İçeriğe geç

7. sınıf · Matematik · 3. hafta (28 Eylül-2 Ekim 2026)

Rasyonel Sayılar ve Farklı Temsilleri

Sayılar ve Nicelikler (1) teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçen hafta rasyonel sayıları kesirle yazmayı, sayı doğrusunda yerleştirmeyi ve aynı sayının farklı kesirlerle gösterilebildiğini öğrendin. Bu hafta aynı sayıları bölme işlemiyle ondalık gösterime çevirecek, sonucun sonlu mu devirli mi çıkacağını paydaya bakarak kestirmeyi öğreneceksin.

Payı paydaya bölerek ondalık gösterim bulmak

Kesir çizgisi bölme işareti gibi okunur: ab sayısı, a’nın b’ye bölümüdür. Bu yüzden bir rasyonel sayının ondalık gösterimini bulmak için payı paydaya bölersin. Pay paydadan küçükse bölümün tam kısmı 0 olur; bölüme virgül koyar, kalanın yanına sıfır ekleyerek bölmeyi sürdürürsün.

Paydası 5 olan 15 sayısında 10 ÷ 5 = 2 bulunur ve kalan 0 olur; bölme burada biter, sonuç 0,2 çıkar. Paydası 4 olan 14 sayısında ise 10 ÷ 4 işlemi 2 verir ve kalan 2 olur; sonra 20 ÷ 4 = 5 bulunur. Sonuç 0,25’tir.

Paydası 3 olan 13 sayısında durum farklıdır. Önce 10 ÷ 3 işlemi 3 verir ve kalan 1 olur; kalanın yanına sıfır eklediğinde yine 10 ÷ 3 işlemiyle karşılaşırsın. Bölme hiç bitmez ve bölümde 3 rakamı tekrar edip durur: 0,333…

Sonlu ondalık gösterim15= 1 ÷ 510 ÷ 5 = 2, kalan 0Kalan 0: bölme biter0,2Devirli ondalık gösterim13= 1 ÷ 310 ÷ 3 = 3, kalan 1yine 10 ÷ 3, kalan 1Kalan hep 1: bölme sürer0,333…

Sonlu ve devirli ondalık gösterim

Bölme, kalan 0 olunca bitiyorsa elde edilen ondalık gösterime sonlu ondalık gösterim denir; 0,2 ve 0,25 buna örnektir. Bölme bitmiyor ve rakamlar belli bir düzenle tekrar ediyorsa elde edilen gösterime devirli ondalık gösterim denir; 0,333… ve 0,2727… buna örnektir.

Tekrar eden rakam ya da rakam grubuna devreden kısım denir ve üzerine çizgi çekilerek gösterilir. Örneğin 0,333… sayısı 0,3̅ biçiminde, 0,2727… sayısı 0,2̅7̅ biçiminde yazılır. Çizginin altındaki rakamlar sonsuza kadar tekrar eder.

Tekrar, virgülden hemen sonra başlamak zorunda değildir. Örneğin 56 = 0,8333… sayısında 8 yalnız bir kez yazılır, ondan sonra yalnız 3 tekrar eder; bu yüzden gösterim 0,83̅ olur. Tekrara girmeyen 8’e devretmeyen kısım denir.

Açık yazılışDevir işaretiyle0,333…0,30,2727…0,270,8333…0,83devreden rakamdevretmeyen rakam

Paydanın asal çarpanları neyi belirler?

Bir rasyonel sayının ondalık gösteriminin sonlu mu devirli mi olacağını bölme yapmadan da kestirebilirsin; bunun için paydaya bakarsın. Önce sayıyı en sade hâle getirir, sonra paydayı asal çarpanlarına ayırırsın.

Payda en sade hâldeyken asal çarpanlarının hepsi 2 ya da 5 ise ondalık gösterim sonludur. Paydası 20 olan 320 sayısında 20 = 2 · 2 · 5 olduğundan sonuç 0,15’tir. Paydada 2 ile 5’ten farklı bir asal çarpan kalıyorsa ondalık gösterim devirlidir; 3 ve 7 bu çarpanlara örnektir. Paydası 6 olan 56 sayısında 6 = 2 · 3 olduğundan sonuç 0,8333… çıkar.

