Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar ve Farklı Temsilleri

Tam sayılar: yönü olan sayılar

Bir başlangıç noktası seçtiğimizde ondan bir yöndeki değerleri pozitif, öbür yöndeki değerleri negatif sayılarla gösteririz. Deniz seviyesi 0 kabul edilirse deniz seviyesinin 3 m üstü +3 m, 3 m altı −3 m olarak yazılır.

Sıcaklıkta 0 °C'nin altı, bir binada zemin katın altındaki katlar, bir hesaptan çekilen para negatif sayılarla gösterilir. Pozitif sayıların önündeki + işareti çoğu zaman yazılmaz: +5 ile 5 aynı sayıdır.

Tam sayılar sayı doğrusunda

Yatay sayı doğrusunda 0'ın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir. Dikey sayı doğrusunda ise 0'ın üstü pozitif, altı negatiftir.

3 ile −3 sayı doğrusunda 0'a eşit uzaklıktadır ama 0'ın farklı yanlarındadır. Tam sayılar sayı doğrusunda eşit aralıklarla dizilir; örneğin −2 ile −1 arasında başka bir tam sayı yoktur.

Tam sayılar yetmediğinde: rasyonel sayılar

3 · ? = 2 eşitliğinde ? yerine hiçbir tam sayı gelmez: 3 · 0 = 0, 3 · 1 = 3. Aradığımız sayı 0 ile 1 arasındadır ve 23 ile gösterilir. Paylaşma, ölçme ve bölme gibi durumlarda bu tür sayılara sık sık ihtiyaç duyarız.

23, 46 ve 69 gibi denk kesirler sayı doğrusunda aynı noktayı gösterir; yani aynı rasyonel sayının farklı yazılışlarıdır. Bu sayıların negatifleri de vardır: −23 sayısı 0'ın solunda, 0'a 23 birim uzaklıktadır.

Sayı kümeleri iç içe

Her tam sayı paydası 1 olan bir kesir biçiminde yazılabilir: 5 = 51, −4 = −41, 0 = 01. Bu yüzden her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.

Benzer biçimde her doğal sayı bir tam sayıdır. Tam sayılar doğal sayıları, rasyonel sayılar da tam sayıları kapsar.

Rasyonel sayılar sayı doğrusunda

Her rasyonel sayı sayı doğrusunda bir noktaya karşılık gelir. 54 sayısını göstermek için 0 ile 1 arasını ve 1 ile 2 arasını 4 eş parçaya böleriz; 0'dan sağa 5 parça sayarız.

Negatif bir rasyonel sayıyı göstermek için aynı işlemi 0'ın soluna doğru yaparız: −32 sayısı 0'ın solunda 3 yarım birim, yani 1 buçuk birim uzaktadır.

Mutlak değer: sıfıra uzaklık

Bir sayının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir ve sayı iki dikey çizgi arasına yazılarak gösterilir: |−4| = 4, |4| = 4, |0| = 0.

Mutlak değer yönü değil yalnız uzaklığı söyler. Deniz seviyesinin 12 m altındaki bir dalgıç ile 12 m üstündeki bir martı deniz seviyesine eşit uzaklıktadır: |−12| = |12| = 12.

Örnekler

1. Örnek 1Aşağıdaki durumları tam sayıyla gösteriniz. a) Deniz seviyesinin 35 m altındaki bir mağara girişi b) Hava sıcaklığının 0 °C'nin 8 derece üstü c) Bir hesaptan 400 TL çekilmesi ç) Zemin kattan 6 kat yukarıdaki bir daire

   Cevabı göster

   a) −35 m b) +8 °C (ya da 8 °C) c) −400 TL ç) +6 (6. kat). Başlangıç noktasının altı, gerisi ya da azalan yönü negatif; üstü, ilerisi ya da artan yönü pozitiftir.

2. Örnek 2Bir alışveriş merkezinde giriş katı 0 ile gösteriliyor. Otopark katları giriş katının altında. Asansör 2. otopark katından 5 kat yukarı çıkıyor. Asansör hangi katta durur? Katı tam sayıyla yazınız.

   Cevabı göster

   2. otopark katı −2'dir. Dikey sayı doğrusunda −2'den yukarı 5 kat sayalım: −1, 0, 1, 2, 3. Asansör 3. katta, yani +3'te durur.

3. Örnek 3Aşağıdakilerden hangileri rasyonel sayıdır? Rasyonel olmayanı nedeniyle yazınız. 7, −3, 58, 0, −43, 20

   Cevabı göster

   7 = 71, −3 = −31, 0 = 01, 58 ve −43 rasyonel sayıdır. 20 rasyonel sayı değildir; çünkü paydası 0'dır ve 0'a bölme tanımsızdır.

4. Örnek 435 ile sayı doğrusunda aynı noktayı gösteren iki farklı kesir yazınız.

   Cevabı göster

   Pay ve paydayı aynı sayıyla çarpalım: 35 = 610 = 915. Sayı doğrusunda 0–1 aralığı 10 eş parçaya bölündüğünde 6. çizgi, 15 eş parçaya bölündüğünde 9. çizgi 35 ile aynı noktadır.

5. Örnek 5Aşağıdaki sayı doğrusunda A noktası hangi rasyonel sayıyı gösterir?

   Cevabı göster

   0 ile 1 arası ve −1 ile 0 arası 5 eş parçaya bölünmüştür; her parça 15 birimdir. A noktası 0'ın solunda 3. çizgidedir. A = −35.

6. Örnek 6a) Bir termometre −7 °C, öteki 5 °C gösteriyor. Hangisi 0 °C'ye daha uzaktır? b) Mutlak değeri 3 olan tam sayıları yazınız.

   Cevabı göster

   a) |−7| = 7 ve |5| = 5 olduğundan −7 °C, 0 °C'ye 2 derece daha uzaktır. b) Sayı doğrusunda 0'a 3 birim uzaklıkta iki nokta vardır: 3 ve −3.