Özdeşlikler ve Modellerle Açıklanması: İki Terim Toplamının Karesi, İki Terim Farkının Karesi ve İki Kare Farkı

Matematikte iki ifadenin arasına konan eşittir işareti her zaman aynı anlamı taşımaz. 2x + 1 = 7 eşitliğini düşünelim. x = 3 yazıldığında 2 · 3 + 1 = 7 olur ve eşitlik doğrudur; fakat x = 1 için 3 = 7 gibi yanlış bir sonuç çıkar. Yalnızca bazı değerler için doğru olan bu tür eşitliklere denklem denir ve denklemi doğru yapan değeri bulmaya denklem çözmek denir. Denklem çözmeyi ilerleyen haftalarda ayrıca ele alacağız; bu hafta odağımız başka türden bir eşitliktir.

2(x + 3) = 2x + 6 eşitliğine bakalım. x = 0 için iki taraf da 6, x = 1 için 8, x = −2 için 2 olur. Hangi sayıyı yazarsak yazalım iki taraf hep aynı değeri verir, çünkü sağ taraf sol tarafın dağılma özelliğiyle açılmış hâlidir. Değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir. Geçen hafta yaptığımız her doğru çarpım, aslında bir özdeşliktir: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6 eşitliği de her x için doğrudur.

Bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını anlamanın iki yolu vardır. Birincisi cebirsel yoldur: bir taraf açılıp sadeleştirildiğinde diğer tarafla birebir aynı ifade elde edilirse eşitlik özdeşliktir. İkincisi değer vermedir: birkaç farklı değer denenir. Ancak dikkat: birkaç değerde doğru çıkması özdeşlik olduğunu kanıtlamaz, yalnızca güçlü bir ipucudur. Tek bir değerde bile yanlış çıkması ise eşitliğin özdeşlik olmadığını kesin olarak gösterir. Örneğin (x + 1)² = x² + 1 eşitliği x = 0 için doğrudur, ama x = 1 için 4 = 2 olduğundan özdeşlik değildir. Bu hafta tanıyacağımız üç özdeşlik ise hem cebirsel olarak hem de geometrik modellerle her zaman doğru olduklarını gösterebileceğimiz eşitliklerdir.

Bir ifadenin karesi, o ifadenin kendisiyle çarpımıdır: (a + b)² = (a + b)(a + b). Geçen haftaki dört kısmi çarpım yöntemini uygulayalım: a · a = a², a · b = ab, b · a = ab ve b · b = b². Ortadaki iki terim benzer terim olduğundan ab + ab = 2ab olur. Böylece (a + b)² = a² + 2ab + b² özdeşliği elde edilir. Bu eşitliğe iki terim toplamının karesi denir ve şöyle okunur: birincinin karesi, artı birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, artı ikincinin karesi.

Özdeşliği bir kare modeliyle açıklayalım. Kenar uzunluğu a + b olan bir kare çizelim; her kenarı a ve b uzunluğunda iki parçaya bölünsün. Bölme noktalarından çizilen doğrular kareyi dört parçaya ayırır: kenarları a ve a olan bir kare (alanı a²), kenarları b ve b olan bir kare (alanı b²) ve kenarları a ile b olan iki eş dikdörtgen (her birinin alanı ab). Büyük karenin alanı (a + b)² olduğu gibi, dört parçanın alanları toplamı da a² + ab + ab + b²'dir. Aynı alanı iki farklı biçimde hesapladığımız için iki ifade her zaman eşittir; özdeşliğin her a ve b için doğru olmasının nedeni budur.

Cebir karolarıyla da aynı model kurulabilir. (x + 3)² için kenarı x + 3 olan kareyi karolarla dolduralım: x ile x'in karşılaştığı yerde bir x² karosu, x ile 1'lerin karşılaştığı yerlerde iki grup hâlinde 3 + 3 = 6 tane x karosu, 1'lerin karşılaştığı köşede 3 · 3 = 9 birim karo bulunur. Sonuç x² + 6x + 9 olur. Burada ortadaki 6x terimi 2 · x · 3 işleminden, son terim 9 ise 3² işleminden gelir. Model, ortadaki terimin neden iki kat olduğunu açıkça gösterir: kare modelde ab dikdörtgeni bir kez sağ üstte, bir kez sol altta yer alır.

