Ondalık Gösterimleri Çözümleme ve Kesir-Bölme İlişkisine Giriş

Geçen hafta ondalık gösterimi kesirlerin toplamına açtın; şimdi tersini yap. 3 + 410 + 71000 toplamı hangi sayıdır? Birler basamağına 3, onda birler basamağına 4 yazarsın. Toplamda yüzde birlik kesir yoktur; bu basamağa 0 koymalısın, yoksa 7 yüzde birler basamağına kayar. Binde birler basamağına 7 gelir ve sayı 3,407 olur. Boş kalan her basamağa 0 yazmak, rakamları doğru yerde tutmanın tek yoludur.

Toplamdaki terimler karışık sırada da verilebilir: 5100 + 2 + 810. Önce her terimi basamağına yerleştir: 2 birler, 8 onda birler, 5 yüzde birler. Sayı 2,85’tir. 40 + 9100 toplamında ise birler ve onda birler basamakları boştur: 40,09. Tek terimli bir toplam da olabilir: 61000 sayısının ondalık gösterimi 0,006’dır; onda birler ve yüzde birler basamaklarına sıfır gelir.

Basamak tablosu bu işte en iyi yardımcındır. Tablonun sütunlarına onlar, birler, onda birler, yüzde birler ve binde birler yazıp her kesri kendi sütununa yerleştirirsen boş kalan sütunlar sana sıfırların yerini gösterir. Sonucu her zaman sağlamayla kontrol et: bulduğun sayıyı yeniden çözümle ve verilen toplamı elde edip etmediğine bak.

Bir ondalık gösterim yalnız tek bir biçimde çözümlenmez. 0,75 sayısını basamak değerleriyle 710 + 5100 diye yazarsın. 710 kesrini 10 ile genişletirsen 70100 olur; o zaman 0,75 = 70100 + 5100 = 75100 biçiminde tek kesirle de yazılabilir. Bir adım daha atıp yüzde birlikleri binde birliğe çevirirsen 7501000 elde edersin. Bütün bu yazımlar aynı sayıyı anlatır.

Bu esneklik sondaki sıfırların anlamını açıklar. 0,5 = 510, 0,50 = 50100 ve 0,500 = 5001000 kesirleri birbirine denktir; her biri yarımdır. Ondalık kısmın sonuna sıfır eklemek ya da sondaki sıfırı silmek sayının değerini değiştirmez, yalnız kaç basamakla yazıldığını değiştirir. Buna karşılık virgülün hemen sağına sıfır eklemek sayıyı değiştirir: 0,05 = 5100, yarımın onda biridir.

Farklı çözümlemeler iki ondalık gösterimi karşılaştırırken işe yarar. 0,8 mi büyük, 0,75 mi? Virgülden sonraki kısımları doğal sayı gibi karşılaştırıp “75 büyüktür” demek yaygın bir yanılgıdır. Her iki sayıyı paydası 100 olan kesirle yaz: 0,8 = 80100 ve 0,75 = 75100. 80 yüzde birlik, 75 yüzde birlikten çoktur; 0,8 daha büyüktür. Basamak sayıları eşit olmayan ondalık gösterimleri karşılaştırırken önce aynı basamak sayısına tamamla: 0,80 ile 0,75.

Ondalık gösterimler en çok para ve ölçümlerde karşına çıkar; basamak değerlerini orada kendi cümlelerinle açıklayabilmelisin. 1 lira 100 kuruş olduğundan liranın 1100’ü 1 kuruş, 110’u 10 kuruştur. 24,35 TL fiyatı 24 + 310 + 5100 lira diye çözümlenir: 24 lira, 3 tane 10 kuruş ve 5 tane 1 kuruş, yani 24 lira 35 kuruş. Fiyat etiketlerinde virgülden sonra iki basamak yazılmasının nedeni budur: en küçük para birimi liranın yüzde biridir.

Uzunlukta 1 metre 100 santimetre ve 1000 milimetredir. Boyun 1,62 m ise bu 1 + 610 + 2100 metredir: 1 metre, 6 desimetre ve 2 santimetre, yani 1 metre 62 santimetre. Bir kartonun kalınlığı 0,005 m olarak verilmişse bu 51000 metre, yani 5 milimetredir. Burada onda birler ve yüzde birler basamaklarındaki sıfırlar kalınlığın 1 santimetreden bile küçük olduğunu söyler.

Kütle ve hacimde binde birler basamağı sık kullanılır; çünkü 1 kilogram 1000 gram, 1 litre 1000 mililitredir. 0,750 kg yazan bir paket 710 + 5100 + 01000 kilogramdır: 700 gram, 50 gram ve 0 gram, toplam 750 gram. 2,4 kg ise 2 kilogram 400 gramdır; çünkü 410 kg = 400 g. 0,330 litrelik bir kutu içecek 3301000 litre, yani 330 mililitredir. Birimi bilmek, her basamağın kaç gram ya da kaç mililitre ettiğini anında görmeni sağlar.

Zamanda da aynı mantık işler. Yüzme yarışında 27,45 saniyelik bir derece 27 + 410 + 5100 saniyedir; yani 27 tam saniye ile saniyenin yüzde kırk beşi. İki yarışmacı 27,45 ve 27,5 saniyede yüzmüşse ikinci dereceyi 27,50 olarak yazıp karşılaştır: 45 yüzde birlik, 50 yüzde birlikten az olduğundan 27,45 saniyelik derece daha iyidir.