Sadeleştirmeyi atlama. Örneğin 7215 sayısında payda 15 = 3 · 5 olduğundan devirli bekleyebilirsin; oysa sayı 245 biçiminde sadeleşir, paydada yalnız 5 kalır ve gösterim sonludur: 4,8. Paydası aynı olan 9215 ise sadeleşmez; paydasında 3 kaldığı için gösterimi devirlidir: 6,1333…

En sade hâlde paydadayalnız 2 ve 5 varsa: sonluEn sade hâlde paydadabaşka çarpan varsa: devirli7215=245Sadeleşince payda 54,8320Payda: 20 = 2 · 2 · 50,159215Payda: 15 = 3 · 56,1333…56Payda: 6 = 2 · 30,8333…

Paydayı 10’un kuvvetine getirmek

Paydası yalnız 2 ve 5 asal çarpanlarından oluşan bir rasyonel sayının ondalık gösterimini bölme yapmadan da bulabilirsin. Pay ve paydayı aynı sayıyla çarparak paydayı 10, 100, 1000 gibi 10’un bir kuvveti yaparsın. Payda 10 ise virgülden sonra bir, 100 ise iki, 1000 ise üç basamak olur.

Paydası 20 olan 720 sayısında 20 = 22 · 5’tir; eksik kalan bir 5 çarpanı için pay ve payda 5 ile çarpılır: 720 = 35100 = 0,35. Paydası 8 olan 58 sayısında 8 = 23 olduğundan pay ve payda 53 = 125 ile çarpılır: 58 = 6251000 = 0,625.

Tam sayılı kesirlerde tam kısım olduğu gibi kalır, yalnız kesirli kısım dönüştürülür. Örneğin 2 34 sayısında 34 = 75100 = 0,75 olduğundan sayı 2,75’tir.

7205 ile çarppay ve payda35100=0,35iki basamak58125 ile çarppay ve payda6251000=0,625üç basamak23425 ile çarppay ve payda275100=2,75iki basamak

Sonlu ondalık gösterimden rasyonel sayıya

Sonlu bir ondalık gösterimin kesir karşılığını, payda olarak 10, 100, 1000 gibi sayılar kullanarak yazabilirsin. Virgülü yok sayarak okuduğun sayıyı paya yazarsın. Paydaya ise virgülden sonra kaç basamak varsa o kadar sıfırı bulunan 10’un kuvvetini yazarsın.

Örneğin 0,6 sayısında virgülden sonra bir basamak vardır; sayı 610 olur ve 2 ile sadeleşince 35 bulunur. Aynı yolla 1,32 sayısında iki basamak olduğundan sayı 132100 olur ve 4 ile sadeleşince 3325 elde edilir.

Sayı negatifse eksi işareti kesrin önünde kalır: −0,08 = −8100 = −225. Bulduğun kesri payı paydaya bölerek yeniden ondalık gösterime çevirir ve sonucu kontrol edersin.

Her rasyonel sayı ondalık biçimde yazılabilir

Payı paydaya bölme işlemi her rasyonel sayıyla yapılabilir ve sonuç ya sonlu ya da devirli bir ondalık gösterim olur. Demek ki ondalık biçimde yazılamayan bir rasyonel sayı yoktur; kimi sayılar sonlu, kimi sayılar devirli bir gösterim verir.

Bu gösterimler ölçümlerde de karşına çıkar. El sabununun kütlesi 1852 g ise bu kütle 92,5 g olarak yazılır; madenî paranın kalınlığı 14 cm ise 0,25 cm olur. İlk ikisi sonlu ondalık gösterimdir. Bir küp şekerin kütlesi 166 g ise sayı önce 83 biçiminde sadeleşir ve ondalık gösterimi 2,6̅ olur; bu devirli bir gösterimdir.

Kesir ve ondalık gösterim aynı sayının iki farklı yazılışıdır; ikisi de sayı doğrusunda tek bir noktayı gösterir. Ondalık gösterimi devirli olan sayılar da rasyonel sayıdır; bunları kesre çevirmeyi gelecek hafta öğreneceksin.

Örnekler

  1. Örnek 1Bir ipin uzunluğu 78 metredir. Bu uzunluğu ondalık gösterimle yaz.

    Cevabı göster

    Payı paydaya bölersin: 7 ÷ 8 işleminde bölümün tam kısmı 0 olur. Virgülden sonra 70 ÷ 8 = 8 kalan 6, 60 ÷ 8 = 7 kalan 4 ve 40 ÷ 8 = 5 kalan 0 bulunur. Kalan 0 olduğu için gösterim sonludur: 0,875 m.

  2. Örnek 2Bir çıtanın uzunluğu 712 metredir. Bu uzunluğu ondalık gösterimle yaz; devreden ve devretmeyen rakamları belirt.

    Cevabı göster

    Bölmede virgülden sonra 70 ÷ 12 = 5 kalan 10, 100 ÷ 12 = 8 kalan 4 ve 40 ÷ 12 = 3 kalan 4 bulunur. Kalan 4 yinelendiği için 3 rakamı sürekli tekrar eder: 0,58333… = 0,583̅. Devretmeyen rakamlar 5 ve 8, devreden rakam 3’tür.

  3. Örnek 3Şu sayılardan hangilerinin ondalık gösterimi sonludur: 112, 114, 116 ve 120?