(a − b)² ifadesini de kendisiyle çarparak açalım: (a − b)(a − b). Kısmi çarpımlar a · a = a², a · (−b) = −ab, (−b) · a = −ab ve (−b) · (−b) = +b²'dir. Ortadaki iki terim birleşince −2ab olur. Böylece (a − b)² = a² − 2ab + b² özdeşliği elde edilir. Bu eşitliğe iki terim farkının karesi denir. Toplamın karesinden tek farkı ortadaki terimin işaretidir; son terim b² ise yine pozitiftir, çünkü iki negatifin çarpımı pozitiftir.

Bu özdeşliği kesip çıkarma modeliyle açıklayalım. Kenarı a olan bir kare düşünelim (a, b'den büyük olsun). Bu karenin sağından genişliği b olan bir şerit, altından da yüksekliği b olan bir şerit kesip çıkardığımızda geriye kenarı a − b olan bir kare kalır. Her şeridin alanı a · b'dir; bu yüzden a²'den ab'yi iki kez çıkarırız. Ancak iki şerit sağ alt köşede kenarı b olan küçük bir karede üst üste biner. Bu köşe hem birinci hem ikinci şeritte sayıldığı için iki kez çıkarılmış olur. Fazladan çıkarılan bu b² alanını bir kez geri eklemek gerekir: a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b².

Sayısal bir örnekle modeli doğrulayalım. a = 10, b = 3 olsun. Kalan karenin kenarı 7, alanı 49'dur. Özdeşlikle: 100 − 2 · 10 · 3 + 9 = 100 − 60 + 9 = 49. Değişkenli bir örnek: (x − 4)² = x² − 2 · x · 4 + 4² = x² − 8x + 16. Sık yapılan hata son terimi −16 yazmaktır; oysa (−4) · (−4) = +16'dır. x = 6 için kontrol: (6 − 4)² = 4 ve 36 − 48 + 16 = 4 bulunur.

Toplamı ile farkı aynı iki terimden oluşan iki terimliler çarpıldığında ilginç bir sonuç ortaya çıkar. (a − b)(a + b) çarpımında kısmi çarpımlar a · a = a², a · b = ab, (−b) · a = −ab ve (−b) · b = −b²'dir. Ortadaki +ab ile −ab birbirini götürür ve geriye yalnız iki terim kalır: (a − b)(a + b) = a² − b². Bu özdeşliğe iki kare farkı denir. Toplam ile farkın çarpımı, terimlerin kareleri farkına eşittir.

Özdeşliği yeniden dizme modeliyle açıklayalım. Kenarı a olan bir kareden, köşesindeki kenarı b olan küçük kareyi kesip atalım. Geriye kalan L biçimli parçanın alanı a² − b²'dir. Bu parçayı iki dikdörtgene bölelim: üstteki dikdörtgenin kenarları a ve a − b, alttaki dikdörtgenin kenarları a − b ve b'dir. Alttaki dikdörtgeni döndürüp üsttekinin yanına yerleştirdiğimizde ortak kenarı a − b olan tek bir dikdörtgen elde ederiz. Bu yeni dikdörtgenin uzun kenarı a + b, kısa kenarı a − b olur ve alanı (a + b)(a − b)'dir. Parçalar ne eklendi ne çıkarıldı; yalnızca yerleri değişti. Öyleyse alanlar eşittir: a² − b² = (a − b)(a + b).

Bu özdeşlikte terimlerin sırası ve çarpanların sırası sonucu değiştirmez: (a + b)(a − b) de a² − b²'dir. Önemli olan, iki parantezde aynı iki terimin bulunması ve birinde toplam, diğerinde fark olmasıdır. Örnekler: (x − 5)(x + 5) = x² − 25, (y + 1)(y − 1) = y² − 1, (2m − 3)(2m + 3) = 4m² − 9. Model sayılarla da denenebilir: a = 9, b = 4 için 81 − 16 = 65 ve 5 · 13 = 65 bulunur. Dikkat: (x − 5)(x + 6) gibi terimleri farklı olan çarpımlar bu özdeşliğe uymaz; onlar geçen haftaki dört kısmi çarpım yöntemiyle yapılır.