Bir çikolatayı 4 arkadaş eşit paylaşmak istiyor. Bu bir bölme problemidir: 1 ÷ 4. Sonuç doğal sayı değildir; çikolata 4 eş parçaya bölünür ve herkes bir parça, yani çikolatanın 14’ünü alır. Demek ki 1 ÷ 4 = 14. Bölme işleminin sonucu doğal sayı olmadığında kesir olarak yazılır.

Şimdi 3 çikolatayı 4 kişiye paylaştır: 3 ÷ 4. Her çikolatayı 4 eş parçaya bölersen 12 parça olur ve herkese 3 parça düşer. Her parça bir çikolatanın 14’ü olduğundan herkesin payı 3 tane 14, yani 34 çikolatadır: 3 ÷ 4 = 34. 2 litre suyu 5 bardağa eşit paylaştırırsan her bardağa 2 ÷ 5 = 25 litre düşer. Her seferinde bölünen pay, bölen payda olur.

Paylaşılan miktar kişi sayısından büyükse bölüm 1’den büyük çıkar. 7 ekmeği 3 kişi paylaşırsa önce herkes 2 tam ekmek alır, artan 1 ekmek 3 eş parçaya bölünür ve herkese 13 ekmek daha düşer: 7 ÷ 3 = 73 = 2 tam 13. Burada 2 bölüm, 1 kalandır; kalanın bölene oranı olan 13 kesir kısmını verir.

Bu gözlemleri genelleyebilirsin: iki doğal sayının bölümü, bölünen pay ve bölen payda olmak üzere bir kesirle gösterilir; a ÷ b = ab. Tersi de doğrudur: 35 kesrini 3 ÷ 5 işlemi olarak okuyabilirsin. Payda sıfır olamaz; çünkü sıfıra bölme tanımlı değildir. Kesir çizgisi ile bölme işareti aynı işi yapar.

Kesir ile bölme arasındaki bağ, ondalık gösterimlerle birleşince güçlü bir araç olur. 3 metrelik bir kurdeleyi 10 eş parçaya kesersen her parça 3 ÷ 10 = 310 metredir. 310 kesrinin ondalık gösterimini zaten biliyorsun: 0,3. Öyleyse 3 ÷ 10 = 0,3 metre, yani 30 santimetredir. Bölme işlemi, paydası 10 olan bir kesir ve bir ondalık gösterim: üçü de aynı miktarı söyler.

Aynı yol 100 ve 1000 için de geçerlidir. 23 ÷ 100 = 23100 = 210 + 3100 = 0,23. 235 ÷ 100 işleminde pay paydadan büyüktür; 235100 = 200100 + 35100 = 2 + 35100 = 2,35. 1 kilogram şekeri 1000 eş pakete bölersen her pakete 1 ÷ 1000 = 11000 = 0,001 kilogram, yani 1 gram düşer. 45 ÷ 1000 işleminin sonucu 451000 = 4100 + 51000 = 0,045’tir.

Bölenin 10, 100 ya da 1000 olduğu bölmelerde sonucu basamak değerlerinden okursun: virgülün sağında bölendeki sıfır sayısı kadar basamak bulunur. Dikkat etmen gereken nokta sıfırlardır: 45 ÷ 1000 işleminde virgülün sağında üç basamak olmalıdır; 45 iki rakamlı olduğu için başa bir sıfır gelir ve sonuç 0,045 olur, 0,45 değil. Sağlama için sonucu yeniden çözümle: 0,045 = 4100 + 51000 = 401000 + 51000 = 451000.

Peki 3 ÷ 4 gibi bir bölmenin sonucunu ondalık gösterimle nasıl yazarsın? Sonuç 34 kesridir, ama paydası 10, 100 ya da 1000 değildir. Çözüm, önceki yıllardan tanıdığın genişletmedir: kesrin payını ve paydasını aynı sayıyla çarparsan kesrin değeri değişmez. 4 × 25 = 100 olduğundan 34 kesrini 25 ile genişletirsen 75100 elde edersin; bu da 0,75’tir. Demek ki 3 ÷ 4 = 34 = 0,75. 3 lirayı 4 kişi paylaşırsa herkese 0,75 lira, yani 75 kuruş düşer.

Hangi sayıyla genişleteceğini payda söyler. Payda 2 ise 5 ile genişletip 10 yaparsın: 12 = 510 = 0,5. Payda 5 ise 2 ile: 15 = 210 = 0,2. Payda 4, 20, 25 ya da 50 ise 100’e ulaşırsın: 720 = 35100 = 0,35 ve 925 = 36100 = 0,36. Payda 8 ise 125 ile genişletip 1000’e çıkarsın: 38 = 3751000 = 0,375 ve 18 = 1251000 = 0,125.

Ondalık gösterime geçmek kesirleri karşılaştırmayı kolaylaştırır. 34 ile 710 kesirlerinden hangisi büyüktür? 34 = 0,75 ve 710 = 0,70 olduğundan 34 daha büyüktür. Payları ve paydaları farklı iki kesri ondalık gösterime çevirip karşılaştırmak, ortak payda bulmakla aynı işi görür; çünkü ondalık gösterim zaten paydası 10, 100 ya da 1000 olan bir kesirdir.

Her kesir bu yolla yazılamaz. 13 kesrinin paydasını 10, 100 ya da 1000 yapacak bir çarpan yoktur; çünkü bu sayıların hiçbiri 3’e tam bölünmez, rakamları toplamı 1’dir. 27 için de 7’nin katı olan bir 10, 100 ya da 1000 bulamazsın. Böyle kesirlerin ondalık gösterimini bulmak için gelecek hafta payı paydaya doğrudan bölmeyi öğrenecek ve bölmenin bitip bitmediğini gözleyeceksin.