 balon bulunabilir.

  6. Örnek 6Bir öğrenci “15 ve 28 sayıları asal olmadığı için aralarında asal olamaz.” diyor. Bu yargı doğru mudur? Gerekçesini açıkla.

    Cevabı göster

    Yargı yanlıştır. Bölenleri yazınca 15 için 1, 3, 5 ve 15; 28 için 1, 2, 4, 7, 14 ve 28 bulursun. Ortak bölenleri yalnız 1 olduğundan 15 ile 28 aralarında asaldır. Aralarında asal olmak için sayıların asal olması gerekmez; belirleyici olan ortak bölenlerdir.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Asal sayı olma bakımından 1 ve 2 sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  2. 2Yüzlük tabloda önce 2’nin, 3’ün ve 5’in katları çizildi. Ardından 7’nin katları çizilirken üzeri ilk kez çizilen sayılar hangileridir?

  3. 3Aşağıdakilerden hangisi 10 ve 15 sayılarının ortak bölenidir?

  4. 4Aşağıdaki ifadeler doğru mu, yanlış mı?

    • Ortak katlar listesi 6 ve 15 için yazıldığında 30 bu listede yer alır.
    • Ortak bölenler listesi 12 ve 20 için yazıldığında 3 bu listede yer alır.
    • İki doğal sayı sıfır değilse ortak bölenleri arasında 1 de vardır.
    • Asal çarpanları aranan sayı 40 ise doğru liste 2, 4 ve 5’tir.

  5. 5Sayıları ve koşulları uygun karşılıklarla eşleştir.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştir. Bir kelime artacak.

    1. Eratosten kalburunda 2, 3, 5 ve 7’nin katlarının üzeri çizildikten sonra 1 dışında kalan sayılar sayılardır.
    2. Sayıyı okların ucundaki çarpanlara adım adım ayıran yönteme çarpan yöntemi denir.
    3. Hem 4 hem 6 ile kalansız bölünebilen 12 ve 24 gibi sayılar, bu iki sayının ortak arasında yer alır.

  7. 7Bir asal çarpan algoritmasında bölme çizgisinin sağına yukarıdan aşağı 2, 3, 3 ve 3 yazılmış; son satırdaki bölüm 1’dir. Algoritmanın en üstündeki sayı kaçtır ve bu sayının asal çarpanları nelerdir?

  8. 8Bir arkadaşın 4 ve 6 sayılarının ortak katlarının en büyüğünü bulmaya çalışıyor ve cevabının 36 olduğunu söylüyor. Bu cevap neden doğru değildir? 36’dan büyük bir ortak kat göstererek açıkla.

Kısaca

  • Tam iki farklı çarpanı olan doğal sayılara asal sayı denir; 1 asal değildir, 2 ise çift olan tek asal sayıdır.
  • Eratosten kalburunda yüzlük tablodaki 2, 3, 5 ve 7’nin katları çizilir; çizilmeden kalan sayılardan 1’i çıkarınca yüzlük tablodaki asal sayılar bulunur.
  • Asal çarpanlar çarpan ağacı ya da asal çarpan algoritmasıyla bulunur; sayı, asal çarpanlarının çarpımı olarak yazılır.
  • İki sayının kat listelerinde ortak olanlar ortak kat, bölenlerinde ortak olanlar ortak bölendir; ortak katlar sürer, ortak bölenlerin en küçüğü 1’dir.
  • Ortak bölenleri yalnız 1 olan iki sayı aralarında asaldır; bu sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.

Bu dersin öteki kaynakları