Özdeşliklerdeki a ve b birer terimdir; yalnızca tek bir harf olmak zorunda değildir. a yerine 2x, b yerine 3 yazıldığında (2x + 3)² = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² + 12x + 9 olur. Burada en çok yapılan hata (2x)² yerine 2x² yazmaktır. Karesi alınan, terimin tamamıdır: (2x)² = 2x · 2x = 4x². Aynı şekilde (3a)² = 9a² ve (5y)² = 25y² olur.

Ortadaki terimi bulurken üç çarpan birlikte düşünülür: 2, birinci terim ve ikinci terim. (3a − 2b)² ifadesinde birincinin karesi 9a², ortadaki terim −2 · 3a · 2b = −12ab, ikincinin karesi 4b²'dir; sonuç 9a² − 12ab + 4b² olur. İki farklı değişken bulunan (x + 2y)² = x² + 4xy + 4y² gibi ifadelerde ortadaki terim iki harfi birlikte içerir. Alan modelinde bu, kenarlardan birinin x, diğerinin 2y olan parçalarının karşılaştığı iki dikdörtgene karşılık gelir.

Negatif terimle başlayan ifadelerde işaretler dikkatle izlenir. (−x + 4)² = (−x)² + 2 · (−x) · 4 + 4² = x² − 8x + 16 olur; bu sonuç (x − 4)² ile aynıdır, çünkü −x + 4 ile x − 4 birbirinin ters işaretlisidir ve ters işaretli sayıların kareleri eşittir. Aynı nedenle (−a − b)² = (a + b)² olur. İki kare farkında da katsayılar karesiyle çıkar: (5m − 1)(5m + 1) = 25m² − 1 ve (4x + 3y)(4x − 3y) = 16x² − 9y². Bu tür işlemleri yaparken önce a'nın ve b'nin ne olduğunu ayrı ayrı yazmak hatayı büyük ölçüde azaltır.

Özdeşlikler yalnızca harfli ifadelerde değil, sayılarla yapılan hesaplarda da işimizi kolaylaştırır. Bir sayıyı 10, 50, 100 gibi yuvarlak bir sayıya yakın iki parçaya ayırdığımızda karesini zihinden bulabiliriz: 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201, 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801, 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Ortadaki 200 ve 300 terimleri, kare modeldeki iki dikdörtgenin toplam alanıdır.

İki kare farkı ise ortalaması yuvarlak olan iki sayının çarpımında kullanılır. 52 · 48 çarpımında iki sayı 50'nin 2 fazlası ve 2 eksiğidir: 52 · 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 2500 − 4 = 2496. Benzer şekilde 103 · 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10 000 − 9 = 9991 olur. Özdeşlikler birden fazla çarpım içeren ifadeleri sadeleştirmede de kullanılır: (x + 3)² − (x − 3)² = (x² + 6x + 9) − (x² − 6x + 9) = 12x. İkinci açılımın önündeki eksi, parantez içindeki her terimin işaretini değiştirir; x² ve 9 terimleri birbirini götürür.

Bu konuda en sık yapılan hata (a + b)² ifadesini a² + b² olarak yazmaktır. a = 3, b = 4 için (3 + 4)² = 49 iken 3² + 4² = 25'tir; aradaki 24, unutulan 2ab = 2 · 3 · 4 terimidir. Kare modelde bu hata, iki dikdörtgeni yok saymak demektir. Benzer biçimde (a − b)² = a² − b² yazmak da yanlıştır: a = 5, b = 2 için 9 ile 21 eşit değildir. a² − b² ifadesine eşit olan çarpım (a − b)(a + b)'dir, (a − b)² değil. Her şüphede değişkene bir sayı vererek iki tarafı karşılaştırmak, hatayı hemen ortaya çıkarır.