    Cevabı göster

    Paydaları asal çarpanlarına ayır: 12 = 2 · 2 · 3, 14 = 2 · 7, 16 = 2 · 2 · 2 · 2 ve 20 = 2 · 2 · 5. Yalnız 16 ile 20’nin paydasında 2 ve 5 dışında asal çarpan yoktur. Bu yüzden 116 ile 120 sonlu, 112 ile 114 devirlidir.

  4. Örnek 4Paydayı 10’un kuvvetine getirerek 2740 sayısının ondalık gösterimini bul.

    Cevabı göster

    Payda 40 = 23 · 5’tir. Paydayı 10’un kuvveti yapmak için 5 çarpanından iki tane daha gerekir; pay ve payda 25 ile çarpılır. Sonuç: 2740 = 6751000 = 0,675.

  5. Örnek 5Bir kuyunun deniz seviyesine göre konumu −2,45 m olarak ölçülmüştür. Bu sayıyı payı ve paydası tam sayı olan en sade kesirle yaz.

    Cevabı göster

    Virgülden sonra iki basamak olduğundan payda 100 olur: −2,45 = −245100. Pay ve payda 5 ile sadeleşince −4920 bulunur.

  6. Örnek 6Paydası 30 olan a30 rasyonel sayısının ondalık gösterimi sonludur. a, 1’den 30’a kadar (30 dâhil) doğal sayılardan biri olduğuna göre a kaç farklı değer alabilir?

    Cevabı göster

    Payda 30 = 2 · 3 · 5 olduğundan paydada 3 çarpanı var. Gösterimin sonlu olması için bu 3’ün sadeleşmesi gerekir; bu da a’nın 3’ün katı olmasıyla olur. Bu koşula uyan sayılar 3, 6, 9, …, 30’dur ve 10 tanedir; yani a, 10 farklı değer alabilir.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisinin ondalık gösterimi sonludur?

  2. 2Bir öğrenci 38 sayısının ondalık gösterimini bulmak için bölme yapıp 2,666… sonucuna ulaşmıştır. Bu öğrencinin hatası aşağıdakilerden hangisidir?

  3. 3Tam sayılı kesir olarak yazılmış 4 320 sayısının ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

  4. 4Aşağıdaki ifadelerin her birine doğru ya da yanlış de; yanlış olanların açıklamasını oku.

    • Paydası 7 olan 37 sayısının ondalık gösterimi devirlidir.
    • Paydası 18 olan 518 sayısında 2 çarpanı bulunduğu için ondalık gösterimi sonludur.
    • Devir işaretiyle yazılan 0,83̅ sayısında 8 rakamı devretmeyen kısımdadır.
    • Ondalık gösterimle yazılamayan rasyonel sayılar da vardır.

  5. 5Kavramları açıklamalarıyla eşleştir.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştir. Bir kelime artacak.

    1. Bir rasyonel sayının kesirle ve ondalık gösterimle yazılışları, sayı doğrusunda aynı karşılık gelir.
    2. Bölmede kalan hiçbir adımda 0 olmuyorsa sayının ondalık gösterimi olur.
    3. Paydası 1000 olan kesirde virgülden sonra üç basamak bulunur; basamak sayısı paydadaki sayısına eşittir.

  7. 7Zeynep, 311 sayısının ondalık gösterimini bulurken 30 ÷ 11 = 2 kalan 8 ve 80 ÷ 11 = 7 kalan 3 işlemlerini yapmış, 0,27 yazıp bölmeyi bitirmiştir. Bölmeye devam etmesi gerekir mi? Gerekçeni yaz ve sayının doğru ondalık gösterimini ver.

  8. 8Şu üç gösterimin aynı sayıyı temsil ettiğini iki farklı yoldan göster: 925, 0,36 ve 36100.

Kısaca

  • Bir rasyonel sayının ondalık gösterimi, payı paydaya bölerek bulunur.
  • Bölme kalansız bitiyorsa gösterim sonlu, bitmeyip rakamlar tekrar ediyorsa devirlidir; devreden rakamların üzerine çizgi çekilir.
  • Sayı en sade hâle getirilir; paydada yalnız 2 ve 5 asal çarpanları varsa gösterim sonlu, başka bir asal çarpan varsa devirlidir.
  • Paydası 2 ve 5 çarpanlarından oluşan sayılarda pay ve payda uygun sayıyla çarpılarak payda 10’un kuvveti yapılır; sonlu ondalık gösterim ise paydası 10’un kuvveti olan kesre çevrilip sadeleştirilir.
  • Her rasyonel sayı, payı paydaya bölünerek ondalık biçimde yazılabilir; sonuç sonlu ya da devirli olur.

Bu dersin öteki kaynakları